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第三章
函数的概念与性质
第3节
幂函数
1、基础巩固
1．（2020·陕西新城?西安中学高二期末（文））以下命题正确的是（
）
①幂函数的图像都经过
②幂函数的图像不可能出现在第四象限
③当时，函数的图像是两条射线（不含端点）
④是奇函数，且在定义域内为减函数
A．①②
B．②④
C．②③
D．①③
2．（2020·浙江越城?绍兴市阳明中学高二期中）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））已知幂函数的图象不过原点，则的值为（）
A．0
B．-1
C．2
D．0或2
4．（2020·广西北流市实验中学高三开学考试（理））若，则下列一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·天津市第五中学高二期中）已知函数f（x）=x2–m是定义在区间[–3–m，m2–m]上的奇函数，则
A．f（m）B．f（m）=f（1）
C．f（m）>f（1）
D．f（m）与f（1）大小不确定
6．（2020·鞍山市第八中学高一期中）若幂函数没有零点，则的图象关于（
）对称
A．原点
B．x轴
C．y轴
D．没有
7．（2020·辽宁沈阳?高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
8．（2020·开鲁县第一中学高一期末（文））下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·浙江高一课时练习）若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·浙江高一课时练习）5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（
）
A．只有①②
B．只有②③
C．只有②④
D．只有④⑤
11．（2020·全国高一课时练习）以下结论正确的是（
）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过、两点
C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
12．（2020·浙江高一课时练习）已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（
）
A．，均为奇数，且
B．为偶数，为奇数，且
C．为奇数，为偶数，且
D．为奇数，为偶数，且
13．（2020·浙江高一课时练习）下面4个图象都是幂函数的图象，函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·浙江高一课时练习）函数（，）与的图象如图，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
15．（2019·浙江高三月考）在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（
）．
A．
B．
C．
D．
16．（2020·湖北武汉?高三其他（理））若0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x、y、z的大小关系为（
A．x＜z＜y
B．y＜x＜z
C．y＜z＜x
D．z＜y＜x
17．（多选题）（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（
）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则.
18．（多选题）（2019·福建湖里?厦门双十中学高一期中）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是；③在上是减函数.则以下幂函数符合这三个性质的有（
）
A．
B．
C．
D．
E.
19．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知实数a，b满足等式，则下列五个关系式中可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
20．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（
）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
E.m，n是奇数时，幂函数的定义域为
2、拓展提升
1．（2019·福建泉州?高一期中）已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，试判断函数在区间上的单调性，并求函数在区间上的值域．
2．（2017·铜梁一中高三月考（文））已知幂函数,且在上单调递增.
(1)求实数的值,并写出相应的函数的解析式;
(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;
(3)试判断是否存在正数,使函数在区间上的值域为若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
3．（2020·浙江高一课时练习）已知在区间上，函数与都是减函数，试求的取值范围.
4．（2018·郁南县连滩中学高一期中）已知函数，且.
（1）求的值；
（2）证明的奇偶性；
（3）判断在上的单调性，并给予证明.
5．（2020·浙江高一课时练习）已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.
（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.
（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.
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第三章
函数的概念与性质
第3节
幂函数
1、基础巩固
1．（2020·陕西新城?西安中学高二期末（文））以下命题正确的是（
）
①幂函数的图像都经过
②幂函数的图像不可能出现在第四象限
③当时，函数的图像是两条射线（不含端点）
④是奇函数，且在定义域内为减函数
A．①②
B．②④
C．②③
D．①③
【答案】C
【解析】①幂函数不经过原点，所以①不正确；
②形如，的函数是幂函数，当时，，
所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确；
③的定义域是，，所以时，
的图象是两条射线（不含端点），所以③正确；
④是奇函数，函数的定义域是，
函数在是减函数，在也是减函数，
但在定义域内不是减函数，所以④不正确.
2．（2020·浙江越城?绍兴市阳明中学高二期中）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】自变量满足，故，
故函数的定义域为.
故选：A.
3．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））已知幂函数的图象不过原点，则的值为（）
A．0
B．-1
C．2
D．0或2
【答案】A
【解析】函数是幂函数，
，解得：或，
当时，，过原点，不满足条件；
当时，，不过原点，满足条件，
.
4．（2020·广西北流市实验中学高三开学考试（理））若，则下列一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，由，但并不清楚之间大小关系
所以大小关系不明确，则A,B不对
因为，由，所以
有在单调递增，所以，故C正确，D错误
5．（2020·天津市第五中学高二期中）已知函数f（x）=x2–m是定义在区间[–3–m，m2–m]上的奇函数，则
A．f（m）B．f（m）=f（1）
C．f（m）>f（1）
D．f（m）与f（1）大小不确定
【答案】A
【解析】因为幂函数f（x）是奇函数，奇函数的定义域必然关于原点对称，
所以（–3–m）+（m2–m）=0，解得m=–1或m=3．
当m=–1时，函数f（x）=x3，–2≤x≤2，所以f（m）=f（–1）当m=3时，函数f（x）=，在x=0时无意义，不满足题意，舍去,故选A．
6．（2020·鞍山市第八中学高一期中）若幂函数没有零点，则的图象关于（
）对称
A．原点
B．x轴
C．y轴
D．没有
【答案】A
【解析】∵函数为幂函数，且与轴无交点
∴，，
解得或且，∴.
∴是奇函数，∴关于原点对称.
