人教版八年级数学上册 13.1.2 线段的垂直平分线的性质课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
第十三章
轴对称
13.1.2
线段的垂直平分线的性质
【学习目标】
1、掌握线段的垂直平分线的概念及性质。
2、会利用线段垂直平分线的性质及判定解决有关问题。
3、能用尺规作已知线段的垂直平分线．
【课前预习】
1．点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，OA＝8，则OA＋OB＋OC的值是(
)
A．11
B．16
C．24
D．64
2．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则，；②若，，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若，，则AB垂直平分PE；④若，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；⑤若，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．到平面上三点A，B，C距离相等的点(
)
A．只有一个
B．有两个
C．三个或三个以上
D．一个或没有
4．到直线的距离等于2的点的轨迹是（
）．
A．半径为2的圆
B．与平行且到的距离等于2的一条直线
C．与平行且到的距离等于2的两条直线
D．与垂直的一条直线
5．点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有(
)
A．PA=PB
B．PA=PC
C．PB=PC
D．点P到∠ACB的两边的距离相等
【课前预习】答案
1．C
2．C
3．D
4．C
5．A
1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？
什么是线段的垂直平分线
2.你能找出线段的对称轴吗？
3.
线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由．
复习回顾
【学习探究】
1.给一条线段a,以a为底边的等腰三角形有几个？如果用三角板和刻度尺，你能画出至少三个吗？
作图要点：利用三角尺、刻度尺作出线段a的垂直平分线，在垂直平分线上取点，连接可得符合条件的等腰三角形.
a
a
你能用不同的方法验证这一结论吗？
探索并证明线段垂直平分线的性质
　
如图，直线l
垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是
l
上的点，请猜想点P1，P2，P3，…
到点A
与点B
的距
离之间的数量关系．
　　相等．
A
B
l
P1
P2
P3
请在图中的直线l
上任取一点，那么这一点与线段
AB
两个端点的距离相等吗？
　　线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等．
A
B
l
P1
P2
P3
　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC
=CB，点
P
在l
上．
　　求证：PA
=PB．
　　证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
A
B
P
C
l
证明：∵　l⊥AB，
∴
∠PCA
=∠PCB．
又
AC
=CB，PC
=PC，
∴
△PCA
≌△PCB（SAS）
∴
PA
=PB．
A
B
P
C
l
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC
=CB，点P
在l
上．
求证：PA
=PB．
用几何语言表示为：
∵
CA
=CB，l⊥AB
或
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴
PA
=PB．
∴PA
=PB．
A
B
P
C
l
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
解：
AB
=AC
=CE
,
AB
+BD
=DE
.
∵　AD⊥BC，BD
=DC
∴　AB
=AC
∵　点C
在AE
的垂直平分线上
∴　AC
=CE．
∴　AB
=AC
=CE
例题
例1
如图，AD⊥BC，BD
=DC，点C
在AE
的垂直平分线上，AB，AC，CE
的长度有什么关系？AB+BD与DE
有什么关系？
A
B
C
D
E
∵　AB
=CE，BD
=DC
∴　AB
+BD
=CD
+CE
即　AB
+BD
=DE
．
练习1
因为AD为BC的中垂线，所以
。
理由：
AB＝AC
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
B
C
A
D
练习2
如图,NM
是线段AB的中垂线,
下列说法正确的有：
。
①AB⊥MN,②AD=DB，
③MN⊥AB，
④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
A
B
M
N
D
①②③
练习
例2
如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.
A
B
C
E
D
变式1
如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BC=23，求△BCE的周长。
A
B
C
E
D
变式2
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，已知AD=15，
△BCE的周长等于50，求△BAC的周长.
A
B
C
E
D
变式3
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，
△BAC的周长等于80，求AD的长.
A
B
C
E
D
探索并证明线段垂直平分线的判定
　　反过来，如果PA
=PB，那么点P
是否在线段AB
的
垂直平分线上呢？
　　点P
在线段AB
的垂直平分线上．
　　已知：如图，PA
=PB．
　　求证：点P
在线段AB
的垂直平
分线上．
证明：如图，作PC⊥AB
则∠PCA
=∠PCB
=90°．
在Rt△PCA
和Rt△PCB
中，
∵　PA
=PB，PC
=PC，
∴
Rt△PCA
≌Rt△PCB（HL）．
∴
AC
=BC．
又
PC⊥AB，
∴
点P
在线段AB
的垂直平分线上
已知：如图，PA
=PB．求证：点P
在线段AB
的垂直平分线上．
用几何符号表示为：
∵　PA
=PB，
∴　点P
在AB
的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
　　这些点能组成什么几何图形？
　　你能再找一些到线段AB
两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB
两端点距离相等的点？
　　在线段AB
的垂直平分线l
上的
点与A，B
的距离都相等；反过来，
与A，B
的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l
可以看成与两点A、
B
的距离相等的所有点的集合．
A
B
P
C
l
解：直线AM
是线段BC
的垂直平分线.
