课后练习
一、选择题
1．方程x+3＝6的解是（ ）
A．x＝3
B．x＝1
C．x＝﹣3
D．x＝﹣1．
2．若单项式amb3与﹣2a2bn的和仍是单项式，则方程x﹣n＝1的解为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣6
D．6
3．2x﹣3与互为倒数，则x的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．定义运算“
”，其规则为a
b＝，则方程4
x＝4的解为（ ）
A．x＝﹣3
B．x＝3
C．x＝2
D．x＝4
5．将方程2x﹣3＝1+x移项，得（ ）
A．2x+x＝1﹣3
B．2x+x＝1+3
C．2x﹣x＝1﹣3
D．2x﹣x＝1+3
6．方程3x﹣32＝﹣2x﹣7的根为（ ）
A．x＝25
B．x＝5
C．x＝﹣25
D．x＝﹣5
7．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4．按照这个规定，那么方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为（ ）
A．﹣1
B．
C．1
D．﹣1或
8．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.转化为分数时，可设0.＝x，则x＝0.6+x，解得x＝，即0.＝．仿此方法，将0.化成分数是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．利用等式的性质解方程﹣x＝时，应在方程的两边（ ）
A．同乘以﹣
B．同除以﹣
C．同乘以﹣
D．同减去﹣
10．小马在计算“41+x”时，误将“+”看成“﹣”，结果得12，则41+x的值应为（ ）
A．29
B．53
C．67
D．70
二、填空题
11．代数式与代数式k+3的值相等时，k的值为
．
12．若m+1与﹣2互为倒数，则m的值为
．
13．定义a
b＝ab+a+b，若3
x＝27，则x的值是：
．
14．在如图所示的运算流程中，若输出的数y＝7，则输入的数x＝
．
15．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：＝ad﹣bc，已知＝18，则x＝
．
三、解答题
16．关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
17．用“
”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a
b＝ab2+2ab+a．
如：1
3＝1×32+2×1×3+1＝16
（1）求2
（﹣2）的值；
（2）若（其中x为有理数），试比较m，n的大小；
（3）若＝a+4，求a的值．
18．3x+7＝32﹣2x．
19．小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3，
（1）求a的值；
（2）求此方程正确的解；
（3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值．3.2
解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
学习要求
1、初步掌握用移项、合并、系数化为1的方法步骤解简单的一元一次方程．
2、进一步掌握用移项、合并的方法解一元一次方程，会列一元一次方程解决简单的实际问题．
知识点一：
合并同类项与系数化为1
知识点二：
移项
例题1．方程2x﹣1=3x+2的解为（ ）
A．x=1
B．x=﹣1
C．x=3
D．x=﹣3
例题2．方程2x﹣1=3的解是（ ）
A．﹣1
B．
C．1
D．2
例题3．解方程：5x﹣2=7x+8．
变式1．3x﹣2=5x+4．
变式2．解方程：（1）3x+7=32﹣2x
（2）．
变式3．5x﹣0.7=6.5﹣1.3x．
拓展点一：
解一元一次方程
例题．解方程：2x+20=5﹣3x．
变式1．2y+3=11﹣6y．
变式2．解方程：16x﹣3.5x﹣6.5x=7．
变式3．．
拓展点二：
列一元一次方程求值
例题．某商品的售价为每件900元，为了参与市场竞争，商店按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？
变式1．浙江省移动公司开设有两种手机业务：
①“全球通”：月租费为50元，市内通话费按0.4元/分计算；
②“神州行”：不缴月租费，市内通话费按0.6元/分计算．
选择全球通还是神州行合算？
变式2．一家商店将某种服装按成本价提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本多少元？
拓展点三：
两个方程同解问题
例题．关于x的方程x﹣2m=﹣3x+4与2﹣m=x的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
变式1．已知|a﹣3|+（b+1）2=0，代数式的值比的值多1，求m的值．
变式2．当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程x（m+1）=m（1+x）的解大2．
拓展点四：
列一元一次方程解决和差倍分问题
