4.2 等差数列基本概念与性质 同步学案
文档属性
| 名称 | 4.2 等差数列基本概念与性质 同步学案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-01 13:55:13 | ||
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文档简介
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数列（等差数列）的概念与性质应用学案
一．学习目标
数列作为高考的必考内容，纵观近几年的高考，数列考查的内容主要有如下两个方面：数列的基本概念，如等差等比数列的定义、通项公式、等差或等比中项等；第二方面是数列的有关运算，即运用通项公式、前项和的公式以及数列的性质来求解一些基本量的问题，在这部分内容考查的过程中除了考查基础知识之外，还常常与函数、不等式、解析几何等内容结合起来，像2019年全国卷数列与统计章节的内容结合起来作为高考数学压轴题。
高考对于数列的考查重点是灵活运用知识解决问题的能力，所以在复习的过程中应注意利用函数的观点认识数列，了解数列的概念和递推公式的含义，会根据数列的通项公式写出数列的任意项，理解等差等比数列的通项公式与前项和公式，并能运用公式解决一些问题。
二．疑难辨析
从函数的角度来理解，数列是定义在正整数集（或者它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始依次取自然数时，相对应的一系列函数值；换言之，其图像是一些孤立的点。因此，在研究数列的问题，要考虑函数的一般性质和数列本身的性质，所以在以后解决数列的有关问题时，常常要用到函数思想。
数列中的数与集合的元素的比较：集合的元素具有确定性、无序性和互异性，而数列中的数具有确定性、有序性、不具有互异性，换言之，数列中的数的有序性是数列定义的关键。
并不是所有的数列都有通项公式：有些数列有通项公式，而通项公式并不一定是唯一的；通项公式与递推公式都是数列的一种表示方法，要注意两者之间的区别与联系。
三．等差数列的基本概念与性质
1.等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为(n∈N
，为常数)。
2.等差数列的通项公式：
，该通项公式中分别存在四个基本量、、、；、、、，知三求一是基本常见题型，主要是应用方程的思想解决。
3.在等差数列中，对应着直线的斜率，若直线上对应两点的坐标是、，则
4.等差数列的性质：
①若公差，则此数列是递增数列；若，则此数列是递减数列；若，则此数列是常数数列。
②有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项的和相等，并且等于首末两项之和。特别的，若项数是奇数，还等于中间项的2倍。
③在等差数列中，若，则，特别的，当，则，
④在等差数列中，下标成等差数列的数列中的项也是等差数列。即是等差数列中的三项；换言之，在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的数列也是等差数列，但剩下的项按照原来的顺序构成的数列不一定是等差数列。
⑤等差数列的连续几项的和构成的新书了仍然是等差数列；例如
⑥等差数列的线性组合也是等差数列；即若与均是等差数列，则也是等差数列。
⑦在等差数列中，若，，则（原因：该等差数列的公差）
⑧在等差数列中，若，，则
⑨与均是等差数列，且前项的和分别为与，则
⑩等差数列项数为奇数（项数为）时候的状态的性质
为此数列的中间项；
、
、
等差数列项数为偶数（项数为）时候的状态的性质
为此数列的中间项；
、
、
三．典例分析与性质总结
题型1：数列及等差数列的基本概念
例1：(1)在等差数列中，，；则( )
A．100
B．99
C．98
D．97
(2)已知等差数列的前n项和为，若，，则＝( )
【方法归纳】
1．等差数列运算问题的通性通法
①等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
②等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量、、、、，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
③数列的通项公式和前项和公式在解题过程中起到变量代换的作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
2．等差数列设项技巧
若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为、、；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为、，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元。
题型2：等差数列的判断与证明
1
等差数列的判定与证明方法
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列，(n≥2，n∈N
)为同一常数?是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
(n∈N
)成立?是等差数列
通项公式法
(p，q为常数)对任意的正整数n都成立?是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证(A，B是常数)对任意的正整数n都成立?是等差数列
例2：已知数列的前n项和为，且满足：()，，判断是否为等
差数列，并说明你的理由。
例3：已知数列满足，，数列满足关系式．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式．
题型3：等差数列的性质应用
例4：(1)已知、都是等差数列，若，，则_______.
(2)已知数列为等差数列，且，则的值为( )
A.
