第一章 特殊平行四边形 回顾与思考课件(共30张PPT)

第一章
特殊平行四边形
专题复习
2020年秋北师大版九年级上册
思维导图
（一）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
二、知识梳理
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
菱形
矩形
正方形
轴对称
轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
中心对称图形
边
对边平行，
四边都相等
对边平行
且相等
角
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线
对角线互相
垂直平分
对角线相等
且互相平分
轴对称图形
中心对称图形
对边平行
四条边相等
四个角
都是相等
对角线相等
互相垂直平分
（二）菱形、矩形、正方形的性质
二、知识梳理

四边形
条件
矩形
菱形
正方形
（三）菱形、矩形、正方形的判定
①定义：有一外角是直角的平行四边形
②三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形
①定义：一组邻边相等的平行四边形
②四条边都相等的四边形
③对角线互相垂直的平行四边形
①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
②有一组邻边相等的矩形
③有一个角是直角的菱形
有一个角是90°
（或对角线互相垂直）
有一对邻边相等
（或对角线相等）
平行四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直平分且相等）
有一个角是90°
对角线相等
有一对邻边相等
对角线互相垂直
（三）菱形、矩形、正方形的判定
1. 如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，若菱形ABCD的面积为24，AE=4，则AB的长为 （ ）
A. 12
B. 6
C.
D. 2
B
考点精析
（一）菱形的性质与判定
2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为 （ ）
A. 2 B. 3 C. D. 2
D
3. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF=6，则四边形AEDF的周长是（ ）
A. 24 B. 28 C. 32 D. 36
A
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB = ， BD=2，求OE的长．
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠DCA.
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC.
∴∠DCA=∠DAC.
∴CD=AD=AB.
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD=AB，∴ ABCD是菱形.

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC.
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC.
∵BD=2，
∴OB=—BD=1.
在Rt△AOB中，AB= ，OB=1，
∴OA= =2.
∴OE=OA=2．
2
1
5. 如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC.
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长.
（1）证明：∵∠ADE=∠BAD，
∴AB∥DE.
∵AE⊥AC，BD⊥AC，∴AE∥BD.
∴四边形ABDE是平行四边形.
（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠BDA.∴∠BAD=∠BDA.
∴BD=AB=5.
设BF=x，则DF=5-x，
∴AD2-DF2=AB2-BF2.
∴62-（5-x）2=52-x2.∴x= .
∴AF= =
∴AC=2AF= .
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF.
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AB=8，AD=4，求BF的长.
（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB.
∴∠ABD=∠EDB.
∴EB=ED.
∴平行四边形BFDE是菱形.
（2）解：∵ED∥BF，∠C=90°，
∴∠ADE=90°.
设BF=x，∴DE=BE=x. ∴AE=8-x.
在Rt△ADE中，AE2=DE2+AD2,
∴（8-x）2=x2+42.解得x=3.
∴BF=3.
1. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE=AB，则∠CBE等于( )
A. 30° B. 22.5°
C. 15° D. 以上答案都不对
C
考点精析
（二）矩形的性质与判定
2. 如图，矩形ABCD中，对角线AC=2 ，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，点B恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=_______.
3.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF.
（1）求证：D是BC的中点;
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE.
∵E是AD的中点，∴AE=DE.
∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC.
∴AF=DC.∵AF=BD.∴BD=CD.
∴D是BC的中点.
（2）解：四边形AFBD是矩形，
证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形.
∴四边形AFBD是矩形.
4.如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF.
（1）求证：CF=AD；
（2）若CA=CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由.
（1）证明：∵AB∥CF,∴∠EAD=∠EFC，∠ADE=∠FCE.
∵E是CD的中点，∴DE=CE.
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠EFC，∠ADE=∠ECF,DE=EC,
∴△ADE≌FCE(AAS).
∴AD=CF.
（2）解：四边形CDBF是矩形.
理由如下：∵AD=CF，CD是AB边上的中线,
∴AD=BD.∴BD=CF.
又∵BD∥CF,
∴四边形CDBF是平行四边形.
∵CA=CB，AD=BD，
∴CD⊥AB.∴∠CDB=90°.
∴四边形CDBF是矩形.
1. 如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE的最小值是 （ ）
A.
B.
C.
D.
A
考点精析
（三）正方形的性质与判定
2.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E,F,G,H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，
则四边形EFHG的面积是______.
12
3.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是________.
4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC ，对角线BD平分∠ ABC ，P是BD上一点，过点P作PM ⊥ AD ，PN ⊥ CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证：∠ADB=∠CDB;
C
A
B
D
P
M
N
证明：∵BD平分∠ABC.
∴∠ABD=∠CBD.
∵ AB = BC， BD = BD
∴△ABD≌△CBD (AAS).
∴∠ADB=∠CDB.
4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC ，对角线BD平分∠ ABC ，P是BD上一点，过点P作PM ⊥ AD ，PN ⊥ CD ,垂足分别为M、N.
(2) 若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是矩形
5. 如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；
证明:∵四边形EFGA和四边形ABCD都是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，∠DAB=90°, ∠EAG=90°
∵ ∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB.
在△GAD和△EAB中，
AG=AE，AB=AD，∴∠GAD=∠EAB.
∴△GAD≌△EAB（SAS）.
∴EB=GD.
5. 如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（2）解：EB⊥GD．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°.
∴∠AMB+∠ABM=90°.
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA=∠EBA.
∵∠HMD=∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°.
∴∠DHM=180°-（∠HDM+∠DMH）=180°-90°=90°.
∴EB⊥GD．
5.如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（3）若AB=2，AG= ，求EB的长．
解：连接AC，BD，BD与AC交于点O.
∵AB=AD=2，
在Rt△ABD中，DB= ，
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理,得2AO2=22，OA= ，
即OG=OA+AG= + =2 ，
∴EB=GD= ．
六、布置作业
课本P26 复习题