北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程专题训练 小专题(二) 一元二次方程应用的类型与解题技巧（Word版 含答案）

北师大版九年级上册数学专题训练
小专题(二)　一元二次方程应用的类型与解题技巧
【专题概述】
能应用一元二次方程解决的实际问题很多,类型也是千变万化,对于几种常见类型的分析思路、解题技巧进行归纳总结,可以提高我们解决实际问题的能力.
【专题训练】
类型1　增长(降低)率问题
此类问题是在某个数据的基础上连续增长(降低)两次得到新的数据.常见的等量关系是:a(1±x)2=b,其中b为增长(降低)后的数量,a为增长(降低)前的基数,x为增长率(降低率).
1.安徽省某市统计局发布,2019年全市全年生产总值为684.9亿元,比上年增长5.7%,若今、明两年年增长率保持不变,则2021年全年生产总值为
(
)
A.(1+5.7%×2)×684.9亿元
B.(1+5.7%)2×684.9亿元
C.2×(1+5.7%)×684.9亿元
D.2×5.7%(1+5.7%)×684.9亿元
2.随着生产技术的进步,某厂生产一件产品的成本从两年前的100元下降到现在的64元,求年平均下降率.设年平均下降率为x,通过解方程得到一个根为1.8,则正确的解释是
(
)
A.年平均下降率为80%,符合题意
B.年平均下降率为18%,符合题意
C.年平均下降率为1.8%,不符合题意
D.年平均下降率为180%,不符合题意
3.随着我省打造VR产业基地计划的推进,某企业推出以“红色文化”为载体的产品.若2018年盈利60万元,计划到2020年盈利93.75万元,则该产品的年利润平均增长率为　
　.?
类型2　循环比赛问题
这类问题一般是单循环比赛(也有双循环的),单循环比赛制,就是若共有n队,其中的每一个队都要与其他的队进行一次比赛,则这样比赛的总次数是n(n-1).
4.某班同学毕业时都将自己的照片向班上其他同学各送一张表示留念,全班共送了2070张照片.如果全班有x名同学,根据题意列出正确的方程为
(
)
A.x(x-1)=2070
B.x(x-1)=2070×2
C.x(x+1)=2070
D.2x(x+1)=2070
5.为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平,我市开展“市长杯”足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?设邀请x个球队参赛,根据题意,可列方程为?
　.?
6.近日,“知感冒,防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕,已知有1个人患了流感,经过两轮传染后共有169个人患了流感,求每轮传染中平均一个人传染多少人?
类型3　利润问题
此类问题常见的等量关系是:利润=售价-进价,总利润=每件商品的利润×销售数量,利润率=.
7.某商店将进价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现商家采用提高售价,减少进货量的方法增加利润.如果这种商品每件涨0.5元,其销量就会减少10件,那么要使利润为640元,需将售价定为
(
)
A.16元
B.12元
C.16元或12元
D.14元
8.2020年元旦,某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台.为了更好地促进销售,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?
9.某商场新上市一款毛衣,进价是40元,当售价为80元时,一天可以销售20件.若售价每降价1元,则每天可以多卖2件.设售价为x(x≤80)元,当天的销售量为y件.
(1)销售量y与售价x之间的函数表达式为　
　.?
(2)在尽可能增大销售量的前提下,问这款毛衣降价后的售价为多少元时,商场当天可获利1200元?
类型4　数字问题
根据数字问题列方程,只要根据题目中给出的相等关系列出方程即可,但要注意两位数或三位数的表示方式.两位数=(十位数字)×10+(个位数字);三位数=(百位数字)×100+(十位数字)×10+(个位数字).
10.如图是一张月历表,在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17,18,24,25),如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153,那么这四个数的和为
(
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
A.40
B.48
C.52
D.56
11.一个两位数,其十位数字比个位数字大7,且十位数字与个位数字的和的平方等于这个两位数,则这个两位数是　
　.?
12.一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736,求原来的两位数.
类型5　有关的几何问题
数学上经常用方程解决几何问题,用一元二次方程解决几何问题也较为普遍.一是面积问题,这类问题一般把面积公式作为等量关系;二是直角三角形问题,这类问题一般把勾股定理作为等量关系;三是“动点问题”,这类问题是一般几何题的延伸,要学会用运动的观点看问题,根据条件设出未知数,应想办法把图中变化的线段用未知数表示出来,再根据题中给出的等量关系(可以是图形的面积、勾股定理等)列出方程.
13.如图,有长为22
m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为14
m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在BC上用其他材料做了宽为1
m的两扇小门.若花圃的面积刚好为45
m2,则此时花圃的宽AB为　
　m.?
14.如图,在矩形ABCD中,AB=6
cm,BC=8
cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动,
点Q从点C出发沿CD边向点D以1
cm/s的速度移动.如果点P,Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的?
参考答案
1.
(B)
2
(D)
3.　25%　
4.
(A)
5.?x(x-1)=21　
6.解:设每轮传染中平均一个人传染x人,
依题意,得1+x+x(x+1)=169,
解得x1=12,x2=-14(不合题意,舍去).
答:每轮传染中平均一个人传染12人.
7.
(A)
8.解:设每台冰箱应降价x元,根据题意,得
(2400-2000-x)=4800,
解得x1=100,x2=200.
∵要使百姓得到实惠,∴每台冰箱应降价200元.
答:每台冰箱应降价200元.
9.
(1)　y=-2x+180　
(2)解:(2)根据题意,得(x-40)(-2x+180)=1200,
解得x1=70,x2=60.
因为要尽可能增大销售量,所以x=60符合题意.
答:这款毛衣降价后的售价为60元时,商场当天可获利1200元.
10.
(C)
11.　81　
12.解:设原来两位数的十位数字为x,则个位数字为(5-x).
根据题意,得[10x+(5-x)][10(5-x)+x]=736,
整理,得x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3,
当x=2时,5-x=3符合题意,原来的两位数是23;
当x=3时,5-x=2符合题意,原来的两位数是32.
答:原来的两位数是23或32.
13.　5　
14.解:设x
s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的,由题意得CP=BC-BP=8-2x,CQ=x,
∴S△PCQ=CP·CQ=(8-2x)·x,
∴五边形ABPQD的面积=6×8-(8-2x)·x,
由题意可得(8-2x)·x=×6×8,
解得x=2,
∴2
s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的.