∵　AB
=AC，
∴　点A
在BC
的垂直平分线上．
∵　MB
=MC，
∴
点M
在BC
的垂直平分线上
∴　直线AM
是线段BC
的垂直
平分线．
例3　如图，AB
=AC，MB
=MC．直线AM
是线段BC
的垂直平分线吗？
A
B
C
D
M
例题
例4
已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.（1）求证：PA=PB=PC;（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你还能得出什么结论？
B
A
C
M
N
M’
N’
P
PA=PB=PC
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
分析：
PB=PC
点P在线段BC的垂直平分线上
结论：
三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。
例4
已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.（1）求证：PA=PB=PC;（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你还能得出什么结论？
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，
∴PA=PB.
同理
PB=PC.
∴PA=PB=PC.
∵
PA=PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上
B
A
C
M
N
M’
N’
P
判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
A
B
P
C
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合.
点到线段两个端点距离相等
这个点在这条线段的垂直平分线上
小结
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
线段垂直平分线的画法
　　不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
　　有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？
A
B
C
A
′
B
′
C
′
尺规作图
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
A
B
分析：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
A
B
C
D
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于
AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD.
CD即为所求.
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
例
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是.
公共汽车站
练习
1.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.
A
B
C
A
′
B
′
C
′
l
相关链接：成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，交点必定在对称轴上.
2.下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．
A
B
作法：（1）找出五角星的一对
对应点A和B，连接AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线l．
则l就是这个五角星的一条对称轴．
l
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．
3.
如图，八（1）班与八（2）班两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且PM=PN，请你用折纸的方法找出P点并说明理由.?
M
N
B
A
P
C
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
线段的垂直
平分线的
有关作图
尺规作图
作对称轴的常见方法
属于基本作图之一，必须熟熟练掌握
(1)将图形对折；
(2)用尺规作图；
(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线
【课后练习】
1．下列说法中不正确的是（
）.
A．线段有1条对称轴
B．等边三角形有3条对称轴
C．角只有1条对称轴
D．底与腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴
2．已知，△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，如果∠BAD＋∠BCD＝160°，那么△ABC是（
）.
A．直角三角形B．等腰三角形
C．钝角三角形D．锐角三角形
3．下列说法：①两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．②角的对称轴是角平分线③两边对应相等的两直角三角形全等④成轴对称的两图形一定全等⑤到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确的有　　个．
A．2
B．3
C．4
D．5
4．若两个图形关于某点成中心对称，则以下说法：
①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③对称点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；
④一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合．
正确的是（　　）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
5．下列说法错误的是(　　)
A．若E,D是线段AB的垂直平分线上的两点,则AD=BD,AE=BE
B．若AD=BD,AE=BE,D,E是不同的两点,则直线DE是线段AB的垂直平分线
C．若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上
D．若PA=PB,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
6．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是(
)
A．∠CAD<∠CBD
B．∠CAD＝∠CBD
C．∠CAD>∠CBD
D．无法判断
7．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（
）．
A．三条中线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条高的交点
D．三条角平分线的交点
8．下列说法中正确的是（
）
①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等；②角是轴对称图形；③线段不是轴对称图形；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．②③④
9．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则△P1OP2是（
）
A．含30°角的直角三角形
B．顶角是30的等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
10．给出下面两个定理:
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
应用上述定理进行如下推理:
如图,直线l是线段MN的垂直平分线.
∵点A在直线l上,∴AM=AN.(　　)
∵BM=BN,∴点B在直线l上.(　　)
∵CM≠CN,∴点C不在直线l上.
这是∵如果点C在直线l上,那么CM=CN,
(　　)
这与条件CM≠CN矛盾.
以上推理中各括号内应注明的理由依次是
(　　)
A．②①①
B．②①②
C．①②②
D．①②①
11．对于________,如果沿一条直线对折后，它们能够____,那么这两个图形成轴对称，这条直线是_____.
12．成轴对称的图形______是全等图形，全等图形_____是轴对称图形（选填“一定”或“不一定”）.
13．
轴对称的基本性质是：________________________________________．
14．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；
（2）若AB＝5
cm，BC＝3
cm，则ΔPBC的周长＝_____．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．
若∠CBD
:
∠DBA
＝3:1，则∠A的度数为________．
【课后练习】答案
1．A
2．C
3．A
4．A
5．D
6．B
7．D
8．C
9．C
10．D
11．
两个图形
完全重合
对称轴
12．一定
不一定
13．对应点连线被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等
14．70
8
15．18°