例题．目前我省小学和初中在校生共136万人，其中小学在校生人数比初中在校生人数的2倍少2万人．问目前我省小学和初中在校生各有多少万人？
变式1．甲车队有50辆汽车，乙车队有41辆汽车，如果要使乙车队数比甲车队车数的2倍还多1辆，应从甲车队调多少辆车到乙车队？
变式2．某校初一学生为灾区捐款，（1）班捐款为初一总捐款的，（2）班捐款为（1）班、（3）班捐款数的和的一半，（3）班捐了380元，求初一三个班的总捐款数？
拓展点五：
列一元一次方程解决比例分配问题
例题．已知一个长方形的周长为60cm．
（1）若它的长比宽多6cm，这个长方形的宽是多少cm？
（2）若它的长与宽的比是2：1，这个长方形的长是多少cm？
变式．如图所示，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑皮各多少块？
拓展点六：
列一元一次方程解决日历问题
例题．在下边的日历中，任意圈出一竖列上的三个数，请你在思考三个数之间的关系后解答下题：若所圈三个数的和为57，则这三个数所在的日期是星期几？（写出必要的计算过程）
变式1．如图是2017年1月份的日历．
（1）图1中，带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么倍数关系？
（2）在图2中，将带阴影的方块移动，任意框出9个数（每个格子都有数字），（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）带阴影的方框移动过程中，9个数的和可以是135吗？若可以，求出方框正中心的数；若不可以，请说明理由．
变式2．在如图所示的2017年1月份的月历表中，用一个3×2的长方形框围住相邻三列两行中的6个数字，设其中第一行中间的数字为x．
（1）用含x的式子表示长方形框中6个数字的和：
；
（2）若长方形框中6个数字的和是141，那么这6个数字分别是哪些数字？
（3）长方形框中6个数字的和能是117吗？简要说明理由．
拓展点七：
列一元一次方程解决商品定价问题
例题．元旦期间，星力百货将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，已知这种商品的进价为1000元，那么这种商品的原价是多少？
变式1．某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是300元，其中A件衣服赚25%，B件衣服赔25%．
（1）A，B两件衣服的成本价格是多少元？（请列方程解答）
（2）专柜售出的这两件衣服，是赚了还是赔了，或者是不赚也不陪呢？
变式2．某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏4元，而按标价的八折出售将赚28元，问：
（1）每件服装的标价和成本分别是多少元？
（2）为使销售该品牌服装每件获得20%的利润率，应按标价的几折出售？
拓展点八：
列一元一次方程解决数字问题
例题．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ）
A．25
B．16
C．34
D．61
变式1．（2016秋?乳山市期末）一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的两位数比原来的两位数大27，求原来的两位数．
变式2．列方程解应用题：
一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数．
易错点一：
移项不变号
例题．解方程
（1）2x﹣x=6﹣8；
（2）3x+7=32﹣2x．
变式1．解方程：5x﹣2=7x+8．
变式2．4﹣4（x﹣3）=2（9﹣x）
易错点二：
系数化为1时颠倒分子和分母的位置
例题．解方程：
（1）7x﹣2=2x+8；
（2）3x﹣2（x﹣4）=6．
变式．解方程：3（5﹣x）=2﹣2（x+3）．3.2
解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
学习要求
1、初步掌握用移项、合并、系数化为1的方法步骤解简单的一元一次方程．
2、进一步掌握用移项、合并的方法解一元一次方程，会列一元一次方程解决简单的实际问题．
知识点一：
合并同类项与系数化为1
知识点二：
移项
例题1．方程2x﹣1=3x+2的解为（ ）
A．x=1
B．x=﹣1
C．x=3
D．x=﹣3
【分析】方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：方程2x﹣1=3x+2，
移项得：2x﹣3x=2+1，
合并得：﹣x=3．
解得：x=﹣3，
故选D．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
例题2．方程2x﹣1=3的解是（ ）
A．﹣1
B．
C．1
D．2
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案．
【解答】解：2x﹣1=3，
移项，得：2x=4，
系数化为1，得：x=2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，根据解一元次方程的一般步骤可得答案．
例题3．解方程：5x﹣2=7x+8．
【分析】此题应先对方程进行移项，然后合并同类项，最后方程两边同时除以x的系数，即可解出x的值．
