五年级上册数学教案-2 钉子板上的多边形 苏教版(4份)

文档属性

名称 五年级上册数学教案-2 钉子板上的多边形 苏教版(4份)
格式 zip
文件大小 265.5KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版
科目 数学
更新时间 2020-09-01 06:16:27

文档简介

钉子板上的多边形
教学目标:
1、使学生探索并发现格点上图形的面积与边点、内点之间的关系,并能用式子表示。掌握探索规律的方法并能运用此方法探索其他规律。
2、使学生经历探索格点图形的面积与边点数、内点数关系的过程,体会规律的复杂性和全面性,体会归纳思维,发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
3、使学生获得探索规律成功的体验,树立学习数学的自信心,感受数学规律的奇
妙,对数学产生好奇心,提高学习数学的兴趣和积极性。
教学重点:探索格点上图形的面积与边点数、内点数之间的关系
教学难点:运用研究规律的方法发现其他规律
教学准备:PPT课件、作业纸
教学过程
一、课前谈话
听说我们班都是聪明的孩子是吗?聪明的孩子都有哪些特点呢?聪明的孩子一定是会找规律的,而且会应用规律,那就可以解决很多问题,但是,有些规律很难,你自己倒发现不了规律,那怎么办呢?那你就跟老师学找规律的方法么,老师是怎么发现规律的,你就把老师发现规律的方法总结出来,那以后碰到难找的规律也就不怕了。
二、导入课题
1、初解课题
今天我们学什么呢?格点与面积,格点是什么意思呢?这个就是格,这个就是点,注意小正方形边长是1厘米,那这个格子的面积就是?
2、求两图形面积
老师在格点图上画了三个图形,面积分别是多少?
3、情境设疑
同学们这三个图形的面积数数格子难不难,来,看这个图,那这个图形的面积是多少呢?再去数的话有什么感觉?我告诉你,奥地利数学家皮克竟然发明了格点上图形的面积计算公式,所有图形的面积,只要用他的公式一算就算出来了,要不要告诉你们这个公式?这就不是好同学的回答了,好同学是要想方设法自己发现规律的,今天我们就一起来研究这其中的规律。好吗?
三、总体思路
1、相关变量
形成表头
同学们,想要寻找规律就要知道格点上图形的面积可能与什么有关?猜猜看?这上面都是一个个点,这个边边上的点我们就把它称为边点,肚子里点称为内点,我们来设想一下,一个图,边边上有很多很多的点,它的面积肯定会?那你说它的面积与边点有关吗?同学们跟内点有没有关系?对呀,图形的肚子里有很多点,当然面积肯定就大,所以跟内点也有关系。
2、填入数据
那回到刚才两个图形,告诉图1的边点数?内点数?图形2的边点数?内点数?图形3呢?
3、求而不得
好了,有了数据了,那我们就可以来研究规律了?告诉我规律是怎样的?同学们,别说你们了,老师起先也是看不出的,我还当老师的,确实是有难度,所以大家不要着急。
4、各个击破
同学们,为什么会难呢?你想啊,面积跟什么有关?跟两个因素有关,两个因素搅和在一起影响面积,所以你搞不清了,那怎么办呢?一个个来喽,同学们,这个叫各个击破。
四、边点价值
1、几点开始
这样吧,我们就先来研究边点吧,我们从几个边点的图形开始研究呢?为什么不从一个点开始研究?为什么不从4个点开始研究?对了,研究规律的时候我们要有序研究
2、边点研究
1点没面积,2点没面积,3点开始有面积。多大面积?对呀,就是这第三个点,带了0.5个面积,(再加一个边点)第四个边点又带了多少面积呢?再增加一个边点,第五个边点又会带来多少面积呢?第6个边点,第7个边点各会带来多少面积呢?自己在实验纸上画一画,然后小组讨论一下,有什么发现?
3、边点价值
讨论汇报交流:前两个边点不算,以后每个边点带来的面积都是0.5,如果一个图形有20个边点,那么会给图形带来多少面积?所以在计算边点给图形带来的面积的时候只要怎样算?
