第六章
平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解向量的概念，掌握向量的表示方法、记法．2．了解零向量及单位向量．3．掌握向量的相等与平行.
通过对向量及有关概念的学习，培养学生的数学抽象、直观想象及逻辑推理素养.
必备知识·探新知
知识点?
向量的定义与表示
(1)定义：既有__大小__又有__方向__的量．
(2)表示方法：
①几何表示法：用以A为始点，以B为终点作__有向线段__．
②字母表示法：在印刷时，通常用__加粗__的__斜体小写__字母如a，b，c、…表示向量，在书写时，可写成__带箭头__的小写字母如，，，…．
(3)向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a，的模分别记作|a|，||．
思考：(1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？
(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？
提示：(1)向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征，方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可．
(2)要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点．
知识点?
特殊向量
(1)零向量：__始点__和__终点__相同的向量称为零向量，记作0．
(2)单位向量：长度(或模)为__1__的向量称为单位向量．
(3)相等向量：大小__相等__且方向__相同__的向量称为相等向量．向量a与b相等，记作a＝B．
(4)平行向量或共线向量：方向__相同__或__相反__的非零向量称为平行向量，也称为共线向量．向量a平行于b，记作a∥B．规定__零__向量平行于任何向量．
思考：(1)0与0相同吗？0是不是没有方向？
(2)若a＝b，则两向量在大小与方向上有何关系？
(3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？
提示：(1)0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.0有方向，其方向是任意的．
(2)若a＝b，意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同．
(3)向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向量共线．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
向量的有关概念
┃┃典例剖析__■
典例1 给出下列命题：
(1)平行向量的方向一定相同；
(2)向量的模一定是正数；
(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
(4)若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．
其中正确的序号是__(3)__．
[分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．
[解析] (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．故填(3)．
规律方法：要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．
┃┃对点训练__■
1．给出下列命题：
(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
(2)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(4)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝．
其中正确命题的序号是__(2)(3)__．
[解析] (1)该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；
(2)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；
(3)该命题正确，由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；
(4)该命题不正确，如图所示，显然有≠，≠．
题型?
相等向量与共线向量
┃┃典例剖析__■
典例2 如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形．
(1)找出与向量相等的向量；
(2)找出与向量共线的向量．
[分析] (1)找与向量相等的向量，就是找与长度相等且方向相同的向量．
(2)找与共线的向量，就是找与方向相同或相反的向量．
[解析] (1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知，，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为，．
(2)由题图可知，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量有，，，，，，．
规律方法：1.寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向且共线的．
2．寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量．
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反．
┃┃对点训练__■
2．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．
在图中所示的向量中：
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
[解析] (1)＝，＝．
(2)与共线的向量为：，，．
(3)∵||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||．
∴与模相等的向量为：，，，，，，．
(4)不相等．
题型?
向量的表示与应用
┃┃典例剖析__■
典例3 (1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且||＝，画出所有的向量；
(2)如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝．
[分析] (1)根据方向与大小确定终点即可．
(2)利用向量相等证明四边形ABCD，CNAM为平行四边形，进而得到＝．
[解析] (1)画出所有的向量，如图：
(2)因为＝，
所以||＝||，且AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形．
所以||＝||，且DA∥CB．
又因为与的方向相同，
所以＝．
同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以＝．
因为||＝||，||＝||，
所以||＝||，DN∥MB，
即与的模相等且方向相同，所以＝．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 在□ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S}，且M，N不重合，则集合T中元素的个数为__12__．
[错解] S＝{A，B，C，D，O}，S中任意两点连成的有向线段有：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，，共有20个元素．
[辨析] 求解时，若忽略对相等向量的考虑．
[正解]
在上面20个向量中，由平行四边形的性质可知(如图)，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，
又集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个．
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1
-6.1.2 向量的加法
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解向量和的定义．2．掌握向量加法的法则．3．了解多个向量相加．4．理解向量加法的运算律．5．了解和向量模的不等式．
1.通过学习和向量定义，培养学生的数学抽象素养．2．通过向量加法的运算，培养学生的直观想象、数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
向量加法的定义及其运算法则
(1)向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算．
(2)向量求和的法则
三角形法则
已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b作出向量，则向量__ __称为a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．
平行四边形法则
已知两个__不共线__向量a，b，作＝a，＝b，以__ __，__ __为邻边作□ABCD，则对角线上的向量＝__a＋b__.
(3)向量a，b的模与a＋b的模之间的关系：||a|－|b||
__≤__|a＋b|__≤__|a|＋|b|．
思考：(1)向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？
(2)利用向量求和的三角形法则时，若向量a，b中有零向量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？
(3)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗？
(4)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？
提示：(1)求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．
(2)对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝A．
当两向量共线时，仍可以使用三角形法则求和．
(3)不可以，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量．
(4)求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量．
知识点?
多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为__始点__，最后一个向量的终点为__终点__的向量，就是这些向量的和，如图所示．
知识点?