【解答】解：移项得：5x﹣7x=8+2
合并同类项得：﹣2x=10
方程两边同除以﹣2得：x=﹣5
【点评】本题易在移项上出错，对方程进行移项要注意符号的改变．
变式1．3x﹣2=5x+4．
【分析】此题比较简单，移项、合并、化系数为1，即可求得．
【解答】解：移项得：3x﹣5x=4+2
合并得：﹣2x=6
化系数为1得：x=﹣3．
【点评】本题比较简单，解此题要注意移项要变号．
变式2．解方程：（1）3x+7=32﹣2x
（2）．
【分析】按照先移项，再合并同类项，进而系数化为1的方法计算即可．
【解答】解：（1）3x+7=32﹣2x
3x+2x=32﹣7
…（2分）
5x=25
…（4分）
x=5
…（5分）
（2）
…（2分）
=2
…（4分）
x=﹣6
…（5分）
【点评】考查解一元一次方程；掌握解一元一次的方法是解决本题的关键．
变式3．5x﹣0.7=6.5﹣1.3x．
【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：移项得：5x+1.3x=6.5+0.7，
拓展点一：
解一元一次方程
例题．解方程：2x+20=5﹣3x．
【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：移项得：2x+3x=5﹣20，
合并同类项得：5x=﹣15，
化系数为1得：x=﹣3．
【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．
变式1．2y+3=11﹣6y．
【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：移项得：2y+6y=11﹣3，
合并同类项得：8y=8，
系数化为1得：y=1．
【点评】本题考查解一元一次方程，此题的解题步骤是：移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．
变式2．解方程：16x﹣3.5x﹣6.5x=7．
【分析】直接合并同类项，然后系数化为1，从而得出方程的解．
【解答】解：16x﹣3.5x﹣6.5x=7，
合并得：6x=7，
化系数为1得：．
【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．
变式3．．
【分析】首先去分母，移项，合并同类项，再系数化1，即可求得答案．
【解答】解：去分母得：2x﹣24=3x，
移项得：2x﹣3x=24，
合并得：﹣x=24，
系数化为1得：x=﹣24．
【点评】此题考查了一元一次方程的解法．此题比较简单，注意掌握一元一次方程的解题步骤是解此题的关键．
拓展点二：
列一元一次方程求值
例题．某商品的售价为每件900元，为了参与市场竞争，商店按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？
【分析】设进价为x元，依商店按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10%，可得方程式，求解即可得答案．
【解答】解：设进价为x元，
依题意得：900×90%﹣40﹣x=10%x，
整理，得
770﹣x=0.1x
解之得：x=700
答：商品的进价是700元．
【点评】应识记有关利润的公式：利润=销售价﹣成本价．
变式1．浙江省移动公司开设有两种手机业务：
①“全球通”：月租费为50元，市内通话费按0.4元/分计算；
②“神州行”：不缴月租费，市内通话费按0.6元/分计算．
选择全球通还是神州行合算？
【分析】本题可先求出相等时的折中方案，然后再根据条件来判断选择哪种比较合适．
【解答】解：设当通话x分钟，
则50+0.4x=0.6x
解得：x=250
当通话时间少于250分钟，选择神州行合算．
当通话时间多于250分钟，选择全球通合算．
当通话时间等于250分钟时选择神州行和全球通都可以．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
变式2．一家商店将某种服装按成本价提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本多少元？
【分析】设这种服装每件的成本为x元，根据成本价×（1+40%）×0.8﹣成本价=利润列出方程，解方程就可以求出成本价．
【解答】解：设这种服装每件的成本为x元，
根据题意得：80%（1+40%）x﹣x=15，
解得：x=125．
答：这种服装每件的成本为125元．
【点评】此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题时要明确利润是在进价的基础上的．
拓展点三：
两个方程同解问题
例题．关于x的方程x﹣2m=﹣3x+4与2﹣m=x的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
【分析】（1）先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于m的方程，再根据一元一次方程的解法求解即可；
（2）把m的值代入两个方程的解计算即可．
【解答】解：（1）由x﹣2m=﹣3x+4得：x=m+1，…（2分）
依题意有：m+1+2﹣m=0，
解得：m=6；
…（6分）
（2）由m=6，
