2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习（含解析）

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初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1.已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则另一根为（?? ）
A.?﹣4?????????????????????????????????????????B.?﹣2?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?2
2.已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根且 ，则 的值为（?? ）.
A.?0或1?????????????????????????????????????????B.?0?????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?-1
3.已知x1 ， x2是一元二次方程 的两根，则x1＋x2的值是（ ）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?－2??????????????????????????????????????????D.?4
4.若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（　　）
A.?10???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?5
5.设一元二次方程 的两个实数根为x1 ， x2 ， 则x1＋x1x2＋x2等于（?? ）.
A.?1??????????????????????????????????????????B.?－1??????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?3
二、填空题
6.方程 的两根为 、 则 的值为________.
7.设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为________．
8.一元二次方程 的两根为 ，则 ________
9.若方程 的两根 ，则 的值为________.
10.已知：m2+2m-4=0，n2+2n-4=0，则 的值为________。
三、综合题
11.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2 ， 且x12+x22-x1x2=7，求m的值。
12.我们在探究一元二次方程根_????????°?????????_中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1 ， x2 ， 那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p ， x1?x2＝q ， 请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若α，p是方程 的两根，则α+β＝________，α?β＝________；若2，3是方程 的两根，则m＝________，n＝________； 21教育网
（2）已知a ， b满足 ，求 的值；
（3）已知a ， b ， c满足 ，求正整数 的最小值，
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：设方程的另一个根为x1 ，
根据题意得：2+x1＝4，
解得：x1＝2.
故答案为：D.
【分析】设方程的另一个根为x1 ， 根据两根之和等于﹣ ，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论.21cnjy.com
2.【答案】 B
解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵
∴m=0.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系，可得出 ， ，再根据 得出一个关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值.21·cn·jy·com
3.【答案】 B
解：∵x1 ， x2是一元二次方程 的两根，∴x1+x2=2．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系， 即可求解.
4.【答案】 C
解：根据题意得α+β＝2，αβ＝﹣3，
所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ
＝22﹣（﹣3）
＝7．
故答案为：C．
【分析】根据根与系数的关系_?????°?±+?????_2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ，然后利用整体代入的方法计算．www.21-cn-jy.com
5.【答案】 B
∵一元二次方程 的两个实数根为x1 ， x2 ，
∴x1＋x2＝? ＝2，x1x2＝ =-3，
∴x1＋x1x2＋x2＝2+（-3）=-1
故答案为：B.
【分析】直接利用根与系数的关系式：x1＋x2＝? ，x1x2＝ 求解即可.
二、填空题
6.【答案】 -3
解：∵方程 的两根为x1、x2 ，
∴x1·x2= =-3，
故答案为：-3.
【分析】直接根据韦达定理x1·x2= 可得.
7.【答案】
解：由方程 可知
，
．
故答案为：
【分析】由韦达定理可分别求出 与 的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
8.【答案】
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
= ，
= ．
故答案为 ．
【分析】根据根与系数的关系表示出 和 即可；
9.【答案】 5
解：∵ 是方程 的两根
∴ =- =4， = =1
∴ = = =4+1=5.
故答案为：5.
【分析】根据根与系数的关系求出 ， 的值，再整体?代入即可求解.
10.【答案】 1
解：由题意可知m，n是关于x的一元二次方程x2+2m-4=0的两个根，
∴mn=-4
原式=
=1.
故答案为：1. 21世纪教育网版权所有
【分析】观察已知两方程_???é??????????°???_全相同，可得到m，n是关于x的一元二次方程x2+2m-4=0的两个根，利用一元二次方程根与系数，可求出mn的值，然后代入计算可求解。2·1·c·n·j·y
三、综合题
11.【答案】 （1）解：A=[-(m-1)]2-4×1×(-m)
=m2-2m+9
=(m-1)2+8
∵(m-1)2≥0
∴Δ=(m-1)2+8>0
∴此方程必有两个不等的数根
（2）解：x12+x22-x1x2=7
(x1+x2)2-3x1x2=7
即(m-3)2+3m=7
解得：m1=1，m2=2
∴m的值为1或2
【解析】（1）由题意_?????????è????????_程根的判别式大于0，即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系得到关于m的方程，求出m的值即可得到答案。【来源：21·世纪·教育·网】
12.【答案】 （1）3；1；-5；6；
（2）解：
∴ ， 是方程 的解．
当 时，是方程
∴ ，
当 时，原式=2；
（3）解：∵ ，
= ，
∴α，b是方程 + =0的解，
≥0，
∵c是正整数，
∴c3-20≥0，即c≥ .
∴正整数c的最小值是3．
∴正整数c的最小值是3．
【解答_??????1???è§????_α，p是方程x2-3x+1=0的两根，则α+β=3，α·β=1；若2，3是方程x2+mx+n=0的两根，则m=-5，n=6； 21·世纪*教育网
故答案为：3，1，-5，6；
【分析】（1）根据根与系数的关系即可得到结论；（2）根据α，b满足 得到α，b是方程 的解．当α≠b时，是方程 根据根与系数的关系即可得到结论；当α=b时，原式=2；（3）根据 求得 = ，于是得到α，b是方程x2- =0的解，即可得到结论．www-2-1-cnjy-com

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