向量加法的运算律
交换律
结合律
a＋b＝b＋a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
思考：(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)成立吗？
提示：成立，向量的加法运算满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
向量的加法法则
┃┃典例剖析__■
典例1 (1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
①＋＝____；②＋＝____．
(2)下列说法正确的是__①③__．
①若|a|＝3,
|b|＝2,
则|a＋b|≥1,
②若向量a，b共线，则|a＋b|＝|a|＋|b|，
③若|a＋b|＝|a|＋|b|，则向量a，b共线．
(3)如图所示，已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b＋C．
[解析] (1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＋＝＋＝；
②＋＝＋＝．
(2)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确．
(3)a、b、c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．
解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋C．
解法二：(平行四边形法则)：∵a、b、c不共线，如图(2)所示．
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
以、为邻边作□OADB，
则对角线＝a＋b，再作＝c，
以、为邻边作□OCED．
则＝a＋b＋C．
规律方法：1.向量求和的注意点：
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．
(2)两个向量的和向量仍是一个向量．
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．
2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．
┃┃对点训练__■
1．在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，用a、b表示向量、、．
[解析] 如图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均为平行四边形．
根据向量的平行四边形法则，有＝＋＝a＋B．故有＝2＝2a＋2B．
在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b，而＝＝a＋b＝，
由三角形法则得：＝＋＝b＋a＋b＝a＋2B．
题型?
向量加法的运算律
┃┃典例剖析__■
典例2 化简或计算：(1)＋＋＝____．
(2)＋＋＋＋＝__0__．
(3)□ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O．
则①＋＝____；
②＋＋＝____；
③＋＋＝____；
④＋＋＝__0__．
[解析] (1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝．
(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0．
(3)①＋＝，
②＋＋＝＋＝，
③＋＋＝＋＝，
④＋＋＝＋＝0．
规律方法：(1)解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．
(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
┃┃对点训练__■
2．
如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋．
[解析] (1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝．
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．
题型?
利用向量加法证明几何问题
┃┃典例剖析__■
典例3 在□ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F，E，使BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形．
[解析] ∵＝＋，＝＋．
又∵＝，＝，∴＝，
即AE，FC平行且相等，
∴四边形AECF是平行四边形．
规律方法：用向量证明几何问题的一般步骤：
(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量．
(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．
┃┃对点训练__■
3．已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AO＝OC，DO＝OB．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
[解析] 根据向量加法的三角形法则，有
＝＋，＝＋，
又∵＝，＝，
∴＋＝＋．
∴＝．
∴AB∥DC，且||＝||．
∴四边形ABCD是平行四边形．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H.则＋＝( C )
A．
B．
C．
D．
[错解] A
[辨析] 选错的原因是没有认真根据向量的三角形法则(或平行四边形法则)作出图形．
[正解] 以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝．
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1
-6.1.3 向量的减法
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.了解向量的相反向量．2．理解向量差的定义，向量加法与向量减法的关系．3．掌握向量减法的三角形法则．
1.通过相反向量、向量的差，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养．2．通过学习向量减法法则及其应用，培养学生的直观想象、数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
相反向量
定义：如果两个向量大小__相等__，方向__相反__，那么称这两个向量是相反向量．
性质：
(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝__0__．
(2)若a，b互为相反向量，则a＝__－b__，a＋b＝0．
(3)__零向量__的相反向量仍是零向量．
思考：有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“大小相等”是多余的，对吗？
提示：不对，相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解，不是仅方向相反，还必须大小相等．
知识点?
向量的减法
(1)定义：平面上任意两个向量a，b，如果向量x
满足__b＋x__＝a,
则称x为向量a，b的差，记作x＝a－B．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝____，如图所示．
a－b可以表示为从向量__b__的终点指向向量__a__的终点的向量．
(3)向量减法的三角形法则：当向量a，b不共线时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形，因此求两向量差的作图方法也常称为向量作差的三角形法则．
(4)a－b＝a＋(－b)．
思考：(1)由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？
(2)由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何联系？
提示：(1)求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被减向量．
(2)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
向量的减法
┃┃典例剖析__■
典例1 (1)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于( D )
A．
B．
C．
D．
(2)如图，已知向量a，b，c，求作a－b－C．
[解析] (1)由题意可知－＝－＝．
(2)如图，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝B．连接CB，得向量，再以点C为起点作向量，使＝C．连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－C．
规律方法：1.作两向量的差的步骤
—
↓
—
2．求两个向量的减法的注意点
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．
(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用．
┃┃对点训练__■
1．下列计算正确的是( B )
A．－＝
B．－＝
C．－＝
D．－＝
[解析] 根据向量减法的三角形法则，有－＝．
题型?
