(共22张PPT)
23.1
图形的旋转
第2课时
旋转作图与平面直角坐标系中的旋转
R·九年级上册
【学习目标】
1．掌握图形旋转的基本作图，能综合运用平移、轴对称、旋转设计图案．
2．能综合运用旋转性质解决有关代数，几何类问题．
【学习重点】
用旋转的有关知识画图．
【学习难点】
综合运用旋转性质解决有关代数，几何类问题．
新课导入
导入课题
如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是由某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？
A
B
C
D
E
F
O
推进新课
知识点1
用旋转的知识画图
例
如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
A
D
B
C
E
A
D
B
C
E
①因为A是旋转中心，所以A点的对应点是
.
②根据正方形的性质：AD＝AB，∠ABD＝90°，所
以点D的对应点是点
.
③因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三
角形全等的判定方法
，作出△ADE的对应图
形为
.
A
D
B
C
E
E′
△ABE′
SAS
B
A
④E点的对应点E′，还有别的方法作出来吗？
以AB为一边向正方形外部作∠BAM，使∠BAM
=∠DAE，在AM上截取AE′=AE即可.（答案不唯一）
A
D
B
C
E
E′
M
观察课本上图案的变换过程，它们分别是改变旋转中的哪些要素旋转而成的？
O1
O2
O
α
O
β
a.旋转中心不变，旋转角改变，产生不同的旋转效果.
b.旋转角不变，旋转中心改变，产生不同的旋转效果.
任意画一个△ABC，以A为中心，把这个三角形逆时针旋转40°；
任意画一个△ABC，以AC中点为中心，把这个三角形旋转180°.
你能总结出旋转作图的一般步骤吗？
（1）分析图形，找出构成图形的关键点；
（2）确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向；
（3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关
键点的对应点；
（4）顺次连接各对应点.
知识点2
用旋转的知识设计图形
运用旋转作图应满足三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角会作出不同效果的图案.
你能利用旋转设计出美丽的图案吗？
B.
C.
D.
随堂演练
1.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（
）
C
2.
数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？
甲同学说：45°；乙同学说：60°；
丙同学说：90°；丁同学说：135°．
以上四位同学的回答中，错误的是
（
）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
3.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=
40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋
转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、
B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边C
A′交AB于点D，则旋转角等于（
）
A.70°
B.80°
C.60°
D.50°
B
4.
如图，△ABC中，∠C=90°，
∠B=40°，点D在边BC上，BD=2CD．△ABC绕着点D顺时针旋转一定角度后，点B恰好落在初始△ABC的边上，求旋转角α（0°＜α＜180°）的度数.
解：有两种情况：
①点B落在AB上，如B′，∵DB=DB′，
∴∠BDB′=180-∠B-∠BB′D
=180°-40°-40°=100°，
即α=100°.
②点B落在AC上，如B″，在Rt△DCB″中，
∵B″D=BD=2CD，∴∠DB″C=30°，
∴∠B″DC=60°，∴∠BDB″=120°，
即α=120°.
综上所述：α的度数为100°或120°.
课堂小结
旋转作图
旋转中心
旋转方向
旋转角
顺时针
逆时针
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
（1）本课时在前一课时学习基本性质的基础上，进一步运用这些性质解决一些问题，以及通过旋转设计美丽的图案，这种方法符合学生认识图形的过程，能使学生将知识升华到理论层次，同时对旋转的性质加以证明，并通过例题加以巩固.
（2）教学重点值得注意：①旋转的性质是解答问题和作图的基础和依据；②旋转角的认识对旋转作图的帮助；③作图时注意旋转的三要素，缺一不可.(共28张PPT)
23.1
图形的旋转
第23章
旋转
第1课时
旋转的概念与性质
【学习目标】
1．掌握旋转的有关概念，理解旋转变换是图形的一种基本变换．
2．理解旋转的性质．
【学习重点】
旋转的基本性质．
【学习难点】
探索旋转的基本性质．
这些运动有什么共同的特点？
情境引入
旋转的概念
B
O
A
45
0
问题
观察下列图形的运动，它有什么特点？
观察与思考
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动了______度.
