2019-2020学年陕西省咸阳市高二下学期期末数学试卷（文科） （Word解析版）

2019-2020学年陕西省咸阳市高二第二学期期末数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题）.
1．＝（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．已知f（x）是可导函数，且＝2，则f'（x0）＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
3．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r如表，其中拟合效果最好的模型是（　　）
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
相关系数r 0.48 0.15 0.96 0.30
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
4．命题p：?x∈N，|x+2|≥3的否定为（　　）
A．?x∈N，|x+2|＜3 B．?x?N，|x+2|＜3 C．?x∈N，|x+2|≥3 D．?x∈N，|x+2|＜3
5．有如下三段论推理：所有的偶数都不是质数，因为2是偶数，所以2不是质数．这个结论显然是错误的，导致这一错误的原因是（　　）
A．大前提错误 B．小前提错误
C．大前提和小前提都错误 D．推理形式错误
6．从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．下列求导运算正确的是（　　）
A．（x+）'＝1+
B．
C．（5x）′＝5xlog5x
D．（x2cosx）′＝﹣2xsinx
8．用反证法证明“若a，b∈R，ab≠0，则a，b全不为0”时，假设正确的是（　　）
A．a，b中只有一个为0 B．a，b至少一个不为0
C．a，b至少有一个为0 D．a，b全为0
9．已知α表示平面，m，n表示两条不重合的直线，若n?α，则“m⊥n”是“m⊥α”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0；命题q：?x∈R，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
11．如图是函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列说法一定正确的是（　　）
A．x＝x3是函数f（x）的极小值点
B．当x＝x2或x＝x4时，函数f（x）的值为0
C．函数f（x）的图象关于点（0，c）对称
D．函数f（x）在（x4，+∞）上是增函数
12．方舱医院的创设，在抗击疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（　　）
A．甲 B．丙 C．戊 D．庚
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．若复数z＝（1+i）（2﹣i），则共轭复数的虚部为　 　．
14．3个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是，并且各人猜对与否互不影响，那么他们同时猜对的概率为　 　．
15．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为　 　．
16．已知某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如表的统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
由如表可得线性回归方程＝x+0.08，若规定当维修费用y＞12时，该设备必须报废，据此模型预测该设备使用的年限不超过　 　年．（结果四舍五入保留整数）
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知复数z＝a+（2a﹣3）i，i为虚数单位，a∈R．
（Ⅰ）若z是实数，求实数a的值；
（Ⅱ）若|z|＝，求实数a的值；
（Ⅲ）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）＝﹣1．
（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）试判断函数f（x）的单调性；
19．某研究部门为了研究气温变化与患病毒人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查，得到如表列联表：
高于22.5℃ 不高于22.5℃ 合计
患病毒
5 25
不患病毒 10