向量的加减法运算
┃┃典例剖析__■
典例2 化简－＋－得( D )
A．
B．
C．
D．0
[解析] (1)解法一：－＋－＝－＋＋
＝(＋)＋(－)＝＋＝0．
解法二：－＋－＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0．
规律方法：向量减法运算的常用方法
常用方法
┃┃对点训练__■
2．化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－．
[解析] (1)方法一：原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝．
方法二：原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋
＝＋＋＝＋0＝．
(2)方法一：原式＝－＝．
方法二：原式＝－(＋)＝－＝．
题型?
向量加减运算几何意义的应用
┃┃典例剖析__■
典例3 (1)已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为__4__．
(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a,
＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，．
[解析] 如图，令＝a，＝b，则||＝|a－b|．
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.故||2＋||2＝||2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，即|a＋b|＝4．
(2)因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋C．
规律方法：1.解决用已知向量表示未知向量问题的思路应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
2．利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤：
(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量．
(2)利用三角形法则和平行四边形法则、对向量的加、减法进行运算．
(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题．
┃┃对点训练__■
3．(1)已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量，，，满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状为__平行四边形__．
(2)如图所示，解答下列各题：
①用a、d、e表示；
②用b、c表示；
③用a、b、e表示；
④用c、d表示．
[解析] (1)∵＋＝＋，
∴－＝－，∴＝．
∴||＝||，且DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)①＝＋＋
＝d＋e＋a＝a＋d＋e．
②＝－＝－－＝－b－C．
③＝＋＋＝a＋b＋e．
④＝－＝－(＋)＝－c－D．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 写出下列各式成立时，向量a、b应满足的条件．
(1)|a＋b|＝|a－b|； (2)|a＋b|＝|a|＋|b|；
(3)|a＋b|＝|a|－|b|;
(4)|a－b|＝|a|＋|b|．
[错解] (1)a、b垂直．
(2)a、b方向相同．
(3)a、b方向相反，且|a|＞|b|．
(4)a、b方向相反．
[辨析] 忽略“a、b中至少一个为零向量”的条件，使答案不完整．
[正解] (1)a、b垂直或a、b中至少一个为零向量．
(2)a、b方向相同或a、b中至少一个为零向量．
(3)a、b方向相反且|a|＞|b|，或b＝0．
(4)a、b方向相反，或a、b中至少一个为零向量．
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1
-6.1.4 数乘向量
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解数乘向量的定义及几何意义．2．了解数乘向量的运算律．3．会判定向量平行、三点共线．
1.通过学习数乘向量的定义、几何意义及运算律，培养学生的数学抽象、直观想象素养．2．通过数乘向量运算律的运用，向量平行及三点共线的判定与应用，培养学生的数学运算和逻辑推理素养．
必备知识·探新知
知识点?
向量的数乘运算
定义：实数λ与向量a的积是一个__向量__，这种运算简称数乘向量，记作λA．
规定：(1)当λ≠0
且a≠0时，|λa|＝|λ||a|，且
①当λ＞0时，λa的方向与a的方向__相同__；
②当λ＜0时，λa的方向与a的方向__相反__．
(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝__0__．
思考：(1)定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？
(2)若把
|λa|＝|λ||a|写成|λa|＝λ|a|可以吗？为什么？
提示：(1)数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向．
(2)不可以，当λ＜0时不成立．
知识点?
向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则λ(μa)＝__(λμ)__a；
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)．
思考：这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？
提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立．
知识点?
向量共线的条件
如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥A．
思考：“若向量b∥a，则存在实数λ，使得b＝λA．”成立吗？
提示：不成立，若a＝0，b≠0，则λ不存在．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
数乘向量的定义
┃┃典例剖析__■
典例1 设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有__②③__．
①|－λa|≥|a|；
②a与λ2a方向相同；
③|－2λa|＝2|λ|·|a|．
[分析] 根据数乘向量的概念解决．
[解析] 当0＜λ＜1
时，|－λa|＜|a|，①错误；②③正确．
规律方法：数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小．
┃┃对点训练__■
1．若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为__x＞__．
[解析] 由向量数乘定义可知，2x－1＞0，即x＞．
题型?
数乘向量的运算
┃┃典例剖析__■
典例2 下列各式化简正确的是__②③__．
①－3×2a＝－5a；
②a×3×(－2)＝－3a；
③－2×＝2；
④0×b＝0．
[分析] 根据向量数乘的运算律解决．
[解析] 因为－3×2a＝－6a，a×3×(－2)＝－3a，－2×＝－2＝2，0×b＝0.所以，①④错误，②③正确．
规律方法：λa中的实数λ称为向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数．
┃┃对点训练__■
2．化简下列各式．
(1)4×(－)a；
(2)－2××(－3a)．
[解析] (1)4×(－)a＝－A．
(2)－2××(－3a)＝3A．
题型?
