陕西省汉中市汉台中学2021届高三上学期第一次月考数学（理）试题 PDF版含答案

细节决定成败 态度决定高度
汉台中学高三第 一 次月考数学（理）试题
(满分 分，时间 分钟
命题 曾正乾 校对 柴敦涛
一、选择题 ： （共 12 ?N??!??N? 5 6 .!?Z?N?
90Z!“.?F9N??%6 60 6?
1.设全集 ,集合 , ,则下列关系中正确的是
A. B. C. D.
2.设复数 (其中 为虚数单位 )，则 等于
A. B. C. D.
3.命题 “ 对任意的 ， 都有 ” 的否定为
A.存在 ， 使 B.对任意的 ， 都有
C.存在 ,使 D.存在 ,使
4.已知 是等差数列， 是其前 项和，若公差 且 ，则下列结论中 不 ．
正确的是 ． ． ． ．
A. B. C. D.
5. 为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，
将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图 （如图），
已知图中从左到右的前 3个小组的频率之比为 1∶ 2∶ 3，
第 1小组的频数为 6，则报考飞行员的学生人数是
A.36 B.40 C.48 D.50
6.方程 的根所在的区间是
A. B. C. D.
7． “ ”的一个充分条件是
A. 且 B. 且 C. 或 D. 或
8.用与球心距离为 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为
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A. B. C. D.
9.已知 , ,则 的面积为
A.2 B. C. D.
10.若函数 在 上既是奇函数又是增函数，则函
数 的图象是



A. B. C. D.
11． 二次函数 f(x)的二次项系数为正数，且对任意的 x∈ R G-9 f(x)＝ f(4－ x)成
2 2
立，若 f(1－ 2x)A． (2，＋ ∞) B． (－ ∞ ，－ 2)∪ (0,2)
C． (－ 2,0) D． (－ ∞ ，－ 2)∪ (0，＋ ∞)
?1 ? ?1? ?1 ?
12． 定义在 ? ， π?上的函数 f(x)满足 f(x)＝ f? ?，且当 x∈ ? ， 1?时， f(x)＝ ln x，若函
?π ? ?x? ?π ?
?1 ?
数 g(x)＝ f(x)－ ax在 ? ， π?上有零点，则实数 a 的取值范围是 ( )
?π ?
? ln π ?
A． [－ πln π， 0] B． ?－ ， 0?
? π ?
? 1 ln π? ? e 1?
C． ?－ ， ? D． ?－ ，－ ?
? e π ? ? π π?
二、填空题：（共 4 小题，每小题 5 分 .满分 20 分）
13.已知函数 , ，则 _______.

14.函数 ，（ 是常数， ）

的部分图像如图，则 _______.
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15. 已知函数 对于任意 都有
成立，则实数 的取值范围是 .
16. 如图所示是毕达哥拉斯（ Pythagoras）的生长程序：正
方形上连接着等腰直角 三角形，等腰直角三角形边上再连接
正方形，如此继续，若共得到 4095 个正方形，设初始正方
形的边长为 ， 则最小正方形的边长为 ．
三、 解答题： （ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .满分 70 分 ）
17. (本题满分 12 分 ) 已知向量 ，函数 f(x)＝ ＋ 3.
(Ⅰ )求 f(x)的最小正周期和对称轴；
(Ⅱ )求 f(x)在 [0,4π]上最大值及其对应 x的取值集合；


18． (本题满分 12 分 )
2 2
△ ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，设 (sinB－ sinC) ＝ sinA－
sinBsinC。
(Ⅰ )求 A；
(Ⅱ )若 2a＋ b＝ 2c，求 sinC。

19.(本题满分 12 分 )已知等差数列 ，满足 ， ．
（ Ⅰ ）求数列 的通项 ；
（ Ⅱ ）令 （ ） ， 求数列 的前 项和 ．


20(本题满分 12 分 )在抽样方法中，有放回抽样与无放回抽样中个体被抽到的概率
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是不同的，但当总体的容量很大 而抽取的样本容量很小时，无放回抽样可以近似
看作有放回抽样。现有一大批产品，采用随机抽样的方法一件一件抽取进行检验。
若抽查的 4 件产品中未发现不合格产品，则停止检查，并认为该批产品合格；若
在查到第 4 件或在此之前发现不合格产品，则也停止检查，并认为该批产品不合
格。假定该批产品的不合格率为 0.1，设检查产品的件数为 X．
(Ⅰ ) 求随机变量 X 的分布列和数学期望；
(Ⅱ ) 通过上述随机抽样的方法进行质量检查，求认为该批产品不合格的概率 ．




x
21. 已知函数 f (x)＝ ae ＋ 2x－ 1(其中常数 e＝ 2.718 28… 是自然对数的底数 )。
(Ⅰ )讨论函数 f (x)的单调性；
(Ⅱ )证明：对任意的 a≥ 1，当 x>0 时， f (x)≥ (x＋ ae)x。


2
?x＝ 3－ t，
? 2
22． （ 10 分） 在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 ? (t
2
?y＝ 5＋ t
2
?
为参数 )．在极坐标系 (与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，
以 x轴正半轴为极轴 )中，圆 C的方程为 ρ ＝ 2 5sin θ .
(Ⅰ )求圆 C的直角坐标方程；
(Ⅱ )设圆 C与直线 l交于点 A， B，若点 P的坐标为 (3， 5)，求 |PA|＋ |PB|.


