苏科版数学七年级上册 3.2代数式 学案（无答案）

3.2代数式
学习目标：
1.
理解代数式的概念，能用代数式表示简单问题中的数量关系.
2.
能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义.
3.
掌握单项式、多项式、整式的概念，会求单项式的系数和次数，能求出多项式的次数和项数.
4.
通过具体例子感受同一个代数式可以有不同的实际意义，初步感悟模型思想.
知识详解：
知识点一：代数式（重点）
1.代数式的概念
像和等都是代数式，即用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子都是代数式.
提醒：
（1）单独一个数或者一个字母也是代数式；
（2）代数式中除了含有数、字母和基本运算符号外，还可以有括号，如;
（3）代数式与公式、等式不同，代数式中不含有“＝”“＜”“＞”等符号.
2.代数式的书写
（1）代数式中出现的乘号，特别是字母与字母、数字与字母的乘积通常简写为“·”或者省略不写，如“”应该写为“”或者“”；“”应写作“”或者“”.
（2）数与字母相乘时，一般将数字写在字母的前面，如“”应写作“”或“”，如果是带分数与字母相乘时，带分数还要化成假分数的形式；
（3）在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，被除数作分子，除数作分母，“÷”转化为分数线；
（4）在一些实际问题中，表示某一数量关系的有理数代数式里往往是有单位名称的，如果代数式是积或者商的形式，就将单位写在式子后面即可；如果代数式是和或者差的形式，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面;
（5）同一个问题中，一个字母只能代表一个量，不同的量应当用不同的字母表示.字母表示实际问题中的某个量时，字母的取值必须使这个问题有意，并且符合实际意义.
3.代数式的读法
代数式的读法一般有两种方式：第一种方式是按照运算关系读；第二种是按照运算结果结果读.如分别读作“加”或“与的和”，“减5”或“与5的差”，“除以”或“与的商”，“乘”或“与的积”.
提醒：
（1）对于不含括号的代数式一般按从左到右的顺序来读，同时还要注意运算顺序.如读作“与的平方的和”，由于是先计算，所以要整体读出.则读作“与两数的平方和”，突出平方.
（2）对于含有括号的代数式，应当将括号中的式子当成一个整体，按运算顺序读出来.如读作“两数和的平方”
（3）由于分数线具有括号和除号的双重作用，因此在读有分数的代数式时，无论是按分数读，还是按除法读，都必须把分子、分母分别视为一个整体去读.如读作“与的商”，不能读作“除以加2”.
例1：指出下列各式中哪些不是代数式;
①0；
②；
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧.
例2：下列各式：①；
②；
③
④
⑤
⑥.其中不符合代数式的书写要求的有（
）
A.
5个
B.
4个
C.
3个
D.
2个
知识点二：列代数
列代数式是指“把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来”.简而言之，就是把用文字语言叙述的数量关系“翻译成”代数式.列代数的关键是要理清各数量之间的关系.
提醒：
（1）认真审题，将问题中表示数量关系的词语，正确地转换为对应运算，如：和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分等都是常用的表示数量关系的词语，要掌握好他们和运算之间的对应关系.
（2）注意题目的语言叙述所直接表示的运算顺序一般是先读后写.
（3）在比较复杂的问题中，要弄清题中数量关系和运算顺序，正确使用表明运算顺序的符号，分层次逐步列出代数式.
列代数式通常有两种，一种是文字语言表述的代数式，另一种是列实际问题的代数式.解实际问题的关键是必须抓住一些基本的数量关系，如速度×时间=路程，利润率=，利息=本金×利率×期数等.
例2：用代数式表示下列问题的结果.
（1）含盐率为10%的盐水，其中含盐
kg，含水
kg.
（2）某书每本定价8元，若购书不超过10本，则按原价付款；若一次性购书10本以上，超过10本的部分按八折付款.设一次性购书数量为本（），则付款金额为
元.
（3）有甲、乙两列火车分别从相距km的A，B两地同时出发，相向而行，甲的速度为km/h，乙的速度为ykm/h,则甲、乙两列火车经过
h相遇.
知识点三：
单项式的有关概念单项式的概念：
只含有数与字母的积的代数式叫做单项式，例如代数式代数
和等都是单项式.单独一个数或者一个字母也是单项式.
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数；
单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数;
提醒：
1.
单项式的系数是1时，要省略不写；单项式的系数为-1时，要保留“-”号，1也省略不写.
2.