数乘向量的应用
┃┃典例剖析__■
角度1 判断向量共线
典例3 已知a＝2e,
b＝－4e,
判断a，b是否平行，求|a|∶|b|的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向．
[分析] 利用数乘向量的定义解决．
[解析] 因为b＝－4e＝－2(2e
)＝－2a
，所以a∥b，且2|a|＝|b|，即|a|∶|b|＝1∶2.向量a，b反向．
母题探究：把本例条件改为“a＝2e，b＝3e，”其他条件不变，试判断a与b是否平行，求|a|∶|b|的值；若a∥b，说明它们是同向还是反向．
[解析] 因为b＝3e＝(2e)＝a
，所以a∥b，
且|a|＝|b|，即|a|∶|b|＝2∶3.向量a，b同向．
角度2 判断三点共线
典例4 已知＝e，＝－3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点．
[分析] 利用数乘向量的定义解决．
[解析] 因为＝－3e＝－3，所以∥，
且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC＝3AB，且向量，反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点．
规律方法：数乘向量的应用
(1)如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥A．
(2)如果存在实数λ，使得＝λ，则∥，且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线．
┃┃对点训练__■
3．分别指出下列各题中A，B，C三点是否共线，如果共线，指出线段AB与BC的长度之比．
(1)＝3；
(2)＝－．
[解析] (1)因为＝3，所以∥，又有公共的点C，所以A，B，C三点共线，且AB＝2BC，即AB∶BC＝2∶1．
(2)因为＝－，所以∥，又有公共点A，所以A，B，C三点共线，且AB＝BC，即AB∶BC＝3∶4．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例5 若点C在线段AB上，且＝，则＝__ __，＝__－__．
[错解] 设AC＝3k，则CB＝2k，所以AB＝5k，故＝，＝．
[辨析] 解决有关数乘向量的问题，注意向量的方向的对应性．
[正解] 因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，
且＝，＝，所以＝，＝－．
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1
-6.1.5 向量的线性运算
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.掌握向量加法与数乘运算混合运算的运算律．2．理解向量线性运算的定义与运算法则．3．能利用向量线性运算解决简单问题．
通过学习向量线性运算的定义及运算法则的运用，培养学生的数学运算、逻辑推理素养．
必备知识·探新知
知识点?
向量的加法与数乘向量的混合运算
规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算__数乘向量__，再算__向量加法__．
运算律：设对于实数λ，μ以及向量a，b，有(1)λa＋μa＝__(λ＋μ)a__.(2)λ(a＋b)＝__λa＋λb__．
思考：(1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么？
(2)这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？
提示：(1)向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量．
(2)不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立．
知识点?
向量的线性运算
向量的加、减、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
向量的线性运算
┃┃典例剖析__■
典例1 (1)化简6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)；
(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x、y用a、b表示出来．
[分析] 求解的依据是运算律，采用与代数式的运算相似的方法．
[解析] (1)原式＝6a－(4a－b－10a＋15b)＋a＋7b＝(6－4＋10＋1)a＋(1－15＋7)b＝13a－7B．
(2)由已知得
①×3＋②×2得x＝3a＋2b，
①×4＋②×3，得y＝4a＋3B．
∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3B．
规律方法：熟练掌握和运用运算律(实数与向量的积满足的结合律与分配律)，即当λ、μ为实数时，有：①(λμ)a＝λ(μa)；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λB．
┃┃对点训练__■
1．化简下列各式：
(1)4(a＋b)－3(a－b)；
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
[解析] (1)4(a＋b)－3(a－b)
＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7B．
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)
＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c
＝a－7b＋6C．
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)
＝a－b－a－b＋a＋b
＝(－＋)a＋(－－＋)b
＝0·a＋0·b＝0＋0＝0．
题型?
用已知向量表示相关向量
┃┃典例剖析__■
典例2 (1)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为____．
(2)如图所示，已知□ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，．
[解析] (1)由已知＝－＝－
＝(－)＋＝－＋，
所以λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝．
(2)设＝x，则＝x，＝＋＝e1－x，＝e1－x，又＝x，由＋＝，得
x＋e1－x＝e2，
解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1，
由＝－，＝e1－x，得＝－e1＋e2．
规律方法：用已知向量表示未知向量的技巧
(1)由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律．
(2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解．
┃┃对点训练__■
2．如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和．
[解析] 方法一：连接CN，则AN綊DC，
所以四边形ANCD是平行四边形．
＝－＝－b，
又因为＋＋＝0，
所以＝－－＝b－a，
所以＝－＝＋＝－b＋a＝a－B．
方法二：因为＋＋＋＝0，
即：a＋＋(－a)＋(－b)＝0，所以＝b－a，
又因为在四边形ADMN中，有＋＋＋＝0，即：b＋a＋＋(－a)＝0，所以＝a－B．
题型?
