苏科版2020年九年级上册第1章《一元二次方程》检测卷 （Word版 含解析）

苏科版2020年九年级上册第1章《一元二次方程》检测卷
满分120分
姓名：___________班级：___________学号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2+2xy＝1
B．x2+x+1
C．x2＝4
D．ax2+bx+c＝0
2．方程2x2+4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，﹣3，﹣4
B．2，﹣4，﹣3
C．2，﹣4，3
D．2，4，﹣3
3．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝8
B．（x﹣3）2＝10
C．（x+3）2＝8
D．（x+3）2＝10
4．一元二次方程x2﹣kx+2＝0的一个根为2，则k的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．3
D．﹣3
5．下列关于一元二次方程ax2+bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根
D．方程有一个实数根
6．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（　　）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
7．用公式法解一元二次方程，正确的应是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．方程＝4的根是x＝±16
B．方程＝﹣x的根是x1＝0，x2＝3
C．方程+1＝0没有实数根
D．方程3﹣的根是x1＝2，x2＝6
9．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（　　）
A．3
B．﹣3
C．
D．﹣
10．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（　　）
A．（1+n）2＝931
B．n（n﹣1）＝931
C．1+n+n2＝931
D．n+n2＝931
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知，关于x的方程（a+5）x2﹣2ax＝1是一元二次方程，则a　
　．
12．一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的根是　
　．
13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为　
　
14．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根，且x1+x2＝3，则m的值是　
　．
15．关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0．其根的判别式的值为1，则该方程的根为
　
　．
16．如图是一张长20cm、宽12cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是180cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为　
　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（12分）用适当的方法解一元二次方程
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；
（3）2x2+5x﹣1＝0
（4）（x﹣1）（x﹣3）＝8
18．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天赢利600元，每件衬衫应降价多少元？
19．（7分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：
（1）m的值；
（2）△ABC的面积．
20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k+1＝0有二个不相等的实根x1和x2，
（1）若，求k的值；
（2）求m＝（）（）+2k2+2k的最大值．
21．（8分）为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次下降的百分率相同．
（1）求这种药品每次降价的百分率是多少？
（2）已知这种药品的成本为100元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？
22．（8分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．
（1）求该广场绿化区域的面积；
（2）求广场中间小路的宽．
23．（9分）已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；
（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
24．（9分）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组
，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，
∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝　
　，x2＝　
　，
∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、该方程属于二元二次方程，故本选项不符合题意．
B、它不是方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．解：方程2x2+4x﹣3＝0的二次项系数是2，一次项系数是4、常数项是﹣3，
故选：D．
3．解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴（x﹣3）2＝10，
故选：B．
4．解：把x＝2代入x2﹣kx+2＝0得4﹣2k+2＝0，
解得k＝3．
故选：C．
5．解：∵△＝b2﹣4a×0＝b2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
6．解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2014+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．
故选：C．
7．解：方程整理得：4x2﹣8x﹣1＝0，
这里a＝4，b＝﹣8，c＝﹣1，
∵△＝64+16＝80，
∴x＝＝，
故选：B．
8．解：当x＝﹣16时，没有意义，故选项A错误；
当x＝3时，＝＝3，而﹣x＝﹣3，3≠﹣3，故选项B错误；
∵≥0，则+1≥1，故选项C正确；
3﹣不是方程，故选项D错误．
故选：C．
9．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，
所以＝．
故选：B．
10．解：由题意，得
n2+n+1＝931，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：由关于x的方程（a+5）x2﹣2ax＝1是一元二次方程，得
a+5≠0，
解得a≠﹣5．
故答案为：≠﹣5．
12．解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
故答案为：x1＝2，x2＝3．
13．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0
∴m﹣2≠0，m2﹣3m+2＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
14．解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根，且x1+x2＝3，
∴m﹣1＝3，
∴m＝4．
故答案为：4．
15．解：根据题意△＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，
解得m1＝0，m2＝2，
而m≠0，
∴m＝2，
此时方程化为2m2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x1＝，x2＝1．
故答案为x1＝，x2＝1．
16．解：依题意，得：（20﹣2x）（12﹣2x）＝180，
整理，得：x2﹣16x+15＝0，
解得：x1＝1，x2＝15．
∵12﹣2x＞0，
∴x＜6，
∴x＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．解：（1）开方得：x﹣1＝±2，
即x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2））（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝1；
（3）这里a＝2，b＝5，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝25﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（4）整理为x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1．
18．解：设每件衬衫降价x元，则每件赢利（40﹣x）元，每天可以售出（10+x）件，
依题意，得：（40﹣x）（10+x）＝600，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元．
19．解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是整数）．
∵a＝m2﹣1，b＝﹣9m+3，c＝18，
∴b2﹣4ac＝（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）＝9（m﹣3）2≥0，
设x1，x2是此方程的两个根，
∴x1?x2＝＝，
∴也是正整数，即m2﹣1＝1或2或3或6或9或18，
又m为正整数，
∴m＝2；
（2）把m＝2代入两等式，化简得a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0
当a＝b时，
当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2＝0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b＝4＞0，ab＝2＞0，则a＞0、b＞0．
①a≠b，时，由于a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12＝c2
故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝．
②a＝b＝2﹣，c＝2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．
③a＝b＝2+，c＝2时，因＞，故能构成三角形．
S△ABC＝×（2）×＝
综上，△ABC的面积为1或．
20．解：（1）∵x1、x2是方程x2﹣（2k+1）x+k+1＝0的实根，
∴∴x1+x2＝2k+1，x1x2＝k+1．
∵，
∴＝＝﹣2＝，
即8k2﹣k﹣7＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵方程x2﹣（2k+1）x+k+1＝0有二个不相等的实根，
∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k+1）＝4k2﹣3＞0，
∴k＜﹣或k＞，
∴k1＝﹣，k2＝1符合题意；
（2）∵x1+x2＝2k+1，x1x2＝k+1．
∴m＝（）（）+2k2+2k＝（x1x2）2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2+1+2k2+2k
＝﹣k2+2k+3
＝﹣（k﹣1）2+4，
∴k＝﹣1时，m有最大值4．
21．解：（1）设这种药品每次降价的百分率是x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝128，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：这种药品每次降价的百分率是20%．
（2）128×（1﹣20%）＝102.4（元），
∵102.4＞100，
∴按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本．
22．解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．
答：该广场绿化区域的面积为144平方米．
（2）设广场中间小路的宽为x米，
依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，
整理，得：x2﹣19x+18＝0，
解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．
答：广场中间小路的宽为1米．
23．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）＝4（k﹣）2≥0，此时方程有两个实数根．
综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．
（2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k﹣）＝0，
解得k＝1，
∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0，
解方程得x1＝1，x2＝2，
∴方程的另一根是2；
（3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则△＝0．
∴4（k﹣）2＝0，解得：k＝．
此时原方程化为x2﹣4x+4＝0
∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．
此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形，
当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，
求得k＝，
∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0．
解得x＝2或4，
∴c＝2，
∴周长为4+4+2＝10．
故这个等腰三角形的周长是10．
24．解：（1）利用求根公式可知：x1＝＝，x2＝＝2．
故答案为：；2．
（2）设所求矩形的两边分别是x和y，
根据题意得：，
消去y化简得：2x2﹣3x+2＝0．
∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，
∴该方程无解，
∴不存在满足要求的矩形B．
（3）设所求矩形的两边分别是x和y，
根据题意得：，
消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．
∵矩形B存在，
∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，
∴（m﹣n）2≥4mn．
故当m、n满足（m﹣n）2≥4mn时，矩形B存在．