4、验证
这个式子到底对不对?我们还需要检查验证,假如一个图形有10个边点,用公式算一下面积会是多少?到底对不对?我们一起来设计一个10个边点的图,看看面积是不是4?看来我们的得到的规律是正确的
五、内点价值
1、研究方法
边点的规律我们研究出来了,我们总结总结方法,边点的规律我们是怎样研究出来的?(有序研究),接着,我们来研究内点的规律,内点的规律可以怎样研究呢?你们说的非常好,不过老师还有更高明的方法,你们相信吗?
2、面积差即内点数
我们来看这张表格,这里的面积有的是边点带来的,有的是内点带来的,先看边点带来的面积,图形1有8个边点,带来的面积是多少?图形2有12个边点,带来的面积是多少?图形3有13个边点,带来多少面积?除了边点带来的面积,剩下的面积就是内点带来的,你们看看,能发现什么规律?小组讨论汇报交流:1个内点带来1个面积。
3、几点开始
到底是不是这样的呢?我们必须要验证?怎样验证呢?你们刚才不是说有序研究吗?那我们就有序研究吧,
4、内点研究
这样,我先设计这样一个没有内点的图,面积是多少?现在是没有内点。接着我们研究什么?那么怎么变出一个内点来呢?而且边点数必须要保持不变,同学们你们去想吧。我们只要把这个边点,往外移,边点数还是4,这样是不是增加了一个内点?增加的面积就是这个内点带来的,你们看看吧,增加的面积是1吧,再加一个内点,面积是不是也是增加1呢?
5、内点价值
自己试试看,看来每增加一个内点,带来的面积确实是1,所以内点给图形带来的面积我们只要用内点数?
六、总体公式
1总结公式
影响面积的两个因素边点和内点都被我们击破了,如果一个图形既有边点,又有内点,那么这个图形的面积我们只要怎么算?
2、验证
那么到底对不对呢?我们还要验证啊。教师设计图,学生算,然后再数
看来这个公式确实是正确的,告诉大家,你们找到的这个规律和皮克是一样。真厉害。我们可以放心使用了
3、应用
那你能用这个公式解决上课开始的这张图吗?
七、回顾反思
我们发现这个规律非常不容易,所以值得反思,回顾一下,我们是如何研究出这个公式的?讨论交流并板书:各个击破
有序研究
检查验证
八、方法应用
1、激励过渡
同学们发现一个规律不重要,更重要的是要用刚才发现规律的方法来寻找别的规律。
2、呈现问题
刚才的格点图每个小正方形的面积是1平方厘米,现在的格点图发生变化了,每一个三角形的面积是1平方厘米,这种格点上图形的面积公式又会是怎样的呢?
3、总体思路
我们又要研究了,你看跟边点内点有关吗?怎么办(各个击破)
4、边点研究
好,我们先研究边点,边点怎么研究?怎么有序研究?听你们的,一点两点没面积,3点开始有面积,这一个边点就带了1个面积,第四点呢?第五点呢?边点的面积公式是怎样的?
5、内点研究
接着要研究什么?内点怎么研究?好,我先设计这样的一张图,面积多少?现在没内点吧,我们要研究一个内点怎么办?拉出去,现在有一个内点,带来了多少面积?再来一个内点,又带来多少面积,好,内点对图形的面积是怎样影响的?内点面积公式是怎样的?
6、形成公式
所以这个格点上图形的面积公式是怎样的?