向量平行、三点共线问题
┃┃典例剖析__■
典例3 如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，＝a，＝B．
(1)用a，b分别表示向量，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
[解析] (1)∵＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)，
∵＝＝b，
∴＝－＝－a＋B．
(2)由(1)知＝－a＋b，
＝－a＋b＝(－a＋b)，
∴＝．
∴与共线．
又BE，BF有公共点B，
∴B，E，F三点共线．
规律方法：1.证向量平行，用b＝λA．
2．证三点共线，除证明两向量平行外还需要两向量有公共点．
┃┃对点训练__■
3．(1)已知非零向量e1，e2不共线．
如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，
求证：A，B，D三点共线；
(2)已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，求证：a∥B．
[解析] (1)∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
∴，共线，又，有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)因为e1，e2共线，所以存在λ∈R，使e1＝λe2，
所以a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2，
b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2，
当λ≠时，a＝b，所以a，b共线；
当λ＝时，b＝0，a，b也共线．
综上，a与b共线，即a∥B．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 设a，b是两个不共线的向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝__－4__．
[错解] ±4
[辨析] 本题容易出现得到k＝±4的错误，出错的原因是忽视了条件方向相反对k取值的限制．因此由两个向量共线求参数时要注意两向量的方向．
[正解] 因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)??k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0?k＜0)．
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1
-6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.掌握共线向量基本定理．2．掌握平面向量基本定理．
1.通过学习共线向量定理，提升学生的数学抽象与数学运算的核心素养．2．借助平面向量基本定理，培养学生的数学抽象，逻辑推理的核心素养．
必备知识·探新知
知识点?
共线向量定理
如果__a≠0__，且b∥a，则存在__唯一__的实数λ，使得b＝λA．
如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ．
思考：(1)定理中的条件“a≠0”能否省略，为什么？
(2)这里的“唯一”的含义是什么？
提示：(1)不能．如果a＝0，b≠0，不存在实数λ，使得b＝λA．如果a＝0，b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λA．
(2)如果还有b＝μa，则有λ＝μ．
知识点?
平面向量基本定理
(1)定理：如果平面内的两个向量a，b__不共线__，则对该平面内的__任意一个__向量c，__存在唯一__的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yB．
(2)基底：平面内__不共线__的两个向量a，b组成的集合{a，b}称为该平面上向量的__一组基底__．
思考：(1)定理中的“不共线”能否去掉？
(2)平面内的每一个向量都能用a，b唯一表示吗？
提示：(1)不能，两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底．
(2)是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
共线向量定理的应用
┃┃典例剖析__■
典例1 已知向量m，n不是共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn．
(1)判断a，b是否平行；
(2)若a∥c，求x的值．
[解析] (1)显然a为非零向量，若a∥b，则存在实数λ，使得b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，
∴∴∴λ不存在．∴a与b不平行．
(2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c＝rA．
∴m＋xn＝r(3m＋2n)
∴∴x＝．
规律方法：1.利用共线向量基本定理可解决两类向量问题：(1)判定向量平行(先假设平行，用基本定理列方程，根据λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，其中e1，e2不共线，列实数方程组，求解)；(2)已知向量求参数．
2．判定向量平行还可用结论“当存在实数λ，使得b＝λa时，b∥a”．
3．证三点共线：用三点共线的两个充要条件．
┃┃对点训练__■
1．已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
[解析] 要使ke1＋e2与e1＋ke2共线，则存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1与e2不共线，故所以k＝±1．
题型?
平面向量基本定理的理解
┃┃典例剖析__■
典例2 (1)设e1、e2是不共线向量，则下面四组向量中，能作为基底的组数是( C )
①e1和e1＋e2
②e1－2e2和e2－2e1
③e1－2e2和4e2－2e1
④e1＋e2和e1－e2
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( A )
A．若实数λ1、λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数
C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对
[分析] (1)根据基底的构成条件判断．
(2)由平面向量基本定理的内容理解判断．
[解析] (1)③中，∵4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，∴两向量共线，其他不共线，故选C．
(2)平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1、λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的．
规律方法：对平面向量基本定理的理解
(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝xa＋yb，且x＝y＝0．
(2)对于固定的不共线向量a，b而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
┃┃对点训练__■
2．已知平面向量e1，e2是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝__3__．
[解析] 因为平面向量e1，e2是一组基底，所以向量e1，e2不共线，所以解得x－y＝3．
题型?
用基底表示向量
┃┃典例剖析__■
典例3 如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若AB＝a，＝b，
试用a，b将，，表示出来．
[解析] ＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－－(－)＝－b－(a－b)＝－a＋B．
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
规律方法：平面向量基本定理的作用及注意点
(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．
(2)解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．
┃┃对点训练__■
3．如图，在△AOB中，
＝a，＝b，设＝2，＝3，而OM与BN相交于点P，试用a，b表示向量．
[解析] ＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋B．
因为与共线，令＝t，
则＝t(a＋b)．
又设＝(1－m)＋m
＝a·(1－m)＋mB．
所以所以
所以＝a＋B．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设A＝a，A＝b，若A＝2D，则A＝__a＋b__(用a和b表示)．
[错解] 2a＋b 设A＝λ，则A＝λ(A＋D)＝λ(A＋A)＝λ＋λ．
∵D、O、B三点共线，∴λ－λ＝1，∴λ＝2．
∴A＝2A＋A＝2a＋B．
[辨析] 不能正确应用直线的向量参数方程致错．
[正解] a＋a 设A＝λ，则A＝λ(A＋D)＝λ(A＋A)＝λ＋λ．
因为D、O、B三点共线，所以λ＋λ＝1，
所以λ＝，所以A＝A＋A＝a＋B．
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5
-6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解直线上向量的坐标的定义．2．掌握直线上向量的运算与坐标的关系．
1.通过对直线上向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养．2．通过直线上向量坐标的运算，提升学生的数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
直线上向量的坐标
给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，对于这条直线上的任意一个向量a，一定存在__唯一__的实数x，使得a＝xe，此时x称为向量a的__坐标__．
在直线上指定原点O，以e的方向为正方向，如果把向量a的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标．
思考：向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗？
提示：能．
(1)|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|．
(2)当x＞0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x＜0时，a的方向与e的方向相反．
知识点?