7．（2020·辽宁沈阳?高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由题意可得：且为偶数，，
解得，且为偶数，，
∴．
8．（2020·开鲁县第一中学高一期末（文））下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A选项，函数的定义域为，所以函数是非奇非偶函数，排除A；
B选项，幂函数在上单调递减，排除B；
C选项，函数的定义域为，，所以函数是奇函数，排除C；
D选项，函数的定义域为，且，所以函数是偶函数；又由幂函数的性质可得，幂函数在上单调递增，故D正确；
9．（2020·浙江高一课时练习）若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设，
联立得，
因为，
所以，
由它们的图象可知的取值范围是.
10．（2020·浙江高一课时练习）5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（
）
A．只有①②
B．只有②③
C．只有②④
D．只有④⑤
【答案】C
【解析】①的定义域为，
②的定义域为R，
③的定义域为，
④的定义域为R，
⑤的定义域为，
11．（2020·全国高一课时练习）以下结论正确的是（
）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过、两点
C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
【答案】D
【解析】对于A选项，当时，函数的定义域为，
所以，函数的图象是两条射线，A选项错误；
对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误；
对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误；
对于D选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，
若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D选项正确.
12．（2020·浙江高一课时练习）已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（
）
A．，均为奇数，且
B．为偶数，为奇数，且
C．为奇数，为偶数，且
D．为奇数，为偶数，且
【答案】D
【解析】由幂函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，所以为偶数，则为奇数，
因为图象在第一象限内向上凸起，且在单调递增，所以.
13．（2020·浙江高一课时练习）下面4个图象都是幂函数的图象，函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由幂函数的性质可知，函数的图象在上单调递减，则AC错误；
令，
因为，所以函数为偶函数，则D错误；
14．（2020·浙江高一课时练习）函数（，）与的图象如图，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图可知，单调递增，则；单调递减，则，
A：0不一定成立，如；
B：不一定成立，如；
C：不成立，的；
D：，成立．
15．（2019·浙江高三月考）在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】为幂函数，为指数函数
A.
过定点，可知，，的图象符合，故可能.
B.
过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
C.
过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
D.图象中无幂函数图象，故不可能.
16．（2020·湖北武汉?高三其他（理））若0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x、y、z的大小关系为（
A．x＜z＜y
B．y＜x＜z
C．y＜z＜x
D．z＜y＜x
【答案】A
【解析】因为，
故单调递减；
故，
幂函数单调递增；
故，
则、、的大小关系为：；
17．（多选题）（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（
）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则.
【答案】ACD
【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，
=.
=.
==.
即成立，所以D正确.
18．（多选题）（2019·福建湖里?厦门双十中学高一期中）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是；③在上是减函数.则以下幂函数符合这三个性质的有（
）
A．
B．
C．
D．
E.
【答案】CD
【解析】A.
，为偶函数，排除；B.
，值域为，排除；
C.
，为奇函数，值域为，在上是减函数，满足；
D.
，为奇函数，值域为，在上是减函数，满足；
E.
，为偶函数，排除；
19．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知实数a，b满足等式，则下列五个关系式中可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
【答案】ACE
【解析】画出与的图象（如图），设，作直线.
从图象知，若或1，则；
若，则；
若；则.
故其中可能成立的是ACE.
20．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（
）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
E.m，n是奇数时，幂函数的定义域为
【答案】ACE
【解析】，
当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误
当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.
2、拓展提升
1．（2019·福建泉州?高一期中）已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，试判断函数在区间上的单调性，并求函数在区间上的值域．
【解析】（1）设，则，则，
所以．
（2）因为，
所以函数在区间上为增函数，
所以时，有最大值；时，有最小值．
所以函数在上的值域为．
2．（2017·铜梁一中高三月考（文））已知幂函数,且在上单调递增.
(1)求实数的值,并写出相应的函数的解析式;
(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;
(3)试判断是否存在正数,使函数在区间上的值域为若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意知,解得:.
2分
又
∴或,
3分
分别代入原函数,得.
4分
(2)由已知得.
5分
要使函数不单调，则，则.
8分
(3)由已知,.
9分
法一:假设存在这样的正数符合题意,
则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,
因而,函数在上的最小值只能在或处取得,
又,
从而必有,解得.
此时,,其对称轴,
∴在上的最大值为,符合题意.
∴存在,使函数在区间上的值域为14分法二:假设存在这样的正数符合题意,
由(1)知,
则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,
3．（2020·浙江高一课时练习）已知在区间上，函数与都是减函数，试求的取值范围.
【解析】解：因为幂函数时，函数在上单调递减，二次函数开口向下，在单调递减，
所以有，解得.
故实数的取值范围是：
4．（2018·郁南县连滩中学高一期中）已知函数，且.
（1）求的值；
（2）证明的奇偶性；
（3）判断在上的单调性，并给予证明.
【解析】（1），解得；
（2）因为，定义域为，关于原点对称，
又，因此，函数为奇函数；
（3）设，则，
因为，所以，所以，
因此，函数在上为单调增函数.
5．（2020·浙江高一课时练习）已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.
（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.
（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由于已知在上是增函数，因而，解得.
又，因而或1或2.
当或时，，不是偶函数；
当时，，符合题意.
（2）存在.理由如下：
由（1）知.
由于，因而当时，，
此时，函数单调递减，而函数在上单调递减，
则外层函数在上单调递增；
当时，，
此时，函数单调递增，而函数在上单调递减，
则外层函数在上单调递减.
所以，即.
所以存在满足题设条件.
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