单项式中的数字与字母之间都是乘积的关系；对于可以写成，所以是单项式，而不能写成数字和字母积的形式，它是数字和字母商的关系，所以不是单项式.
3.
圆周率π是数，不是字母，在单项式中应看做数字因数；
4.单项式中数字与字母之间不能出现和、差关系;例如就不是单项式.
例3.（1）代数式：中，单项式有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（2）单项式的次数为
，系数为
；单项式的次数为
，系数为
.
4.多项式的有关概念
多项式的定义:几个单项式的和叫做多项式.例如都是多项式.其中可以看成的和，可以看成
的和.
多项式的项：多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中不含字母的项叫做常数项.在确定多项式的项时，要特别注意项的符号.如多项式共有三项，分别是，其中第二项时“”，而不能说成是“”，2是常数项.
多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数.例如：是一次二项式；是二次三项式；是三次四项式.
提醒：
（1）多项式是单项式和的形式，每个单项式要包括前面的符号；
（2）多项式的次数是次数做高项的次数，而不能理解为所有项次数的和.
例4：下列代数式哪些是多项式？如果是多项式，请指出每一项的系数这个多项式的次数和项数;
（1）
（2）
（3）
（4）
5.整式的概念（重点）
单项式和多项式统称为整式;
提醒：
（1）单项式只允许含有乘法以及数字为除数的除法运算.
（2）多项式中必须含有加法或减法运算，但不能含有以字母为除式的除法运算.
例5：下列代数式：（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）；（7）（8）.其中，整式有（
）个.
A.
3
B.4
C.6
D.7
补充：现阶段，判断一个代数式是不是整式，只要看这个代数式的分母中有没有字母，如果没有，就是整式；否则就不是整式;
拓展例题
拓展点一：现实问题中的列代数式问题
例1：小明买了单价分别为8元和15元的两种书共9本，其中单价为8元的书买了本，小明应付多少元？
例2：有一堆苹果，小赵拿走，又多拿了2个，小孙拿走剩余的，又多拿了2个，若设这堆苹果有个，则用表示最后剩下的苹果的个数.
拓展点二：代数式的实际意义
例3：请举例说明代数式可以表示不同的实际意义.（要求至少写出两种不同的实际意义）
拓展点三：数形结合问题
例4：如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪去一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（
）.
A.2m+3
B.
2m+6
C.
m+3
D.
m+6
拓展点四：多项式概念的应用
例5：已知单项式和多项式的次数都是6，则m=
，n=
.
基础巩固
1.下列各式：其中代数式的个数是（
）
A.
5
B.
4
C.
3
D.2
2.在六个代数式中，单项式的个数是（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
3.单项式的次数是（
）
A.
B.
C.
6
D.3
4.多项式的项数及次数分别是（
）
A.
3，3
B.
3，2
C.
2，3
D.2，2
5.
下列说法正确的是（
）
A.单项式的系数是0，次数是0
B.单项式的系数是-3，次数是2
C.单项式的系数是-3，次数是7
D.单项式的系数是-7，次数是4
6.若代数式是整式，则常数＿＿＿＿，这个整式是＿＿＿＿式（填“单项”或者“多项”）
7.已知多项式，请回答下列问题：它是＿＿＿＿次＿＿＿＿项式，字母的最高次数是＿＿＿＿，字母的最高次数是＿＿＿＿.
8.关于的多项式不含项，则的值为＿＿＿＿.
9.单项式的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿.
10.多项式是＿＿次＿＿项式，最高次项的系数是＿＿＿＿，常数项是＿＿，系数最小的项是＿＿.按降幂排列为＿＿＿.
11.如果是关于的二次多项式，则的值是＿＿＿＿.
12.若单项式是关于的五次单项式，多项式是关于的六次三项式，则＿＿＿＿.
能力提升
13.12345是一个五位数，将数字1放到右边构成新的五位数23451,如果是一个四位数，现在把数字1放在它的右边，得到一个五位数，用代数式如何表示这个新五位数？若将1放在左边，也可以得到一个五位数，又如何表示？
14.已知是关于的五次单项式，且系数是负数，试写出这个单项式.
15.已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值.
16.已知为有理数且中恰有三个数相等，求的值.
17.有一列单项式：
（1）根据你发现的规律，写出第101个，第102个.
（2）进一步写出第个和第个单项式.
18.观察下列排列的单项式的规律:
（1）请按照此规律写出第10个单项式;
（2）试猜想写出第的单项式，并写出其系数和次数.