直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2．
(1)a＝b的充要条件是__x1＝x2__．
(2)a＋b的坐标为__x1＋x2__，a－b的坐标为__x1－x2__，λa的坐标为__λx1__．
(3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝__|x2－x1|__，x＝____．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
求直线上的向量坐标
┃┃典例剖析__■
典例1 已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标：
(1)a＝2e，b＝－3e；
(2)a＝－e，b＝4e．
[解析] (1)∵e的坐标为1，又a＝2e，b＝－3e，
∴a的坐标为2，b的坐标为－3．
(2)∵e的坐标为1，又a＝－e，b＝4e，
∴a的坐标为－，b的坐标为4．
规律方法：为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：
(1)将向量用单位向量表示出来．
(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标．
┃┃对点训练__■
1．如图所示，求出向量a，b的坐标．
[解析] 因为向量a的起点在原点，因此由a的终点坐标可知a的坐标为－1；把向量b的起点平移到原点，则其终点坐标为2，故b的坐标为2．
题型?
直线上向量坐标的线性运算
┃┃典例剖析__■
典例2 已知直线上向量a的坐标为－3，b的坐标为4，求下列向量的坐标：
(1)a－b；(2)b；(3)－2a＋3B．
[解析] (1)a－b的坐标为－3－4＝－7．
(2)b的坐标为×4＝．
(3)－2a＋3b的坐标为(－2)×(－3)＋3×4＝18．
规律方法：若a，b的坐标分别为x1，x2，则a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1，ua＋vb的坐标为ux1＋vx2，ua－vb的坐标为ux1－vx2．
┃┃对点训练__■
2．已知A，B都是数轴上的点，A(－3)，且的坐标为－5，求点B的坐标．
[解析] 设B(x)，则x－(－3)＝－5，∴x＝－8．
题型?
数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式
┃┃典例剖析__■
典例3 已知A，B，C为数轴上三点，且xA＝－2，xB＝6，试求符合下列条件的点C的坐标．
(1)AC＝10；(2)||＝3||．
[解析] (1)∵AC＝10，∴|xC－xA|＝10，
∴xC＝xA±10，
∴xC＝－12或8．
(2)∵||＝3||，∴|xC－xA|＝3|xC－xB|，
即|xC＋2|＝3|xC－6|，
∴xC＋2＝3(xC－6)或xC＋2＝－3(xC－6)，∴xC＝10或4．
规律方法：注意题目中AC与的含义不一样，AC＝||＝|xC－xA|，解题时要注意区分，避免出错．
┃┃对点训练__■
3．设数轴上两点A，B的坐标分别为2，－6，求：
(1)向量的坐标，以及A与B的距离；
(2)线段AB中点的坐标．
[解析] (1)由题意得的坐标为2，的坐标为－6，又因为＝－，所以的坐标为－6－2＝－8，而且AB＝||＝|－8|＝8．
(2)设线段AB中点的坐标为x，则x＝＝－2．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 若e是直线l上的一个单位向量，向量a＝e，b＝－e是这条直线上的向量，则|a＋2b|＝____．
[错解] e
[辨析] 本题混淆了向量的模与向量的概念致误．
[正解] |a＋2b|＝|e＋2×(－e)|＝|e－e|＝．
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-6.2.3 平面向量的坐标及其运算
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解平面向量的坐标的定义．2．掌握平面向量的运算与坐标的关系．3．掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式，中点坐标公式．4．掌握向量平行的坐标表示．
1.通过对平面向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养．2．通过平面向量的坐标运算，提升学生的数学运算素养．3．通过学习平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式，培养学生的数学运算素养．4．通过学习向量平行的坐标表示，培养学生的逻辑推理、数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
平面向量的坐标
(1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作__a⊥b__.规定零向量与任意向量都__垂直__．
(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，__e1⊥e2__，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的__单位__向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称__(x，y)__为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
思考：(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系？
(2)平面中，若以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，则e1，e2的坐标分别是什么？
(3)向量的坐标就是其终点的坐标吗？
提示：(1)正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时)．
(2)e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(3)不一定，以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标，如果向量不是以坐标原点为始点，则向量坐标就跟终点坐标不同，而对同一向量或相等向量(向量坐标相同)，若选择不同的始点坐标，则终点坐标也不同．
知识点?
