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第三章
函数的概念与性质
第4节
函数的应用（一）
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）若一根蜡烛长20
cm，点燃后每小时燃烧5
cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
A．
B．
C．
D．
2．（2020·全国）如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f（x）的图象大致是下面图中的（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·全国）在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x
1
2
3
…
y
1
3
5
…
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2019·临高县临高中学高一期中）2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为(
)
级数
全月应纳税所得额
税率(%)
1
不超过元
3
2
元
10
注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额.
A．7000元
B．7500元
C．6600元
D．5950元
5．（2019·全国高一课时练习）给下图的容器甲注水，下面图像中哪一个图像可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：（
）．
A．
B．
C．
D．
6．（2019·全国高一课时练习）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（
）
A．90万元
B．60万元
C．120万元
D．120.25万元
7．（2018·全国高一课时练习）在一次为期
15
天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐
40
人，已知第
t
日参加比赛的运动员人数
M
与
t
的关系是M(t)＝为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是( )
A．7
B．8
C．9
D．10
8．（2018·全国高一课时练习）某宾馆共有客床100张，各床每晚收费
10
元时可全部住满，若每晚收费每提高
2
元，便减少
10
张客床租出，则总收入
y(y>0)元与每床每晚收费应提高
x(假设
x
是
2
的正整数倍)元的关系式为( )
A．y＝(10＋x)(100－5x)
B．y＝(10＋x)(100－5x)，x∈N
C．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8，…，18
D．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8
9．（2020·全国高一课时练习）高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·浙江高一课时练习）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(
)
A．75,25
B．75,16
C．60,25
D．60,16
11．（2020·浙江高一课时练习）某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利(
)
A．元
B．元
C．元
D．元
12．（2020·浙江高一课时练习）某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3
km)，以后每1
km价为1.8元(不足1
km按1
km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
A．
B．
C．
D．
13．（2020·浙江高一课时练习）面积为的长方形的某边长度为，则该长方形的周长与的函数关系为
A．
B．
C．
D．
14．（2020·全国高一专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30
000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（
）
A．2
000套
B．3
000套
C．4
000套
D．5
000套
15．（2020·全国高一专题练习）某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（
）
A．15
B．25
C．40
D．130
16．（2020·全国高一专题练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（
）
A．310元
B．300元
C．290元
D．280元
17．（2019·河南信阳?高一期中）如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4
m，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
18．（2019·广东南沙?高一期中）如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是（
）
A．
B．
C．
D．
19．（2019·全国高一课时练习）某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１（０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）
A．１００台
B．１２０台
C．１５０台
D．１８０台
20．（2020·全国高一课时练习）李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为，（其中x为销售辆数），若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为（
）
A．11000
B．22000
C．33000
D．40000
2、拓展提升
1．（2020·全国高一专题练习）共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20
000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数
其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．
(1)试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
2．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：km/h）是车流密度（单位：辆/km）的函数，当桥上的车流密度达到180辆/km时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过30辆/km时，车流速度为50km/h，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h）可以达到最大，并求出最大值．
3．（2019·河北石家庄二中）二次函数满足，且．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．
4．（2019·河南林州?高一月考）已知函数是定义在上的函数，图象关于轴对称，当，.
（1）求出的解析式.
（2）若函数与函数的图象有四个交点，求的取值范围.
5．（2020·全国高一课时练习）某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以
的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速表示为时间的函数，并画出函数的图象．
26．（2020·浙江高一课时练习）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．
（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？
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第三章
函数的概念与性质
第4节
函数的应用（一）
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）若一根蜡烛长20
cm，点燃后每小时燃烧5
cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
依题设可知，蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次函数关系，
又∵函数图象必过点(0,20)、(4,0)两点，且该图象应为一条线段．∴选B.
2．（2020·全国）如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f（x）的图象大致是下面图中的（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意得
，分段函数图像分段如下：
故选：A
3．（2020·全国）在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x
1
2
3
…
y
1
3
5
…
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：根据表中数据可判断函数为一次函数，
将各数据代入中均成立，
故选：．
4．（2019·临高县临高中学高一期中）2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为(
)
级数
全月应纳税所得额
税率(%)
1
不超过元
3
2
元
10
注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额.
A．7000元
B．7500元
C．6600元
D．5950元
【答案】A
【解析】设此人的工资为元，纳税额为，则有，
当时，，故当（元）时，，
令，
则（元），故选A.
5．（2019·全国高一课时练习）给下图的容器甲注水，下面图像中哪一个图像可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】容器下端较窄，上端较宽，当均匀的注入水时，刚开始的一段时间高度变化较大，随时时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化不太明显，四个图像中只有B项符合特点
6．（2019·全国高一课时练习）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（
）
A．90万元
B．60万元
C．120万元
D．120.25万元
【答案】C
【解析】设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，公司获利为，∴当或10时，最大，为120万元.故选C.
7．（2018·全国高一课时练习）在一次为期
15
天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐
40
人，已知第
t
日参加比赛的运动员人数
M
与
t
的关系是M(t)＝为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是( )
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【解析】当时，函数为一次函数，单调递增，当时取得最大值，即.当时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为，由于为整数，故当时取得最大值，即，故选.