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汉台中学 2021 届 高三 月考（ 1） 数学（ 理 ）答卷纸

题号 一 二 三（解答题） 总分
选择题 填空题 17 18 19 20 21 22
得分


线 一 、 选择 题 :（每小题 分 每小 题只有一个正确选项，请用 铅笔涂黑你的选项 ）
座位号
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项
二、填空题： （每小题 分 ，将答案填在相应的横线上）
13. ； 14. ；

15. ； 16. .
考试号 三、解答题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 )
17题（ 12分）



订
学生

班



三
高



试场

装

第

汉台中学
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18题（ 12分）













19题（ 12分）















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20题（ 12分）















21题（ 12分）





















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21题（续）














22题（ 10分）













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汉台中学 2021 届 高三 数学（理）月考（ 1）参考答案
一、填空题： 1— ． — ． ．
二、填空题： ; 15. ; 16.
三、解答题：
17 解析： (1)f(x)的最小正周期为周期 T＝ 4π，对称轴为
`````````````````6 分
?2π?
(2)f(x)在 [0,4π]上的最大值为 5，此时 x的取值集合为 ? ?． ````````````12 分
? 3?
2 2 2
18 解析： (1)由已知得 sinB＋ sinC－ sinA＝ sinBsinC，
2 2 2
2 2 2 b＋ c－ a 1
故由正弦定理得 b＋ c－ a＝ bc。 由余弦定理得 cosA＝ ＝ 。
2bc 2
因为 0°(2)由 (1)知 B＝ 120°－ C，由题设及正弦定理得
6 3 1
2sinA＋ sin(120°－ C)＝ 2sinC，即 ＋ cosC＋ sinC＝ 2sinC，
2 2 2
2 2
可得 cos(C＋ 60°)＝－ 。由于 0°2 2
故 sinC＝ sin(C＋ 60°－ 60°)＝ sin(C＋ 60°)cos60°－ cos(C＋ 60°)sin60°
6＋ 2
＝ 。 . ``````````````````````12 分
4
19 解析： （Ⅰ）设 的首项为 ，公差为 ， ， ，
∴ . ``````````````````````6 分
（Ⅱ） ，
∴ ``````````````````````12 分
20 解析： (Ⅰ ） 由题意得， X的可能值为 1,2,3,4，则有
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EX=3.439. ``````````````````````7 分
（ Ⅱ ）认为该批产品合格的概率是
从而该批产品不合格的概率是 P=1- =0.3439. ``````````````````````12 分
x x
21 解析： 解 (1)由 f (x)＝ ae ＋ 2x－ 1，得 f ′(x)＝ ae ＋ 2。
① 当 a≥ 0 时， f ′(x)>0，函数 f (x)在 R上单调递增；
? 2? ? 2?
② 当 a<0 时，由 f ′(x)>0，解得 xln?－ ?，故 f (x)
? a? ? a?
? ? 2?? ? ? 2? ?
在 ?－ ∞ ， ln?－ ??上单调递增，在 ?ln?－ ?，＋ ∞ ?上单调递减。
? ? a?? ? ? a? ?
综上所述，当 a≥ 0 时， 函数 f (x)在 R上单调递增；
? ? 2??
当 a<0时， f (x)在 ?－ ∞ ， ln?－ ??上单调递增，
? ? a??
? ? 2? ?
在 ?ln?－ ?，＋ ∞ ?上单调递减。 ``````````````````````6 分
? ? a? ?
x
e x 1 2
(2)证明：对任意 a≥ 1，当 x>0 时， f (x)≥ (x＋ ae)x? － － ＋ － e≥ 0。
x a ax a
x
e x 1 2
令 g(x)＝ － － ＋ － e，
x a ax a
x
?x－ 1??ae － x－ 1?
则 g′(x)＝ 2 。
ax
x x
当 a≥ 1 时， ae － x－ 1≥ e － x－ 1。
x x
令 h(x)＝ e － x－ 1，则当 x>0 时， h′(x)＝ e － 1。
所以当 x>0 时， h(x)单调递增， h(x)>h(0)＝ 0。
x
所以 ae － x－ 1>0。
所以当 01 时， g′(x)>0。
所以 g(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1，＋ ∞ )上单调递增，
x
e x 1 2
所以 g(x)≥ g(1)＝ 0，即 － － ＋ － e≥ 0，
x a ax a
故 f (x)≥ (x＋ ae)x。 ``````````````````````12 分
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2
22[解析 ] (1)由 ρ＝ 2 5sin θ，得 ρ ＝ 2 5ρsin θ.
2 2 2 2
∴ x ＋ y ＝ 2 5y，即 x ＋ (y－ 5) ＝ 5. `````````````````````5 分
(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程．
? 2 ?2 ? 2 ?2 2
得 ?3－ t? ＋ ? t? ＝ 5，即 t － 3 2t＋ 4＝ 0.
? 2 ? ? 2 ?
2
由于 Δ＝ (3 2) － 4× 4＝ 2＞ 0，故可设 t1， t2 是上述方程的两实根，所以
?t1＋ t2＝ 3 2，
? 又直线 l 过点 P(3， 5)，故由上式及 t 的几何意义得 |PA|＋ |PB|＝ |t1|
?t1·t2＝ 4.
＋ |t2|＝ t1＋ t2＝ 3 2.`````````````````````10 分














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