平面上向量的运算与坐标的关系
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则：
(1)a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，
(2)a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__，
(3)λa＝__(λx1，λy1)__．
(4)向量相等的充要条件：a＝b?__x1＝x2__且__y1＝y2__．
(5)模长公式：|a|＝____．
思考：(1)平面向量的加法坐标运算法则若写成“若a＝
(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(y1＋y2，x1＋x2)”可以吗？
(2)如果μ，v是两个实数，那么μa＋vb，μa－vb的坐标如何表示？
提示：(1)不可以，两向量的横坐标之和作为和向量的横坐标，纵坐标之和作为和向量的纵坐标．
(2)μa＋vb＝(μx1＋vx2，μy1＋vy2)，μa－vb＝(μx1－vx2，μy1－vy2)．
知识点?
平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)向量
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，向量＝(x2－x1，y2－y1)．
(2)它们之间的距离：AB＝||＝
____．
(3)设AB的中点M(x，y)，则x＝____，y＝____．
思考：“若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1－x2，y1－y2)”对吗？
提示：不对，应该用终点坐标减去始点坐标．
知识点?
向量平行的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?__x2y1＝x1y2__．
思考：把x1y2－x2y1＝0写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0可以吗？怎样记忆此公式的表达式？
提示：写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，这一公式可简记为：纵横交错积相减．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
向量的坐标表示
┃┃典例剖析__■
典例1 (1)已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，则向量a的坐标为( D )
A．(4e1,3e2)
B．(4e1，－3e2)
C．(4,3)
D．(4，－3)
(2)已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为__(－3，3)__．
[分析] (1)利用向量坐标的定义解决．
(2)画出图形，用解三角形的方法求点的坐标，进而求向量的坐标．
[解析] (1)由向量坐标的定义可知，向量a的坐标为(4，－3)．
(2)设点A(x，y)，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－3，y＝||sin150°＝6sin150°＝3，即A(－3，
3)，所以＝(－3，3)．
规律方法：求向量坐标的方法
(1)定义法：将向量用两个相互垂直的单位向量e1，e2表示出来．
(2)平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标．
(3)求差法：先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
┃┃对点训练__■
1．已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
[解析] 如图，正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，
所以C(1，)，D(，)，
所以＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝(－2，－0)＝(－，)．
题型?
向量的坐标运算
┃┃典例剖析__■
典例2 (1)已知点A(0,1),
B(3,2)，向量＝(－3，－3)，则向量＝( B )
A．(3,2)
B．(－3，－2)
C．(－1，－2)
D．(1,2)
(2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则||＝____，点P的坐标为__(－1，－)__．
[分析] (1)由＝(－)计算．
(2)先用模长公式求模，再设出点P的坐标，利用坐标及向量相等的条件构造方程组求解．
[解析] (1)因为A(0,1)，B(3,2)，所以＝(3,1)，
所以＝(－)＝[(－3，－3)－(3,1)]＝(－6，－4)＝(－3，－2)．
(2)设P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
所以||＝＝；
所以＝＝(－8,1)＝(－4，)，
所以所以
规律方法：平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
┃┃对点训练__■
2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋2，－的坐标．
[解析] 因为＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
所以＋2＝(－2,10)＋2(－8,4)
＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)，
－＝(－8,4)－(－10,14)
＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．
题型?
向量共线的坐标表示
┃┃典例剖析__■
角度1 共线向量的判断
典例3 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
[解析] ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
方法一：∵(－2)×(－6)＝3×4，且(－2)×4＜0，
∴与共线且方向相反．
方法二：∵＝－2，∴与共线且方向相反．
规律方法：此类题目应充分利用“若b＝λa(λ∈R)，则b∥a”或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
┃┃对点训练__■
3．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥．
[解析] 设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．依题意有，＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，
∴∴
∴点E的坐标为(－，)．
同理点F的坐标为(，0)，∴＝(，－)．
又×(－1)＝4×(－)．∴∥．
角度2 利用向量共线求参数
典例4 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[解析] 方法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)，即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴解得k＝λ＝－．
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－(a－3b)．
∵λ＝－＜0，∴ka＋b与a－3b反向．
方法二：由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)＝10(2k＋2)，解得k＝－．
此时ka＋b＝(－－3，－＋2)＝(－，)＝－(a－3b)．
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
规律方法：由向量共线求参数的值的方法
┃┃对点训练__■
4．设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
[解析] 方法一：若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数λ，使得＝λ．
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
∴解得k＝－2，或k＝11．
∴k＝－2或11时，A，B，C三点共线．
方法二：若A，B，C三点共线，则，共线．
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＝－7(10－k)，
∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11．
∴k＝－2或11时，A，B，C三点共线．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例5 已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，＝＋λ(λ∈R)，点P在第三象限，求λ的取值范围．
[错解] 因为＝＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7，10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
又因为点P在第三象限，
∴，解得λ＜－．
[辨析] 混淆了向量的坐标与点P的坐标，导致错误．
[正解] 设P(x，y)，则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．
又因为＝＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
即，解得．
∵点P在第三象限，∴，解得λ＜－1．
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-6.3 平面向量线性运算的应用
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题．2．熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用．
1.通过向量在平面几何中的应用，提升直观想象、逻辑推理素养．2．通过向量在物理中的应用提升直观想象、数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
向量在平面几何中的应用
在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用．实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题．
证明线段平行问题
，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?__a＝λb__?__x1y2－x2y1＝0__(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
知识点?