B．
C.
D．
题型4：等差数列前项和的性质应用
例5：(1)已知为等差数列，若，，则________.
(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差＝________.
题型5：等差数列前项和的最值
例6：等差数列的首项，设其的前项和为，且，则当为何值时，有最大值？
[方法技巧]
求等差数列前项和最值的三种方法
(1)函数法：
利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①，时，满足的项数使得取得最大值为；
②当，时，满足的项数使得取得最小值为。
(3)通项公式法：
求使()成立时最大的值即可
一般地，等差数列中，若，且，则：
①若为偶数，则当时，最大；
②若为奇数，则当时，最大。
四．变式演练与提高
1.设为等差数列的前项和，，，则________.
2.已知数列中，，，设．求证：数列是等差数列．
3.已知等差数列的公差，，那么
4.设等差数列的前项和为，已知前6项和为36，最后6项的和为180，(n＞6)，求数列的项数及
5.在等差数列中，如果，，那么( )
A．95
B．100
C．135
D．80
6.在等差数列中，，且其前项和为，则为( )
A．20
B．17
C．42
D．84
7.若等差数列的前17项和，则等于________．
8.已知等差数列中，，若且，，则等于________．
9.已知等差数列
(1)前四项的和为21，末四项的和为67，且所有项的和为286，求项数；
(2)，，求
10.已知等差数列的前项和为，且，，则________.
11.在等差数列中，，，则数列的前n项和的最大值为( )
A．S15
B．S16
C．S15或S16
D．S17
12.若两个等差数列、的前项的和之比为，求。
五．反思总结
等差数列的基本概念是高考考查的重点，其基本概念的掌握熟练程度关乎性质能否灵活运用.
(1)对于等差数列的性质的使用情况，应注意观察数列下标的特点，灵活运用等差数列的性质解题；
(2)等差数列的求和公式的推导思路是倒序相加的原理在数列中的事例运用，应注意总结；
六．课后作业
1.已知等差数列前9项的和为27，，则＝( )
A．100
B．99
C．98
D．97
2.已知是公差为1的等差数列，为的前n项和，若，则＝( )
A.
B.
C．10
D．12
3.在等差数列中，，公差，若，则m的值为( )
A．37
B．36
C．20
D．19
4.已知在等差数列中，是方程的两个根，则
；
5.在等差数列中，，，则这个数列共有
项在300到500之间；
6.在整数100至500之间能够被11整除的整数的个数为
。
7.设等差数列的前n项和为，若，，则当取最小值时，n等于( )
A．9
B．8
C．7
D．6
8.设等差数列的前n项和为，且，，，则满足的最大自然数的值为( )
A．6
B．7
C．12
D．13
9.已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，是否存在非零实数c使得为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
七．参考答案
例1：解析：
（1）设等差数列的公差是，
由已知条件，得，所以；故而
（2）由题意知，；代入之后解得；
联立之后解得，，；故而
例2：解析：
因为，，
所以．所以
又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列。
所以，故；
所以当时，，
所以，而.
所以当时，的值不是一个与无关的常数，故数列不是等差数列。
例3：解析：
(1)证明：∵，且
∴，
∴
又∵，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列；
(2)由(1)知数列的通项公式为，又，
∴
∴数列的通项公式为
例4：解析：
(1)因为、都是等差数列，所以、，
所以，
即，
解得
(2)在等差数列中，因为，所以，所以，
所以
故选D
例5：解析：
(1)法一：设数列的公差为，则
，所以
，
故而
法二：由等差数列的性质，可知成等差数列，设此数列公差为D.
所以，所以.
所以
(2)解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为，偶数项的和为，等差数列的公差为，由已知条件，
得
解得
又，所以
例6：解析：
设等差数列的公差为，由得，
法一：
，
因为，所以当或时，有最大值．
法二：设此数列的前n项和最大，则；即；解得；即，
所以当或时，有最大值．
法三：由于
函数的图象为开口向下的抛物线，
由知，抛物线的对称轴为(如图所示)，
由图可知，当时，单调递增；当时，单调递减；
所以当或时，最大。
四．变式演练与提高
1.解析：设等差数列的首项为，公差为，
由已知，得
解得
所以
2.证明：∵，∴
∴
∴是首项为，公差为1的等差数列。
3.解析：由于是等差数列，所以、、……、
故而
4.解析：由题意知，①
，②
①＋②得，
∴；
又，∴，∴
5.解析：选B 由等差数列的性质可知，、、、构成新的等差数列，于是
6.解析：选B 由，得，即，则；
故
7.解析：因为，所以；根据等差数列的性质知，
所以
8.解析：∵是等差数列，∴，
又∵，∴
∵，∴
∴，解得n＝10.
