1.1.1 菱形的性质与判定-课件(共23张PPT)

第一章
特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定(一)
2020年秋北师大版九年级上册
一、情景导入
思考：这种平行四边形特殊在哪里？
图片中有你熟悉的图形吗？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
A
D
C
B
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
学习概念
★菱形是特殊的平行四边形
(1)菱形具有平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平行四边形
菱形
轴对称
中心对称图形
边
对边平行且相等
角
对角相等
对角线
互相平分
二、探索性质
二、探究菱形的性质
(1)菱形是轴对称图形吗？如果是,请指出它的对称轴.
(2)菱形的对角有什么特殊性质？
结论:
(1)菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
(2)菱形的对角被对角线平分.
二、探究边的性质
(3)菱形的边有什么特殊性质？
(4)菱形的对角线有什么特殊性质?
结论:（3）菱形的四条边都相等
（4）菱形的对角线互相垂直
已知：如图，在 ABCD中，AB=AD，
对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD；
A
B
C
O
D
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
求证：菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB = OD.
在等腰△ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，即AC⊥BD
A
B
C
O
D
已知：如图，在 ABCD中，AB=AD，
对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD；
∵AB = AD，
∴△ABD是等腰三角形
又∵AC⊥BD
∴ ∠1=∠2
同理可证， ∠3=∠4， ∠5=∠6，∠7=∠8
∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
A
B
C
O
D
已知：如图，在 ABCD中，AB=AD，
对角线AC与BD相交于点O.
求证: AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
1
2
求证：菱形的对角被对角线平分
5
6
3
4
7
8
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平行四边形
菱形的特殊性质
轴对称
中心对称图形
轴对称图形
边
对边平行且相等
四条边都相等
角
对角相等
每条对角线平分
一组对角
对角线
互相平分
互相垂直
归纳总结
菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
A
B
C
D
O
菱形的性质定理：
(1)菱形的四条边都相等
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=AD=BC
(2)菱形的对角线互相垂直
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
三、典例精析
类型：求线段的长度
例： 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD
OB= OD= BD= ×6=3
在等腰△ABD中， ∠BAD=60°
∴ △ABD是等边三角形
∴ AB=BD=6
在Rt△ABO中，由勾股定理得

∴AC＝2OA＝2× ＝
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO = AC = ×6=3cm
BO = BD = ×12=6cm
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴C菱形＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)．
变式练习
1.下列说法不正确的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直B．菱形的对角线平分各内角
C．菱形的对角线相等D．菱形的对角线交点到各边等距离
四、巩固练习
C
A
B
C
O
D
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， 已知AB=5cm，AO=4cm，则BD的长为 .
6cm
四、巩固练习
3.如图，在菱形ABCD中，AC是菱形的对角线，∠D=150°， 则∠1等于（ ）
A.30° B.25 C.20° D.15°
A
B
C
D
D
1
4.如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A.24 B.18 C.12 D.9

A
5. 如图，菱形ABCD的周长为24 cm，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 2.5cm D. 2cm
四、巩固练习
A
6. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°， 点E、F分别为AO和AB的中点，则EF的长度为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
D
7.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF
在Rt △ACE和Rt △ ACF.
∵ CE＝CF ，AC＝AC，
∴ Rt △ACE≌ Rt △ACF（HL）.
∴AE＝AF.
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长.
四、巩固练习
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
∴AE∥CD，∠AOB=90°.
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB.
∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
AD=CD= =5.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8.
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
五、课堂小结
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
菱形的性质
轴对称
中心对称图形
轴对称图形
边
对边平行且相等
四条边都相等
角
对角相等
邻角互补
每条对角线平分
一组对角
对角线
互相平分
互相垂直
计算
周长=边长的四倍
六、布置作业
课本P4 习题1.1 第1,2题