7、验证
到底对不对呢,我们也要验证
8、表扬激励
祝贺大家在短短的40分钟内,大家跟皮克一样发现了两个非常难的规律,更要祝贺大家的是还学会了如何去研究规律。
八、课堂总结
今天学习的两个规律是否有联系呢?课后去思考。
4钉子板上的多边形
教学目标:
1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积,与围城的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系,并尝试用字母式子表示关系。
2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程,体会规律的复杂性和全面性,体会归纳思维,体会用字母表示关系的简洁性,发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
3、使学生获得探索规律成功的体验,树立学习数学的自信心,感受数学规律的奇妙,对数学产生好奇心,提高学习数学的兴趣和积极性。
教学重点:探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系
教学难点:综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系
教学过程:
一、揭示课题
师:同学们,我们这学期在第二单元一起研究了多边形的面积(板书:面积),今天我们还要来研究多边形的面积,是在钉子板上的多边形。
师:为了研究的方便,我们通常用这样的点阵图来代替钉子板。每相邻两个钉子之间的距离都是1cm,相邻4个点围成一个面积是1cm?。
出示钉子板上围成的多边形(用点子图代替钉子板,在点子图上出示图形)。
师:大家看,老师这有8个多边形,能用学过的方法算算它们的面积吗?
二、新授
(一)分层探索,发现规律
1、多边形内部只有1枚钉子
师:那大家就一起先算算前面的4个图形的面积各是多少平方厘米。
出示表格:
图形序号
多边形的面积(平方厘米)
1
2
3
4
让学生算出图形面积,交流的时候一起回忆计算方法。(课件出示图形底、高,第3幅图可以指导用数格子的方法)
提问:刚才我们用以前学习的方法进行了面积的计算,那大家想想今天我们既然是学习钉子板上的多边形,那想想多边形的面积会和钉子图上的什么有关系呢?
学生猜想交流:可能会回答:图形边上的钉子、图形里的钉子(教师根据学生的猜想板书:边上的钉子数、内部的钉子数)
师:大家猜想多边形的面积和它边上的钉子数以及内部的钉子数有关,这个猜想是否正确呢?(板书:猜想)接下来我们就先从边上的钉子数着手研究。
师:我们一起来看刚才四个图形边上的钉子数。
教师和学生一起数4个多边形边上的钉子数(课件补充表格)
图形序号
多边形的面积(平方厘米)
多边形边上的钉子数(枚)
1
2
4
2
3
6
3
3.5
7
4
4
8
学生根据数出的边上的钉子数进行猜想边上钉子数和面积的关系。
学生猜想:多边形边上个钉子数是多边形面积的2倍。
观察表,验证学生的猜想。
(板书:多边形的面积=多边形上的钉子数÷2)
说明:为了更简洁、方便地表示出这个规律,我们可以用字母来表示。如果用n表示多边形上的钉子数,用S表示多边形的面积,那上面发现的这个规律可以怎样表示?
师:用S表示多边形的面积,用n表示多边形边上的钉子数,所以同学们刚才发现的规律我们可以用字母表示成S=n÷2。
2、多边形内部有2枚钉子
引导:刚才同学们通过观察发现这四个图形存在这样的规律,(板书:观察)是不是所有的钉子板上多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢?请在第二行中选择一个多边形数一数,看看是不是也有这样的关系。
出示第二行图,学生选择数图形边上的钉子数、计算图形的面积。共同校对。
追问:现在多边形的面积和边上钉子数都还有上面发现的规律吗?
生:第一个仍旧有这样的规律,其他3个没有。
师:那我们就把这个符合规律的放在一起。大家在比较比较看,为什么第一行的多变性有这样的规律,而下面一行的却没有呢?有这样规律的图形还有什么共同点吗?