9.解析：(1)由题意知，、；
所以；
由于是等差数列，因此，
，解得
(2)，，求
由于是等差数列，因此、、成等差数列；
也即；
故而，解之得
10.解析：∵、、成等差数列，且，，
∴，∴
（注意性质的准确应用）
11.解析：选A ∵，，
∴，解得，∴
∴当时，取得最大值。
12.解析：(1)由于等差数列的前项和是缺少常数项的二次函数的模式，因此可设、；
则、；所以
(2)由于、均是等差数列，、；因此
六．课后作业
1.解析：选C ∵是等差数列，设其公差为，∴，∴；
又∵，∴
∴
∴；故选C.
2.解析：选B ∵数列的公差为1，∴，
∵，∴，解得，∴
3.解析：选A ，即.
4.解析：是方程的两个根，则，所以。
5.解析：由题意知，，，
所以
∵
解得，因此从第45项到第84项共有40项在300至500之间。
6.解析：在100至500之间能够被11整除的整数构成首项是110，公差是11的等差数列。
令，得；所以；也就是说应该由36个数能够被11整除。
7.解析：选D 设等差数列的公差为，因为，所以，，则，故当等于6时取得最小值。
8.解析：选C ∵，，∴，，等差数列的公差小于零；
又∵，，
∴，，∴满足的最大自然数n的值为12.
9.解析：(1)∵数列为等差数列，∴
又，∴是方程的两实根，
又公差，∴，∴，，
∴数列的通项公式为
(2)由(1)知，，
∴，∴，
∴，，，其中c≠0.
∵数列是等差数列，∴，即，
∴或(舍去)，故；即存在一个非零实数，使数列为等差数列。
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精品试卷·第
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数列（等差数列）的概念与性质应用学案
一．学习目标
数列作为高考的必考内容，纵观近几年的高考，数列考查的内容主要有如下两个方面：数列的基本概念，如等差等比数列的定义、通项公式、等差或等比中项等；第二方面是数列的有关运算，即运用通项公式、前项和的公式以及数列的性质来求解一些基本量的问题，在这部分内容考查的过程中除了考查基础知识之外，还常常与函数、不等式、解析几何等内容结合起来，像2019年全国卷数列与统计章节的内容结合起来作为高考数学压轴题。
高考对于数列的考查重点是灵活运用知识解决问题的能力，所以在复习的过程中应注意利用函数的观点认识数列，了解数列的概念和递推公式的含义，会根据数列的通项公式写出数列的任意项，理解等差等比数列的通项公式与前项和公式，并能运用公式解决一些问题。
二．疑难辨析
从函数的角度来理解，数列是定义在正整数集（或者它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始依次取自然数时，相对应的一系列函数值；换言之，其图像是一些孤立的点。因此，在研究数列的问题，要考虑函数的一般性质和数列本身的性质，所以在以后解决数列的有关问题时，常常要用到函数思想。
数列中的数与集合的元素的比较：集合的元素具有确定性、无序性和互异性，而数列中的数具有确定性、有序性、不具有互异性，换言之，数列中的数的有序性是数列定义的关键。
并不是所有的数列都有通项公式：有些数列有通项公式，而通项公式并不一定是唯一的；通项公式与递推公式都是数列的一种表示方法，要注意两者之间的区别与联系。
三．等差数列的基本概念与性质
1.等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为(n∈N
，为常数)。
2.等差数列的通项公式：
，该通项公式中分别存在四个基本量、、、；、、、，知三求一是基本常见题型，主要是应用方程的思想解决。
3.在等差数列中，对应着直线的斜率，若直线上对应两点的坐标是、，则
4.等差数列的性质：
①若公差，则此数列是递增数列；若，则此数列是递减数列；若，则此数列是常数数列。
②有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项的和相等，并且等于首末两项之和。特别的，若项数是奇数，还等于中间项的2倍。
③在等差数列中，若，则，特别的，当，则，
④在等差数列中，下标成等差数列的数列中的项也是等差数列。即是等差数列中的三项；换言之，在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的数列也是等差数列，但剩下的项按照原来的顺序构成的数列不一定是等差数列。
⑤等差数列的连续几项的和构成的新书了仍然是等差数列；例如
⑥等差数列的线性组合也是等差数列；即若与均是等差数列，则也是等差数列。
⑦在等差数列中，若，，则（原因：该等差数列的公差）
⑧在等差数列中，若，，则
⑨与均是等差数列，且前项的和分别为与，则
⑩等差数列项数为奇数（项数为）时候的状态的性质
为此数列的中间项；
