华东师大版八年级上册第13章《全等三角形》全章知识复习课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
章末复习
华师版八年级上学期
第13章《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(1)在两个三角形中,如果有两条边及它们的夹角
对应相等，那么这两个三角形全等.
(简记为S.A.S)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
AB=DE，
∵
∠A＝∠D，
AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（S.A.S）
D
E
F
A
B
C
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(2)如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应
相等，那么这两个三角形全等.
(简记为A.S.A)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
∠A＝∠D，
∵
AC＝BD，
∠C＝∠F，
∴△ABC≌△DEF（A.S.A）
D
E
F
A
B
C
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(3)如果两个三角形的两个角及一角的对边分别
对应相等,那么这两个三角形全等.
(简记为A.A.S)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
∠A＝∠D，
∵
∠C＝∠F，
BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF（A.A.S）
D
E
F
A
B
C
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(4)在两个三角形中,如果有三条边对应相等，
那么这两个三角形全等.
(简记为S.S.S)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
AB=DE，
∵
BC=EF，
AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（S.S.S）
D
E
F
A
B
C
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(5)如果两个直角三角形的一条直角边及斜边
分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.
(简记为H.L)
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
应用格式：
∠A＝∠D，
∵
BC＝EF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（H.L）
D
E
F
A
B
C
知识要点
2、全等三角形的性质定理：
如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等.
应用格式：
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF；
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
D
E
F
A
B
C
应用举例
例1：已知：如图，AB=CD，AD=CB.
求证：AD∥BC.
A
B
C
D
点拨：由题意先证△ABC≌△CDA，再由全等三角形的性质得对应角的相等，进而得证.
变式1：已知：如图，AB∥DE，AB=DE，
AF=CD.
求证：BC=EF.
点拨：由题意先证△ABC≌△DEF，
再由全等三角形的性质得证.
A
B
E
D
C
F
变式2：
已知在△ABC和△ADC中，AB=CD.
若不添加
任何字母和辅助线，要使△ABC≌△CDA，则
还需增加一个条件是
.
A
C
B
D
点拨：相当于已知两组边对应相等，要得到全等，可用“边角边”或“边边边”.
变式3：
如图，在△ABD中，AB=BD.
要使BE=BC，
需增加一个条件是
.
A
E
C
D
B
解法：(1)AE=DC;
(3)AC=DE;
(2)∠ABE＝∠DBC;
(4)∠ABC＝∠DBE;
(5)∠AEB＝∠DCB;
(6)∠ACB＝∠DEB.
变式1：已知：如图，AB∥DE，AB=DE，
AF=CD.
求证：BC=EF.
点拨：由题意先证△ABC≌△DEF，
再由全等三角形的性质得证.
A
B
E
D
C
F
应用举例
例2：如图，在等边△ABC中，D、E、F分别为
AB、BC、CA上一点(不是中点)，且AD=BE=CF.
则图中全等的三角形共有
对.
A
F
H
D
B
E
C
G
N
提醒：全等有传递性.
15
应用举例
例3：
求证：(1)全等三角形对应边上的高相等。
(2)全等三角形对应边的中线相等。
(3)全等三角形对应角的平分线相等。
(4)全等三角形的周长相等。
(5)全等三角形的面积相等。
点拨：应用全等三角形的判定和性质进行转换.
例4:
如图所示，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证:
AC＝AB。
证明：
连结AP.
∵∠PDA=∠PEA=90?，PD=PE，PA=PA，
∴△PDA≌△PEA（HL）
∴AD＝AE
∵∠CAE=∠BAD
∴△ACE≌△ABD（ASA）
∴AC＝AB
A
E
B
C
D
P
例5：求证：三角形一边上的中线小于其他
两边之和的一半。
E
证明步骤：
延长AD到E，使DE＝AD，
连结CE.
B
D
C
A
已知：如图，AD是△ABC
的中线，
求证：AB+AC＞2AD.
证△DCE≌△DBA.
在△ACE中用三角形的三边关系得到结果.
例6：
N
证法一：作MN⊥AD于D.
已知：如图，∠B=∠C=90?，M是BC的中点，
DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
A
B
D
C
M
A
B
D
C
M
证法二：在AD上截取DN=DC，连接MN.
证法三：延长DM，交AB的延长线于点E.
E
例7：
正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
思路提示：
利用全等变换中的“旋转”
B
E
C
A
D
F
证明：延长CB到G，使BG=DF.
∵BG=DF，∠ABG=∠D=90°，AB=AD,
∴△ADF≌△ABG
（SAS）
∴∠GAB=∠FAD,AG=AF.
又∵BE+DF=EF，∴EF=EG.
∵EF=EG，AG=AF，AE=AE,
∴△AEF≌△AEG
（SSS）
∴∠GAE=∠FAE
∵∠BAF+∠FAD=∠BAF+∠GAB=∠GAF=90°，
∴∠EAF=1/2∠GAF=45°.
B
E
C
A
D
F
G
一、判断题：
1.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
2.有两条边对应相等的两个直角三角形全等.
3.有一个角与一条边对应相等的两个三角形全等.
4.只有一条高在三角形内部的三角形是直角三角形.
5.已知一条直角边和一条斜边不能做一个直角三角形.
6.有一边对应相等的两个等腰三角形全等.
巩固练习
1、已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是
.
二、填空题：
a
b
c
58?
72?
50?
a
c
α
2、如图△ABC≌△EBD，若∠ABE=68?，则∠CBD=
?.
