人教版数学八年级上册 13.4 最短路径问题 同步习题（Word版 含答案）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
13.4
最短路径问题
同步习题
一、选择题
1.如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（
??）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
2.如图，已知∠O
，点
P
为其内一定点，分别在∠O
的两边上找点
A
、
B
，使△
PAB
周长最小的是（???
）
A.?.
????????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????????D.?
3.如图，等边
的边长为
是
边上的中线，
是
边上的动点，
是
边上一点，若
，当
取得最小值时，则
的度数为（?
??）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
4.如图，正
的边长为
，过点
的直线
，且
与
关于直线
对称，
为线段
上一动点，则
的最小值是(???
)
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
5.如图所示,在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（???
）
A.?△ABC的重心处??????????????????????????B.?AD的中点处??????????????????????????C.?A点处??????????????????????????D.?D点处
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是（???
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?4
7.如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A
，
ON上有一点B
，
当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（??
）
A.?40°?????????????????????????????????????B.?100°?????????????????????????????????????C.?140°?????????????????????????????????????D.?50°
8.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（
???）
A.?140°?????????????????????????????????????B.?100°?????????????????????????????????????C.?50°?????????????????????????????????????D.?40°
9.如图，∠AOB＝30?，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若ΔPQR周长最小，则最小周长是（???
）
A.?10
???????????????????????????B.????????????????????????????C.?20???????????????????????????D.?
10.如图，四边形
中，
，在
、
上分别找一点
，使
周长最小时，则
的度数为（??
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
二、填空题
11.如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是________．
12.如图，等边△ABC的边长为2，过点B的直线
且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是________.
13.在直角坐标系中，点A(-1，1)，点B(3，2)，P是x轴上的一点，则PA+PB的最小值是________?。
14.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为
4cm，面积是12cm2
，
腰
AB的垂直平分线EF交AC于点F，若
D为
BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为________cm.
15.如图，
，四边形ABCD的顶点A在
的内部，B，C两点在OM上（C在B，O之间），且
，点D在ON上，若当CD⊥OM时，四边形ABCD的周长最小，则此时AD的长度是________.
三、解答题
16.点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，P1P2交OA、OB于M、N，若P1P2=8，则△MPN的周长是多少？
17.????????????????????????????????????????????????????
（1）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；
（2）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．
18.如图，小河边有两个村庄A、B．要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使水厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
（2）若要使水厂到A、B村的水管最省料，应建在什么地方？
19.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，5）、B（1，0）、C（4，0）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1
，
并写出A1点的坐标；
（2）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并求出点P的坐标及△PAB的周长最小值．
四、综合题（共1题；共15分）
20.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于点M
（1）若∠B=70。
，
求∠NMA．
?
（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm，求BC的长．
?
（3）在(2)的条件，直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小?若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
答案
一、选择题
1.
C
2.
D
3.
C
4.
B
5.
A
6.
D
7.
B
8.
B
9.
A
10.
C
二、填空题
11.
12.
4
13.
5
14.
8
15.
2
三、解答题
16.
解：∵点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，
∴PM=MP1
，
PN=NP2；
∴P1M+MN+NP2=PM+MN+PN=P1P2=8，
∴△PMN的周长为8．
17.
（1）解：作点
关于角两边的对称点然后连接，交两边于
（2）解：作点
关于
的对称点
，根据垂线段最短，作
与
的交点即为所求作的点
18.
（1）解：如图2，画线段AB的中垂线，交EF与Ｐ，则Ｐ到A、B的距离相等．
（2）解：如图3，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于Ｐ，则Ｐ到AB的距离和最短。
19.
解：（1）如图所示，由图可知
A1（﹣4，5）；
（2）如图所示，点P即为所求点．
设直线AB1的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（4，5），B1（﹣1，0），
∴
，
解得
，
∴直线AB1的解析式为y=x+1，
∴点P坐标（0，1），
∴△PAB的周长最小值=AB1+AB=+=5+
．
四、综合题
20.
（1）解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=70°
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2
×
70°=40°
∵MN垂直平分AB，
∴∠ANM=90°
∴∠NMA=90°-∠A=90°-40°=50°
（2）解：（2）如图1，连接BM???????
∵AB=AC，AB=8cm
∴AC=8
∵MN垂直平分AB，
∴AM=BM
∵△MBC的周长是14cm
∴BM+CM+BC=14，
∴AM+CM+BC=14，
即AC+BC=14
∴BC=14-8=6???????????????????????
（3）存在；点P与点M重合；△PBC的周长最小值为14.
解：（3）如图1，∵MN垂直平分AB，
∴点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点M与点P重合
∴PB+PC的值最小。
∴△PBC的周长最小值为14.