、
、
等差数列项数为偶数（项数为）时候的状态的性质
为此数列的中间项；
、
、
三．典例分析与性质总结
题型1：数列及等差数列的基本概念
例1：(1)在等差数列中，，；则( )
A．100
B．99
C．98
D．97
(2)已知等差数列的前n项和为，若，，则＝( )
【方法归纳】
1．等差数列运算问题的通性通法
①等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
②等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量、、、、，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
③数列的通项公式和前项和公式在解题过程中起到变量代换的作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
2．等差数列设项技巧
若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为、、；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为、，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元。
题型2：等差数列的判断与证明
1
等差数列的判定与证明方法
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列，(n≥2，n∈N
)为同一常数?是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
(n∈N
)成立?是等差数列
通项公式法
(p，q为常数)对任意的正整数n都成立?是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证(A，B是常数)对任意的正整数n都成立?是等差数列
例2：已知数列的前n项和为，且满足：()，，判断是否为等
差数列，并说明你的理由。
例3：已知数列满足，，数列满足关系式．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式．
题型3：等差数列的性质应用
例4：(1)已知、都是等差数列，若，，则_______.
(2)已知数列为等差数列，且，则的值为( )
A.
B．
C.
D．
题型4：等差数列前项和的性质应用
例5：(1)已知为等差数列，若，，则________.
(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差＝________.
题型5：等差数列前项和的最值
例6：等差数列的首项，设其的前项和为，且，则当为何值时，有最大值？
[方法技巧]
求等差数列前项和最值的三种方法
(1)函数法：
利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①，时，满足的项数使得取得最大值为；
②当，时，满足的项数使得取得最小值为。
(3)通项公式法：
求使()成立时最大的值即可
一般地，等差数列中，若，且，则：
①若为偶数，则当时，最大；
②若为奇数，则当时，最大。
四．变式演练与提高
1.设为等差数列的前项和，，，则________.
2.已知数列中，，，设．求证：数列是等差数列．
3.已知等差数列的公差，，那么
4.设等差数列的前项和为，已知前6项和为36，最后6项的和为180，(n＞6)，求数列的项数及
5.在等差数列中，如果，，那么( )
A．95
B．100
C．135
D．80
6.在等差数列中，，且其前项和为，则为( )
A．20
B．17
C．42
D．84
7.若等差数列的前17项和，则等于________．
8.已知等差数列中，，若且，，则等于________．
9.已知等差数列
(1)前四项的和为21，末四项的和为67，且所有项的和为286，求项数；
(2)，，求
10.已知等差数列的前项和为，且，，则________.
11.在等差数列中，，，则数列的前n项和的最大值为( )
A．S15
B．S16
C．S15或S16
D．S17
12.若两个等差数列、的前项的和之比为，求。
五．反思总结
等差数列的基本概念是高考考查的重点，其基本概念的掌握熟练程度关乎性质能否灵活运用.
(1)对于等差数列的性质的使用情况，应注意观察数列下标的特点，灵活运用等差数列的性质解题；
(2)等差数列的求和公式的推导思路是倒序相加的原理在数列中的事例运用，应注意总结；
六．课后作业
1.已知等差数列前9项的和为27，，则＝( )
A．100
B．99
C．98
D．97
2.已知是公差为1的等差数列，为的前n项和，若，则＝( )
A.
B.