A
B
E
C
D
三、解答题：
1、如图所示，A、D、E三点在同一直线上，
且△BAD≌△ACE，试说明：(1)BD=DE+CE；
(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE.
A
B
E
C
D
2、如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90?，BC与DE相交于点F，连接CD、EB.
(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2)求证：CF=EF.
A
B
F
C
E
D
知识要点
3、等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的两底角相等.(简称“等边对等角”)
应用格式：
∵
AB=AC，
∴∠B＝∠C.
A
B
C
D
(2)等腰三角形的顶角平分线、
底边上的高、底边的中线互相重合.
(简称“三线合一”)
应用格式：
∵
AB=AC，AD⊥BC
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.
A
B
C
D
(3)等边三角形的三条边都相等.
或
∵
AB=AC，BD＝CD
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
或
∵
AB=AC，∠BAD＝∠CAD
∴AD⊥BC，BD＝CD.
A
B
C
(4)等边三角形的三个角都相等，都等于60°.
应用格式：
∵
△ABC中，AB=AC=BC
∴∠A＝∠B＝∠C=60°.
知识要点
4、等腰三角形的判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称为“等角对等边”)
应用格式：
∵
∠B＝∠C，
∴
AB=AC.
A
B
C
应用格式：
∵
∠A＝∠B＝∠C，
∴
AB=AC=BC.
(2)三个角相等的三角形是等边三角形.
A
B
C
应用格式：
∵
AB=AC，∠A=60?
∴△ABC是等边三角形.
(3)有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
或
∵
AB=AC，∠B=60?
∴△ABC是等边三角形.
学习小结：有三种等腰三角形大家要多注意探索特殊性——顶角分别是60?、90?、36?.
1.一次数学实践活动的内容是测量河宽.如图，即测量A、B之间的距离．同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点Ａ出发沿着与直线AB成60?角的AC方向前进至C，在C处测得∠C=30?
.量出AC的长,它就是河的宽度(即A、B之间的距离).
这个方法正确吗?请说明理由.
巩固练习
A
D
C
B
2.如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交AB于点E．
判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由．
A
E
D
C
B
3.
如图，AB=BC=CD=DE=EF=FG，
且GF⊥AF于F，求∠A的度数.
A
B
D
F
E
C
G
4.如图，在△ABC中，AB=AC，直线DE交AB、BC于点D、F，交AC延长线于E.若DF=EF，求证：BD=CE.
A
E
D
C
B
F
5.在△ABC中,BG平分∠ABC,CG平分∠ACB.过点G作直线EF//BC交AB于E,交AC于F.
（1）图中有多少个等腰三角形?说明理由.
（2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?若有是什么关系?
A
E
F
G
B
C
知识要点
5、尺规作图.
五种基本作图：
(1)作一条线段等于已知线段.
a
M
P
N
(2)作一个角等于已知角.
A
O
B
O'
B'
M
N
N'
A'
五种基本作图：
(3)作已知线段的垂直平分线.
(4)作已知角的角平分线.
A
B
N
M
A
O
B
M
N
P
五种基本作图：
(5)过一点作已知直线的垂线.
②点在直线外.
①点在直线上.
A
P
B
C
D
N
M
l
P
A
B
N
M
知识要点
6、互逆命题和互逆定理.
(1)一般来说，在两个命题中，如果第一个命题
的题设是第二个命题的结论，而第一个命题
的结论是第二个命题的题设，那么这两个命
题叫做互逆命题。
(2)互逆定理一定是互逆命题，
互逆命题不一定是互逆定理.
知识要点
7、线段的垂直平分线.
(1)性质：线段垂直平分线上的点
到该线段两端点的距离相等。
(2)判定：到一条线段两端点的距离相等的点
在这条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理。
知识要点
8、角的平分线.
(1)性质：角平分线上的点
到这个角两边的距离相等。
(2)判定：到一个角两边的距离相等的点
在这个角的平分线上。
角平分线的性质定理和判定定理是互逆定理。
例：如图，要在P区建一个加工厂，使它到AB、BC两条公路的距离相等，且工厂到两路的交叉点B的实际距离为5千米.比例尺为1:200000，则工厂应建在
，且到点B的图上距离是
厘米.
A
B
C
P区
5千米=500000厘米
500000÷200000=2.5
2.5厘米
∠ABC的角平分线上
2.5
1、如图，AB∥CD，O为∠BAC和∠ACD的
平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE=4，
则两平行线之间的距离为
.
巩固练习
A
B
C
D
E
O
2、如图所示，在△ABC中，∠C=90?，AD平分
∠BAC，交BC于点D，若AB=10cm，CD=
3cm，则△ABD的面积为
.
巩固练习
A
B
C
D
3、如图所示，△ABC的三边AB、BC、CA的长
分别为12、10、6，其三条角平分线的交点为
O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=
.
巩固练习
C
B
A
O
4、如图所示，在△ABC中，∠C=90?，AD平分
∠BAC，BC=30，BD:CD=3:2，则点D到AB
的距离为
.
巩固练习
A
C
B
D
5、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于
点D，则下列结论中，正确的是
.
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；
③D在∠BAC的平分线上.
巩固练习
C
A
F
B
D
E
6、如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90?，沿着
过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰
好落在AB边的中点D处，则∠A等于
?.
巩固练习
C
A
D
B
E
7、如图，在△ABC中，∠B=90?，AB=7，
BC=24，AC=25.
(1)△ABC内是由有一点P到各边的距离相等？
如果有，作出这一点，并说明理由；
(2)求出这个距离.
巩固练习
A
B
C
在三角形中辅助线的作法
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。