生猜想:和图形内部的钉子数有关系。第一行图形内部有1个钉子,第二行有的图形内部钉子数不相同。
小结:第一行符合规律的多边形内部的钉子数都为1,第二行多边形内部的钉子数都不是1。看来之前有同学说图形面积和图形内部的钉子数有关系是不是有道理的?这说明多边形的面积不仅和多边形的钉子数有关,的确还与多边形内部的钉子数有关。
师:那么,那符合我们刚才找到规律的这些图形他们内部有几个钉子?(1个)教师补充板书:a=1。那如果图形内部的钉子数是2个、3个或更多呢?接下来我们继续研究。
当a=2时,计算对应图形面积和数边上钉子数(课件展示2幅图)
图形序号
多边形内部钉子数/枚
多边形边上的钉子数(枚)
多边形的面积(平方厘米)
1
2
2
2
3
2
4
2
接下来两个图形就交给同学们来完成,请同学们拿出研究单(一),在点子图上再画两个和屏幕上形状不同的,但图形内部也是2个钉子的多边形。
学生作业纸操作,上台交流,将课件上表格填写完整。
学生根据表格寻找共同的规律:S=
n÷2+1,将图形进行验证是否正确。
3、多边形内部有3、4枚钉子
提问:上面发现图形内部钉子数a=1时,S=n÷2;a=2时,S=n÷2+1。你能联系这里的规律,猜一猜,如果多边形内部有3枚钉子,它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢?S=
n÷2+2图形内部的钉子数是4呢?S=
n÷2+3
同学们猜想的规律是否正确呢?接下来就要请我们同学自己验证了。请同学们拿出研究单(二),分小组研究图形内部钉子数是3和4的情况,看看同学的猜想是否正确。
学生操作,上台交流,验证。
4、多边形内部钉子数更多时
照这样下去,我们还可以研究多边形内部钉子数是5、6、7、8……甚至更多的图形,当a=5时,面积是?a=6时,面积是?a=20呢?a=99呢?a=0呢?(根据学生回答适当指导,板书,课件出示两个图形验证一下)
刚才我们研究了a=0时,那a=1时,其实我们也可以将算式写成?S=
n÷2+0
如果照这样研究下去,研究的完吗?既然这样,我们可不可以把这样的所有式子都用一个式子来表示呢?学生交流回答。最终得出:S=
n÷2+(a-1)
5、?介绍皮克定理,拓展视野。
说明:我们今天研究的规律,就是数学上著名的皮克定理(课件介绍)。他是奥地利著名的数学家,有兴趣的同学,可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求,那记住这本书:闵酮鹤的著作《格点和面积》,以后有兴趣、有条件,可以去阅读。
三、回顾过程,交流体会。
提问:回顾刚才探索和发现规律的过程,你有什么体会和收获?
追问:还有什么疑问吗?
小结:今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中,我们从简单情形入手,通过画一画、数一数、算一算等方法,经历观察、比较、猜想、验证等活动,发现了规律。从上面的过程中我们发现,要从各种不同情况的多边形中研究,要善于发现不同多边形中的共同点,比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉;发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时,一定要注意认真观察、反复比较,大胆猜想,举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子,它具有简洁、明了、易记的特点。钉子板上的多边形
教学目标:
1.探索并初步发现钉子板上多边形内有1、2、3枚以及以上钉子的多边形的面积与多边形边上的钉子数之间的关系,激发进一步探索钉子板上的多边形面积与钉子数关系的兴趣。
2.经历探索过程,积累探索经验,体验成功乐趣。
3.通过小组合作,类比迁移探索问题的方法,尝试探索研究同类问题。
教学重点:
探索钉子板上的多边形面积与边上钉子数和中间钉子数之间的规律。
教学难点:在有限的课堂时间内进行类比推导,得出一般规律。
教具准备:钉子板、研究单、多媒体课件。
学具准备:钉子板、作业纸等
教学过程:
一、激趣生疑,直观感知(预设:3分钟)
1.复习学过的平面图形的面积,引出一道稍难的问题,埋下伏笔,引出课题。
a.过渡引入:我们学过好多平面图形,老师考考你,谁能在20秒之内答出它的面积是多少吗?(点击课件出示例题中平行四边形的那道题)
b.看来这种题目难不倒大家!老师再出一道,考考你!(点击出示),在20秒后,点击课件消失,问:怎么没有刚才那么迅速呢?
预设:学生会说出关于“割补”的字眼。教师板书“割补拼接”二字。教师用课件配合进行点拨。
c.过渡:老师想告诉你,只要你用心上完这节课,保你在20秒之内就能解答出来!你们想学习这个绝招吗?
