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第三章
函数的概念与性质
第1节
函数的概念及其表示
1、基础巩固
1．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·浙江高一期中）函数的定义域是(
)
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江高一课时练习）函数的定义域为
A．
B．
C．
D．
4．（2020·全国高一课时练习）已知函数y＝，则使函数值为的的值是（
）
A．或
B．或
C．
D．或或
5．（2020·全国高一课时练习）设，则等于（
）
A．1
B．0
C．2
D．-1
6．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）下列四组函数中,表示同一函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·浙江高一课时练习）以下四组函数中表示同一函数的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．（2020·全国高一课时练习）设函数若f（a）＝4，则实数a＝（
）
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
9．（2020·全国高一课时练习）已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2
B．6
C．1
D．0
10．（2020·全国高一课时练习）如果＝，则当x≠0，1时，f(x)等于（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·全国高一课时练习）某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·广西兴宁?南宁三中高二期末（文））函数的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·浙江高一课时练习）设函数的定义域是，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·浙江高一课时练习）若函数，那么（
）
A．1
B．3
C．15
D．30
15．（2020·浙江高一课时练习）已知函数的定义域为，则在时的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
16．（多选题）（2020·江苏宿迁?高一期末）已知，则下列结论正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（
）
A．，，中的数的平方
B．，，中的数的开方
C．，，中的数的倒数
D．，，中的数的2倍
18．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（
）
A．函数值域中的每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
E.函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
19．（2020·全国高一课时练习）设，，则____________.
20．（2020·浙江柯城?衢州二中高三其他）已知函数的值域为，则实数t的取值范围是__________．
2、拓展提升
1．（2020·全国高一）已知，求定义域与值域.
2．（2020·全国高一课时练习）已知
（1）画出f(x)的图象；
（2）若，求x的值；
（3）若，求x的取值范围.
3．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝
(x≠－1).求：
（1）f(0)及的值；
（2）f(1－x)及f(f(x)).
4．（2020·全国高一课时练习）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里),票价2元；
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.
5．（2020·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.
（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
（3）.
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第三章
函数的概念与性质
第1节
函数的概念及其表示
1、基础巩固
1．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，可得
，
所以函数的定义域为
.
2．（2019·浙江高一期中）函数的定义域是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，且，得到，且，
3．（2020·浙江高一课时练习）函数的定义域为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由可得，又因为分母，所以原函数的定义域为．
4．（2020·全国高一课时练习）已知函数y＝，则使函数值为的的值是（
）
A．或
B．或
C．
D．或或
【答案】C
【解析】当时，令，得，解得；
当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去.
综上所述，.
5．（2020·全国高一课时练习）设，则等于（
）
A．1
B．0
C．2
D．-1
【答案】C
【解析】
,
.
6．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）下列四组函数中,表示同一函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A:，
，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数；
对于B:的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;
对于C.的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;
对于D.的定义域为,的定义域为或,两个函数的定义域不同,不是同一函数.
7．（2020·浙江高一课时练习）以下四组函数中表示同一函数的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】解：对于A，两个函数的定义域为，而，所以这两个函数是同一个函数；
对于B，的定义域为，而的定义域为，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于C，的定义域为，而的定义域为，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，的定义域为，而的定义域为，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；
8．（2020·全国高一课时练习）设函数若f（a）＝4，则实数a＝（
）
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
【答案】B
【解析】当时，，解得；当时，，解得，
因为，所以，综上，或，故答案选
9．（2020·全国高一课时练习）已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2
B．6
C．1
D．0
【答案】B
【解析】令，则,
,
,故选B.
10．（2020·全国高一课时练习）如果＝，则当x≠0，1时，f(x)等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令＝t，则x＝，代入＝，
则有f(t)＝＝.即.
11．（2020·全国高一课时练习）某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为先跑，跑累了再走余下的路，所以跑的时候速度比较快，走的时候速度比较慢
路程关于时间的函数图象中的斜率代表了速度，应当先增长的比较快，后增长的比较慢
符合条件的应是选项C
12．（2020·广西兴宁?南宁三中高二期末（文））函数的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令，且，
则，函数转化为
由，则，即值域为
13．（2020·浙江高一课时练习）设函数的定义域是，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得
14．（2020·浙江高一课时练习）若函数，那么（
）
A．1
B．3
C．15
D．30
【答案】C
【解析】由于，当时，，故选C.
15．（2020·浙江高一课时练习）已知函数的定义域为，则在时的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，函数的定义域为，
则要使得函数有意义，满足，
即，因为，解得，
即函数的定义域为.
16．（多选题）（2020·江苏宿迁?高一期末）已知，则下列结论正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】令，∴.
∴.
17．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（
）
A．，，中的数的平方
B．，，中的数的开方
C．，，中的数的倒数
D．，，中的数的2倍
【答案】AD
【解析】选项：，，，为一一对应关系，是到的函数
选项：，，集合中元素，集合中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是到的函数
选项：中元素的倒数没有意义，不符合函数定义，不是到的函数
选项：，，，，为一一对应关系，是到的函数
18．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（
）
A．函数值域中的每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
E.函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
【答案】CE
【解析】由函数的定义知，函数值域中的每一个数在定义域中可以有多个数与之对应，A错误；
函数的定义域和值域都不是空集，B错误；
函数的定义域和值域一定是数集，C正确；
函数的定义域和值域相同，但函数的对应关系可以不同，如定义域和值域均为的函数，对应关系可以是，，还可以是，，D错误；
函数的定义域和对应关系确定后，函数就确定了，就可以求出函数的值域，E正确.
故选：CE.
19．（2020·全国高一课时练习）设，，则____________.
【答案】0
【解析】因为，所以，
又，所以.
20．（2020·浙江柯城?衢州二中高三其他）已知函数的值域为，则实数t的取值范围是__________．
【答案】
【解析】令，
当时，，因为在上单调递增，因此值域为为的子集，所以；
当时，，
为的子集，所以；
当时，，当且仅当时取等号，因为为的子集，所以；
综上，
2、拓展提升
1．（2020·全国高一）已知，求定义域与值域.
【解析】要使函数有意义，则，解得.
所以原函数的定义域是.
，∴，即，所以值域为.
2．（2020·全国高一课时练习）已知
（1）画出f(x)的图象；
（2）若，求x的值；
（3）若，求x的取值范围.
【解析】（1）函数的对称轴，当时，；当时，；当时，，则f(x)的图象如图所示.
（2）等价于①或②或③
解①得，②③的解集都为
∴当时，.
（3）由于，结合此函数图象可知,使的x的取值范围是
3．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝
(x≠－1).求：
（1）f(0)及的值；
（2）f(1－x)及f(f(x)).
【解析】（1）因为，
所以，，
所以；
（2）因为，
所以，
.
4．（2020·全国高一课时练习）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里),票价2元；
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.
【解析】当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
综上：函数解析式为
按照分段函数画出图像，如下图：
5．（2020·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.
（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
（3）.
【解析】（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
（2）设x＋1＝t，则x＝t－1
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
（3）解，将原式中的x与互换，得.
于是得关于f(x)的方程组
解得.
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