用向量运算解决平面几何问题的“三步法”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
思考：(1)这里的“平面几何问题”主要是哪些问题？
(2)这里的“向量运算”是指什么运算？
提示：(1)平面几何中的全等、相似、平行等问题．
(2)向量的线性运算．
知识点?
向量在物理中的应用
我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成．
(1)力、速度、位移的合成就是向量的__加法__，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
(2)力、速度、位移的分解就是向量的__减法__，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则．
(3)动量mv就是__数乘向量__，符合__数乘__向量的运算律．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
用向量解决平面几何问题
┃┃典例剖析__■
典例1 在四边形ABCD中，＝2a－3b，＝－8a＋b，＝－10a＋4b，且a，b不共线，试判断四边形ABCD的形状．
[分析] 由题设条件求出AD＝2BC且AB不平行于CD可得ABCD是梯形．
[解析] ∵＝2a－3b，＝－8a＋b，＝－10a＋4b，
∴＝＋＋＝－16a＋2b，∴＝2，
∴AD∥BC，AD＝2BC且AB不平行于CD．
∴四边形ABCD是梯形．
规律方法：利用向量线性运算解决几何问题的思路
(1)把几何元素化为向量．
(2)进行向量的线性运算．
(3)把结果翻译成几何问题．
┃┃对点训练__■
1．如图，已知△ABC的面积为14
cm2，D，E分别为AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，求△APC的面积．
[解析] 设＝a，＝b为一组基底．
则＝a＋b，＝a＋B．
因为点A，P，E和D，P，C分别共线，
所以存在λ和μ使＝λ＝λa＋λb，
＝μ＝μa＋μB．
又因为＝＋＝(＋μ)a＋μb，
所以解得
所以S△PAB＝S△ABC＝×14＝8(cm2)，
S△PBC＝S△ABC＝(1－)×14＝2(cm2)，
故S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．
题型?
用向量坐标解决平面几何问题
┃┃典例剖析__■
典例2 已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为__[，2]__．
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，
故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，
则＋＝(2－2λ，2－4λ)，
|＋|＝
＝，
当λ＝0时，|＋|取得最大值为2，当λ＝时，|＋|取得最小值为，
∴|＋|∈[，2]，故答案为[，2]．
规律方法：用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现．利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键．
┃┃对点训练__■
2．证明：直角三角形ABC斜边AB上的中线CD等于斜边AB的一半．
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系．
设C(0,0)，A(a,0)，B(0，b)．
则AB＝，中点D的坐标为(，)，
即＝(，)，OD＝||＝＝，
即CD＝，故CD＝AB．
题型?
向量在物理中的应用
┃┃典例剖析__■
典例3 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20
km/h，此时水的流向是正东，流速为20
km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
[分析] 建立直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量的加法进行求解．
[解析] 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2．
由题意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10，10)，向量v2＝(20,0)．
则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)，
所以|v|＝＝20(km/h)．
因为tanα＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°．
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20km/h．
规律方法：用向量方法解决物理问题的步骤
(1)把物理问题中的相关量用向量表示；
(2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
(3)结果还原为物理问题．
┃┃对点训练__■
3．物体W的质量为50千克，用绳子将物体W悬挂在两面墙之间，已知两面墙之间的距离AB＝10米(AB为水平线)，AC＝6米，BC＝8米，求AC，BC上所受的力的大小．
[解析] 如图建立直角坐标系，设|f1|＝a，|f2|＝b，
则f1＝(a，a)，f2＝(－b，b)，又f1＋f2＝(0,50)，
所以解得
即a＝294(牛顿)，b＝392(牛顿)．
所以AC，BC上所受的力的大小分别为392
N,294N．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 在一点O上作用着两个力，它们的大小分别等于5和3，夹角为30°，求此时它们合力的大小．
[错解] 如图所示，设与的夹角为30°，且||＝5，||＝3，则||＝||＋||.根据向量加法的三角形法则，有＝＋＝5＋3＝8．
[辨析] 此题在计算过程中混淆了向量与向量模的概念．
[正解]
建立如图所示的平面直角坐标系，则A(5,0)、B(，)．设点C的坐标为(x，y)．
∵＝(5,0)，＝(x－，y－)．
∵＝，∴，∴．
∴||＝＝＝．
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