8．（2018·全国高一课时练习）某宾馆共有客床100张，各床每晚收费
10
元时可全部住满，若每晚收费每提高
2
元，便减少
10
张客床租出，则总收入
y(y>0)元与每床每晚收费应提高
x(假设
x
是
2
的正整数倍)元的关系式为( )
A．y＝(10＋x)(100－5x)
B．y＝(10＋x)(100－5x)，x∈N
C．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8，…，18
D．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8
【答案】C
【解析】依题意可知总收入的表达式为，由于是的正整数倍，且，即，故.答案为选项.
9．（2020·全国高一课时练习）高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
10．（2020·浙江高一课时练习）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(
)
A．75,25
B．75,16
C．60,25
D．60,16
【答案】D
【解析】由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，
可得出=30故=4，可得A=16
从而c=15=60
故答案为D
11．（2020·浙江高一课时练习）某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利(
)
A．元
B．元
C．元
D．元
【答案】C
【解析】无折扣的售价为：200125%=250（元），
打折后售价为：2500.9=225(元)，
获利;225-200=25(元)，
所以若按9折出售，每件还可获利25元。
12．（2020·浙江高一课时练习）某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3
km)，以后每1
km价为1.8元(不足1
km按1
km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是
).
对应的值都是5，
以后毎价为元，
不足按计价，
时，
时，，故选B.
13．（2020·浙江高一课时练习）面积为的长方形的某边长度为，则该长方形的周长与的函数关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】面积为的长方形的某边长度为，则另一边长为：，周长为.
14．（2020·全国高一专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30
000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（
）
A．2
000套
B．3
000套
C．4
000套
D．5
000套
【答案】D
【解析】因利润z＝12x－(6x＋30
000),所以z＝6x－30
000,由z≥0解得x≥5
000,故至少日生产文具盒5
000套.
故选：D
15．（2020·全国高一专题练习）某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（
）
A．15
B．25
C．40
D．130
【答案】B
【解析】由题意，函数，
令，若，则，不合题意；
若，则，满足题意；
若，则，不合题意．
故该公司拟录用25人．
16．（2020·全国高一专题练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（
）
A．310元
B．300元
C．290元
D．280元
【答案】B
【解析】设函数解析式为，
函数图象过点(1，800)，(2，1
300)，则
解得
所以，当x＝0时，y＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元．
17．（2019·河南信阳?高一期中）如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4
m，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：设长为，则长为
又因为要将点围在矩形内，
则矩形的面积为，
当时，当且仅当时，
当时，
分段画出函数图形可得其形状与接近
18．（2019·广东南沙?高一期中）如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，
当时间取时，漏斗中液面下落的高度不
会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．
故选：．
19．（2019·全国高一课时练习）某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１（０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）
A．１００台
B．１２０台
C．１５０台
D．１８０台
【答案】C
【解析】依题意
利润0，整理得，解得
，又因为X∈（0，240），所以最低产量是150台．
20．（2020·全国高一课时练习）李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为，（其中x为销售辆数），若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为（
）
A．11000
B．22000
C．33000
D．40000
【答案】C
【解析】设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售辆，故利润，所以当x=60辆时，有最大利润33000元，故选C．
2、拓展提升
1．（2020·全国高一专题练习）共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20
000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数
其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．
(1)试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
【解析】(1)依题设知，总成本为元，则
(2)当时，，故当时，；
当时，是减函数，故
.
所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25
000元．
2．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：km/h）是车流密度（单位：辆/km）的函数，当桥上的车流密度达到180辆/km时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过30辆/km时，车流速度为50km/h，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h）可以达到最大，并求出最大值．
【解析】（1）由题意：当时，；当时，设
再由已知得，解得，
故函数的表达式为；
（2）依题意并由（1）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为50×30=1500；
当时，
所以，当时，在区间[20,200]上取得最大值2700；
综上，当时，在区间[0,200]上取得最大值,
即当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值2700辆/小时.
3．（2019·河北石家庄二中）二次函数满足，且．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）设，则.
，
，解得，因此，；
（2）当时，由，得，得，
构造函数，，下面证明函数在区间上的单调性.
任取、，且，即，
则，
，，，，，
所以，函数在区间上单调递增，则，，
解得，因此，实数的取值范围是.
4．（2019·河南林州?高一月考）已知函数是定义在上的函数，图象关于轴对称，当，.
（1）求出的解析式.
（2）若函数与函数的图象有四个交点，求的取值范围.
【解析】（1）函数图象关于轴对称，即为偶函数，
当时，，
当时，，，
所以；
（2）由第一问，根据二次函数性质，作出函数图象：
要使函数与函数的图象有四个交点，则
5．（2020·全国高一课时练习）某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以
的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速表示为时间的函数，并画出函数的图象．
【解析】由题意得：路程表示为时间的函数：图像如图：
车速v()表示为时间的函数：图像如图
6．（2020·浙江高一课时练习）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．
（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？
【解析】（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，
将（30，800），（60，2000）代入得，
，解得，
∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．
（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，
则，解得．
即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，
解方程组，得，
即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇．
（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，
∵75–60=15，
∴小明希望比爸爸早18
min到达公园，
则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min．
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精品试卷·第
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