告诉你吧,解决这个难题的奥妙就藏在这个小小的钉子板中。
二、学习新课,建构知识
1.呈现一个钉子板围成的多边形-----简化成点子图。
a.师:钉子板都见过吧!大家都知道可以用橡皮筋在钉子板上围多边形。本节课我们用点子图代替钉子板,我们说的时候就把点子说成钉子好吗!(出示课件)这个图就相当于橡皮筋在钉子板上围了多边形。
我们约定钉子板上每相邻两个点之间的距离都是1厘米。
b.请问这四枚钉子围成的多边形,它的面积是多少平方厘米?
c.这个正方形呢?你是怎么知道的?(求出来的,还可以数出来)
这个三角形呢?(不好数,要算出来)
d.你觉着钉子板上多边形的面积可能和什么有关系?(出示课件)
探究多边形内有1枚钉子的规律。
(1)个例发现,形成猜想。
a.下面我们就来研究是不是有关系?有怎样的关系?
b.我们先来研究这几个图形。面积是多少呢?边上有几个钉子呢?带着学生一起数一数(在学生回答后,点击课件显示)
填写完成后,让学生仔细观察表格,你有什么发现?
说起来麻烦,简洁一点,面积用什么字母?边上钉子数用n表示,板书:s=n÷2
评价:同学们,你们太了不起了,异中求同,找到了规律!
(2)举例验证,再生疑惑。
过度:不过我们发现的这个规律,到目前为止只能算是一个“猜测”,只有经得住“验证”(验证),才能称作规律。下面我们找个多边形验证一下,好吗?
师:老师这儿有一个边上是9枚钉子的图形(点击课件),它的面积是?怎么回事呢?
(3)归纳概括,形成结论。
师:我们再回过头来看刚才的4个多边形有什么共同点?(内部钉子只有一枚)
师:看来多边形的面积不仅和边上的钉子数有关,还和内部的钉子数有关系!所以我们的这个发现,必须要加上一个前提条件,是什么呢?
学生回答(课件出示中间的点数用a表示)
完善板书:a=1
s=n÷2
(展示台)验证:学生画的中间一个点的多边形,进行验证(板书:验证)
再让学生用文字说说这个规律
探究多边形内有2枚钉子的情况。
过渡:(对着课件)这种内部有2枚钉子的多边形,会不会也有类似的规律呢?我们能继续探究吗?
先出示前两个图形,师生共同统计数据。第三个图形学生任意画
一名学生在电脑上画图、并填数据
检查结果,观察表格、交流讨论
学生说的规律写到黑板上
验证对不对。
教师板书:当内部钉子数2枚
s=n÷2+1。
再让学生用文字说说这个规律
4.探究多边形内有3枚以及更多钉子的情况。
(1)推想多边形内部有3枚以及3枚以上钉子的规律。
a.过度:我们同时看这两条规律,如果多边形内部有3枚钉子,即a=3时,你有什么样的猜想?a=4.....呢?把学生猜想板书,但标上问号。
师:这只是我们的猜想,还要进行验证。
小组合作,先画多边形,再完成表格(出示课件)。
b.小组活动。活动前稍加指导:如果你们小组想验证“内部钉子数0枚”,这儿就填上0,如果你们小组想验证“内部钉子数3枚”,这儿就填上3。
让研究a=0的一组,在电脑上完成研究单。
c.集体交流。先交流电脑上的数据。
师:还有哪个组和他们组一样,也是验证这种类型的?你们和他们的结论一致吗?
通过验证,问号擦掉。
继续交流a=3的
看规律,师追问:后面加上的数有什么规律?(在学生回答到“后面加的数比内部的钉子数少1”)
d.得出结论:
师:经过大家的努力,我们现在可以确定这些猜想都是成立的。这么多的规律变成一个规律呢?----(多边形的面积=边上钉子数÷2+内部钉子数-1)
课堂总结
1.简介皮克定理
师:孩子们,今天我们一起探索发现了---多边形的面积等于边上钉子数除以2,加上内部钉子数减一这个规律。实际上这和伟大的科学家皮克发现的“皮克定理”是一致的:(课件展示)皮克在1899年发现:给定顶点坐标均是整点(或正方形格点)的简单多边形,其面积S与内部格点数a、边上格点数n的关系:S=n÷2
+
a
-1。
2.照应课前的问题。课件出示课前谈话中的难题,并告诉学生边上钉子数与内部钉子数,让学生快速计算。
3.回顾反思:
师:同学们谢谢你们的精彩合作!回顾我们探索和发现规律的过程,得出这个结论固然重要,但我觉得更重要的是整个过程中的体会,你想说说吗?