120°
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
思考:怎样来定义这种图形变换？
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
怎样来定义这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对应点
旋转的定义
这个定点称为旋转中心.
转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转的对应点.
知识要点
例1.
三角形ABD经过旋转后到三角形ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?顺时针还是逆时针？
(3)如果M是AB的中点,经过上述旋转后,点M转到什么位置?
A
B
C
E
M
.
解：(1)旋转中心是点A;
D
(2)旋转了60
°,逆时针;
(3)点M转到了AC的中点上.
典例精析
填一填：若叶片
A
绕
O
顺时针旋转到叶片
B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____度，其中的对应点有_______、
_______、
_______、
_______、
_______、
_______
.
O
A
C
D
E
F
O
∠AOB
60
F与A
A与B
B与C
C与D
D与E
E与F
B
旋转中心
旋转角
旋转方向
必须明确
确定一次图形的旋转时,
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换同样属于全等变换.
归纳总结
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
例2
如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角为90°.故选C.
C
旋转的性质
A
B
B′
A′
C
．
M′
M
．
．
．
．
45°
绕点C逆时针旋转45°.
△ABC是如何运动到△A′B′C的位置？
合作探究
旋转中心是点__________；
图中对应点有_______________________________________;
图中对应线段有_____________________________________.
每对对应线段的长度有怎样的关系？
图中旋转角等于________.
C
点A与点A′,点B与点B′,点M与点M′,点N与点N′
线段CA与CA′、CB与CB′、AB与A′B′
45°
相等
根据上图填空.
B'
A'
C'
A
B
C
O
线：
AO=A'O
，BO=B'O
，CO=C'O
角：∠AOA'=∠BOB'
=∠COC'
观察下图，你能得到什么结论？
D
E
A
B
F
C
O
1.对应点到旋转中心的距离相等;
2.两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.
旋转的性质
3.旋转中心是唯一不动的点.
4.旋转不改变图形的形状和大小.
知识要点
例3
如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度．
解析：连接EE′，
由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE'E=45°，
EE′
在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，
EE′
由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
135
例4
如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F．
求证：△BCF≌△BA1D；
解析：根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=
∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A1=∠A=
∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
由旋转的性质，可得
A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=
∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
△BCF≌△BA1D；
1.下列现象中属于旋转的有(
)个
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A.2
B.3
C.4
D.5
2.
下列说法正确的是(
)
A.旋转改变图形的形状和大小
B.平移改变图形的位置
C.
图形可以向某方向旋转一定距离
D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
B
C
当堂练习
A
B
C
D
E
3.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得Rt
△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC=
,
∠B=60
°，则CD的长为（
）
A.
0.5
B.
1.5
C.
D.
1
D
4.
△A
′
OB
′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知∠AOB=20
°,
∠
A
′
OB
=24°，AB=3,OA=5,则A
′
B
′
=
,OA
′
=
,旋转角等于
.
3
5
44
°
5.△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（
）
A.DE=3
B.AE=4
C.∠CAB是旋转角
D.∠CAE是旋转角
D
6.如图（1）中，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠D都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着A点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（
）
A.45°，90°
B.90°，45°
C.60°，30°
D.30°，60°
A
7.如图，△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，在平面直角坐标系中，三点坐标为A（1,0）、B（3,0）、C（1,4）.
请找出旋转中心P的位置，并写出P的坐标.
A
B
O
C
D
E
x
y
P（3,2）
8.如图所示，AB是长为4的线段，且CD⊥AB于O.你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法.
O
A
B
C
D
旋转到同一个象限，构成四分之一个圆
将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转，使一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示).你知道旋转角是多少吗？连结BB’，△ABB’有什么特征吗？
150°
拓展训练
旋转
定义
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度
性质
旋转前后的图形全等；
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
课堂小结