C．10
D．12
3.在等差数列中，，公差，若，则m的值为( )
A．37
B．36
C．20
D．19
4.已知在等差数列中，是方程的两个根，则
；
5.在等差数列中，，，则这个数列共有
项在300到500之间；
6.在整数100至500之间能够被11整除的整数的个数为
。
7.设等差数列的前n项和为，若，，则当取最小值时，n等于( )
A．9
B．8
C．7
D．6
8.设等差数列的前n项和为，且，，，则满足的最大自然数的值为( )
A．6
B．7
C．12
D．13
9.已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，是否存在非零实数c使得为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
七．参考答案
例1：解析：
（1）设等差数列的公差是，
由已知条件，得，所以；故而
（2）由题意知，；代入之后解得；
联立之后解得，，；故而
例2：解析：
因为，，
所以．所以
又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列。
所以，故；
所以当时，，
所以，而.
所以当时，的值不是一个与无关的常数，故数列不是等差数列。
例3：解析：
(1)证明：∵，且
∴，
∴
又∵，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列；
(2)由(1)知数列的通项公式为，又，
∴
∴数列的通项公式为
例4：解析：
(1)因为、都是等差数列，所以、，
所以，
即，
解得
(2)在等差数列中，因为，所以，所以，
所以
故选D
例5：解析：
(1)法一：设数列的公差为，则
，所以
，
故而
法二：由等差数列的性质，可知成等差数列，设此数列公差为D.
所以，所以.
所以
(2)解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为，偶数项的和为，等差数列的公差为，由已知条件，
得
解得
又，所以
例6：解析：
设等差数列的公差为，由得，
法一：
，
因为，所以当或时，有最大值．
法二：设此数列的前n项和最大，则；即；解得；即，
所以当或时，有最大值．
法三：由于
函数的图象为开口向下的抛物线，
由知，抛物线的对称轴为(如图所示)，
由图可知，当时，单调递增；当时，单调递减；
所以当或时，最大。
四．变式演练与提高
1.解析：设等差数列的首项为，公差为，
由已知，得
解得
所以
2.证明：∵，∴
∴
∴是首项为，公差为1的等差数列。
3.解析：由于是等差数列，所以、、……、
故而
4.解析：由题意知，①
，②
①＋②得，
∴；
又，∴，∴
5.解析：选B 由等差数列的性质可知，、、、构成新的等差数列，于是
6.解析：选B 由，得，即，则；
故
7.解析：因为，所以；根据等差数列的性质知，
所以
8.解析：∵是等差数列，∴，
又∵，∴
∵，∴
∴，解得n＝10.
9.解析：(1)由题意知，、；
所以；
由于是等差数列，因此，
，解得
(2)，，求
由于是等差数列，因此、、成等差数列；
也即；
故而，解之得
10.解析：∵、、成等差数列，且，，
∴，∴
（注意性质的准确应用）
11.解析：选A ∵，，
∴，解得，∴
∴当时，取得最大值。
12.解析：(1)由于等差数列的前项和是缺少常数项的二次函数的模式，因此可设、；
则、；所以
(2)由于、均是等差数列，、；因此
六．课后作业
1.解析：选C ∵是等差数列，设其公差为，∴，∴；
又∵，∴
∴
∴；故选C.
2.解析：选B ∵数列的公差为1，∴，
∵，∴，解得，∴
3.解析：选A ，即.
4.解析：是方程的两个根，则，所以。
5.解析：由题意知，，，
所以
∵
解得，因此从第45项到第84项共有40项在300至500之间。
6.解析：在100至500之间能够被11整除的整数构成首项是110，公差是11的等差数列。
令，得；所以；也就是说应该由36个数能够被11整除。
7.解析：选D 设等差数列的公差为，因为，所以，，则，故当等于6时取得最小值。
8.解析：选C ∵，，∴，，等差数列的公差小于零；
又∵，，
∴，，∴满足的最大自然数n的值为12.
9.解析：(1)∵数列为等差数列，∴
又，∴是方程的两实根，
又公差，∴，∴，，
∴数列的通项公式为
(2)由(1)知，，
∴，∴，
∴，，，其中c≠0.
∵数列是等差数列，∴，即，
∴或(舍去)，故；即存在一个非零实数，使数列为等差数列。
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精品试卷·第
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