四、课外拓展:推荐一本书《格点与面积》今天我们学习的这个只是到初中大家还要深入学习,有兴趣的同学可以阅读这本书《格点与面积》。《钉子板上的多边形》教学设计
教学目标:
1.理解钉子板上的多边形的定义,掌握求钉子板上多边形面积的一般方法;
2.培养学生观察能力;进一步提高学生推理、归纳能力;
3.体验从特殊到一般,又到特殊的认知规律,培养学生勇于创新的科学精神。
教学重点:
钉子板上的多边形面积公式的理解与探索过程。
教学难点:
钉子板上的多边形面积公式的探索过程。
教学过程:
一、课前预习,精彩两分(呈自学之慧
现尝试之雅)
学生展示课前复习与整理的有关多边形面积计算的方法(包括公式计算、割补法和数方格的方法),以及在点子图上画出的多边形。
二、观察异同,引发猜想。(促互学之慧
显探索之雅)
1.点子图与钉子板的比较:
方格图和钉子板之间相同的地方:上面都有点,每两个点之间的距离是相等的,都是1厘米,每四个相邻的点组成了正方形,利用点作为多边形的顶点可以围出多边形。
2.眼力大比拼:
(1)在方格图上画了三个多边形,看看哪个图形是和刚才钉子板上的多边形完全相同的。说说你是根据什么来判断的?
引出:图形的面积大小不同,图形边上的钉子数不同,图形中间的钉子数也不同。
思考:观察这三个多边形,你觉得钉子板上多边形的面积与什么有关?
3.引发猜想:
到底多边形的面积与边上的钉子数还有中间的钉子数有没有关系,有怎样的关系,大胆的猜想一下。
三、活动操作,探索规律(理导学之慧
展交流之雅)
1.探究研究问题的方法:
(1)四人小组为单位,交流交流研究其中的规律到底碰到了什么问题?有什么难处?
(2)全班交流遇到的问题,探索解决问题的办法。
引出:中间的钉子数设置为0颗,边上钉子数从3颗开始研究起。
2.探究中间钉子数为0的多边形
(1)组长拿出1号学习单,先填一填,再交流交流你有什么发现?
(2)课件展示表格中的数据。观察表格中的数据,你有什么发现?
(3)根据学生的汇报,相机引导。
(4)小结:多边形的面积是多边形边上钉子数减2的差再乘0.5,或者多边形边上的钉子数减2的差再除以2。
(5)对照表格中的数据,完善认识:这个发现是在中间的钉子数都是0枚的情况下。
3.探究中间有钉子的多边形
是不是钉子板上所有的多边形都具有这样的规律呢?带着刚才的发现,我们来看看黑板上的这三个多边形,看看它们是不是也具有这样的关系。
(2)观察表格中的数据,看有没有什么新的发现?把你的发现在小组里说一说。
(3)全班交流,引导学生发现与之前的发现有所不同的是:边上的钉子数减2再乘以0.5后,再加上中间的钉子数就等于多边形的面积。
(4)总结规律:用字母表示为:s=(n-2)×0.5+a

(5)验证规律:我们的发现与之前的发现有所改变,每个同学对照课前画的多边形验证规律是否正确。
四、回顾总结,提炼方法(品睿学之慧
思感悟之雅)
1.介绍皮克定理
2.回顾研究的过程,说说哪些方法对于你特别有帮助的?
五、知识引领,拓展延伸(激活学之慧
创实践之雅)
如果今天研究的多边形或者钉子板变一变,变成这个样子(课件出示)
你觉得多边形的面积与边上的钉子数与中间的钉子数会有怎样的关系?通过今天的学习,你接下来回家怎么研究,有没有感觉了?感兴趣的同学可以回去研究一下。