合计


（Ⅰ）补全如表的列联表；
（Ⅱ）是否有99%的把握认为患病毒与温度有关？说明你的理由．
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.01
k 2.706 3.841 5.024 6.635
20．已知点P（1，m）是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k（x﹣1）与抛物线C相交于不同的两点A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若|AB|＝8，求k的值．
21．已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；
22．已知函数f（x）＝aex﹣2x+1．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）＞0对x∈R成立，求实数a的取值范围
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．＝（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
解：＝．
故选：A．
2．已知f（x）是可导函数，且＝2，则f'（x0）＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
解：∵．
故选：A．
3．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r如表，其中拟合效果最好的模型是（　　）
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
相关系数r 0.48 0.15 0.96 0.30
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
解：在线性回归分析中，相关系数为r，
|r|越接近于1，其相关程度越大；
|r|越小，相关程度也越小；
由模型3的相关系数|r|最大，所以其模拟效果最好．
故选：C．
4．命题p：?x∈N，|x+2|≥3的否定为（　　）
A．?x∈N，|x+2|＜3 B．?x?N，|x+2|＜3 C．?x∈N，|x+2|≥3 D．?x∈N，|x+2|＜3
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题p：“?x∈N，|x+2|≥3”的否定为：?x∈N，|x+2|＜3．
故选：D．
5．有如下三段论推理：所有的偶数都不是质数，因为2是偶数，所以2不是质数．这个结论显然是错误的，导致这一错误的原因是（　　）
A．大前提错误 B．小前提错误
C．大前提和小前提都错误 D．推理形式错误
解：大前提错误，2是偶数也是质数．
故选：A．
6．从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：依次抽出2张（取后不放回），第一次抽到卡片是偶数的取法数：＝8；
第一次是偶数，第二次是奇数的取法数：．
故所求的概率为P＝．
故选：C．
7．下列求导运算正确的是（　　）
A．（x+）'＝1+
B．
C．（5x）′＝5xlog5x
D．（x2cosx）′＝﹣2xsinx
解：，，（5x）′＝5xln5，（x2cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx．
故选：B．
8．用反证法证明“若a，b∈R，ab≠0，则a，b全不为0”时，假设正确的是（　　）
A．a，b中只有一个为0 B．a，b至少一个不为0
C．a，b至少有一个为0 D．a，b全为0
解：用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，
而命题“若a，b∈R，ab≠0，则a，b全不为0”的否定为“a，b至少有一个为0”．
故选：C．
9．已知α表示平面，m，n表示两条不重合的直线，若n?α，则“m⊥n”是“m⊥α”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当n?α时，由m⊥n，不一定得到m⊥n；
反之，由m⊥n，一定得到m⊥n．
∴若n?α，则“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件．
故选：B．
10．已知命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0；命题q：?x∈R，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
解：x2﹣x+1＝（x﹣）2+＞0恒成立，故命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0为假命题，
当x＝﹣1时，x2＞x3，成立，即命题q：?x∈R，x2＞x3，为真命题，
则￢p∧q为真，其余为假命题，
故选：B．
11．如图是函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列说法一定正确的是（　　）
A．x＝x3是函数f（x）的极小值点
B．当x＝x2或x＝x4时，函数f（x）的值为0
C．函数f（x）的图象关于点（0，c）对称
D．函数f（x）在（x4，+∞）上是增函数
解：由题意可知x∈（﹣∞，x4），f′（x）≤0，
所以函数f（x）是减函数，排除选项A，B，C
当x∈（x4，+∞）时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）是增函数，故选项D正确，
故选：D．
12．方舱医院的创设，在抗击疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（　　）
A．甲 B．丙 C．戊 D．庚
解：因为己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，
所以乙可能在星期一，二，三，五，六，日．
因为乙的夜班比庚早三天，
所以乙可能在星期二，三，
如果乙在星期三，则庚在周六，且丙在周五，庚比丙晚一天，但与甲的夜班比丙晚一天矛盾，
则乙在周二，庚在周五，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若复数z＝（1+i）（2﹣i），则共轭复数的虚部为　﹣1　．
解：∵z＝（1+i）（2﹣i）＝2﹣i+2i+1＝3+i，
∴，
则共轭复数的虚部为﹣1．
故答案为：﹣1．
14．3个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是，并且各人猜对与否互不影响，那么他们同时猜对的概率为　　．
解：3个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是，并且各人猜对与否互不影响，
那么他们同时猜对的概率为：P＝（）3＝．
故答案为：．
15．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为　y＝±x　．
解：由已知可得c＝2b，∴c2＝4b2＝a2+b2，a2＝3b2，，
所以双曲线的渐近线方程为：y＝±x．
故答案为：y＝±x．
16．已知某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如表的统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
由如表可得线性回归方程＝x+0.08，若规定当维修费用y＞12时，该设备必须报废，据此模型预测该设备使用的年限不超过　9　年．（结果四舍五入保留整数）
解：由表中数据，计算得×（2+3+4+5+6）＝4，
×（2.2+3.8+5.5+6.5+7）＝5．
∴5＝×4+0.08，解得＝1.23，
∴回归方程为＝1.23x+0.08，
令1.23x+0.08≤12，解得x≤≈9.7．
∴该设备的使用年限不超过9年．
故答案为：9．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知复数z＝a+（2a﹣3）i，i为虚数单位，a∈R．
（Ⅰ）若z是实数，求实数a的值；
（Ⅱ）若|z|＝，求实数a的值；
（Ⅲ）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）若z为实数，则2a﹣3＝0，即a＝；
（Ⅱ）|z|＝，
∴5a2﹣12a+4＝0，解得a＝2或a＝；
（Ⅲ）∵z在复平面内对应的点位于第四象限，
∴，即0＜a＜．
18．已知函数f（x）＝﹣1．
（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）试判断函数f（x）的单调性；
解：（1）由题可知：f′（x）＝；
所以：f′（1）＝1，f（1）＝﹣1；
∴函数在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（﹣1）＝x﹣1即：y＝x﹣2．
（2）因为函数的定义域（0，+∞）
且f′（x）＝；
令f′（x）＝＞0得0＜x＜e，
f′（x）＝＜0得x＞e，
因此函数单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．
19．某研究部门为了研究气温变化与患病毒人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查，得到如表列联表：
高于22.5℃ 不高于22.5℃ 合计
患病毒
5 25
不患病毒 10

合计


（Ⅰ）补全如表的列联表；
（Ⅱ）是否有99%的把握认为患病毒与温度有关？说明你的理由．
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.01
k 2.706 3.841 5.024 6.635
解：（Ⅰ）根据题意补全列联表，如下；
高于22.5℃ 不高于22.5℃ 合计
患病毒 20 5 25
不患病毒 10 15 25
合计 30 20 50
（Ⅱ）由表中数据，计算K2＝≈8.333＞6.635，
所以有99%的把握认为患病毒与温度有关．
20．已知点P（1，m）是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k（x﹣1）与抛物线C相交于不同的两点A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若|AB|＝8，求k的值．
解：（1）抛物线C：y2＝2px的准线为，
由|PF|＝2得：，得p＝2．
所以抛物线的方程为y2＝4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，
可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，△＝16k2+16＞0，
∴，
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴，
解得：k＝±1，
所以k的值为1或﹣1．
21．已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；
解：（Ⅰ）由题意得，所以，
又，所以，所以b2＝a2﹣c2＝1，
所以椭圆M的标准方程为．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y＝x+m，
由消去y可得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
则△＝36m2﹣4×4（3m2﹣3）＝48﹣12m2＞0，即m2＜4，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
则，
易得当m2＝0时，，故|AB|的最大值为．
22．已知函数f（x）＝aex﹣2x+1．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）＞0对x∈R成立，求实数a的取值范围
解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣2x+1，则f′（x）＝ex﹣2，
令f′（x）＜0，解得x＜ln2；令f′（x）＞0，解得x＞ln2；
故函数f（x）在（﹣∞，ln2）上递减，在（ln2，+∞）上递增，
于是函数f（x）的极小值为f（ln2）＝2﹣2ln2+1＝3﹣2ln2，无极大值；
（2）f（x）＞0对x∈R成立，即为对任意x∈R都成立，
设，则a＞g（x）max，，
令g′（x）＞0，解得；令g′（x）＜0，解得；
故函数g（x）在递增，在递减，
∴，
故实数a的取值范围为．