解得方程x﹣2m=﹣3x+4的解为x=×6+1=3+1=4，…（8分）
解得方程2﹣m=x的解为x=2﹣6=﹣4．
…（10分）
【点评】本题考查了同解方程的问题，先求出两个方程的解的表达式，然后根据互为相反数的和等于0列式求出m的值是解题的关键．
变式1．已知|a﹣3|+（b+1）2=0，代数式的值比的值多1，求m的值．
【分析】先根据|a﹣3|+（b+1）2=0求出a，b的值，再根据代数式的值比的值多1列出方程=+1，把a，b的值代入解出x的值．
【解答】解：∵|a﹣3|≥0，（b+1）2≥0，
且|a﹣3|+（b+1）2=0，
∴a﹣3=0且b+1=0，
解得：a=3，b=﹣1．
由题意得：，
即：，
，
解得：m=0，
∴m的值为0．
【点评】考查了非负数的和为0，则非负数都为0．要掌握解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为．注意移项要变号．
变式2．当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程x（m+1）=m（1+x）的解大2．
【分析】先求出两个方程的解（含m的代数式），然后根据题意列出关于m的一元一次方程即可解答．
【解答】解：5m+12x=+x，
移项合并同类项得：11x=﹣5m，
系数化为1得：x=﹣，
x（m+1）=m（1+x），
整理得：x（m+1）=m+mx，
移项得：x（m+1）﹣mx=m，
合并同类项得：x=m，
根据题意得﹣﹣m=2，
解得：．
即当m=﹣时关于x的方程的解比关于x的方程x（m+1）=m（1+x）的解大2．
【点评】此题计算量较大，但只要熟悉一元一次方程的解法，就能正确解答．
拓展点四：
列一元一次方程解决和差倍分问题
例题．目前我省小学和初中在校生共136万人，其中小学在校生人数比初中在校生人数的2倍少2万人．问目前我省小学和初中在校生各有多少万人？
【分析】设初中在校生为x万人．根据小学在校生人数比初中在校生人数的2倍少2万人，表示出小学在校生人数，从而根据总人数是136万，列方程求解．
【解答】解：设初中在校生为x万人，
依题意得：x+（2x﹣2）=136
解得：x=46
∴2x﹣2=2×46﹣2=90（万人）
答：目前我省小学在校生为90万人，初中在校生为46万人．
【点评】此题中根据共有人数用其中一个未知数表示另一个未知数，再根据小学在校生人数，比初中在校生人数的2倍少2万人列方程也可．
变式1．甲车队有50辆汽车，乙车队有41辆汽车，如果要使乙车队数比甲车队车数的2倍还多1辆，应从甲车队调多少辆车到乙车队？
【分析】若设从甲车队调x辆车到乙车队，注意两个车队的同时变化．
【解答】解：设应从甲车队调x辆车到乙车队，
根据题意，得方程41+x=2（50﹣x）+1
解之得：x=20．
答：应从甲车队调20辆车到乙车队．
【点评】此题中的等量关系：乙车队数比甲车队车数的2倍还多1辆．
变式2．某校初一学生为灾区捐款，（1）班捐款为初一总捐款的，（2）班捐款为（1）班、（3）班捐款数的和的一半，（3）班捐了380元，求初一三个班的总捐款数？
【分析】设初一总捐款为x元，然后可以用x分别表示（1）、（2）班的捐款数，再根据总捐款为x元即可列出方程，解方程即可．
【解答】解：设初一总捐款为x元，那么（1）、（2）班的捐款数分别是x，（x+380），
依题意得：x+（x+380）+380=x，
解得：x=1140．
答：除以总捐额为1140元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
拓展点五：
列一元一次方程解决比例分配问题
例题．已知一个长方形的周长为60cm．
（1）若它的长比宽多6cm，这个长方形的宽是多少cm？
（2）若它的长与宽的比是2：1，这个长方形的长是多少cm？
【分析】（1）设长方形的宽为xcm，则长为（x+6）cm，根据长方形的周长为60cm列出方程解答即可；
（2）设长方形的宽为acm，则长为2acm，根据长方形的周长为60cm列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设长方形的宽为xcm，则长为（x+6）cm，由题意得
2[x+（x+6）]=60，
解得：x=12．
答：这个长方形的宽是12cm；
（2）设长方形的宽为acm，则长为2acm，由题意得
2（2a+a）=60，
解得：a=10，
2a=20．
答：这个长方形的长是20cm．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握长方形的周长计算方法是解决问题的关键．
变式．如图所示，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑皮各多少块？
【分析】由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍．设出未知数列出方程即可求出
【解答】解：设足球上黑皮有x块，则白皮为（32﹣x）块，
五边形的边数共有5x条，六边形边数有6（32﹣x）条．
由图形关系可得，每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边，则白皮的边数为黑皮的2倍，
可得方程：2×5x=6（32﹣x）
解得：x=12
答：白皮20块，黑皮12块．
【点评】解题时，根据题中的条件，结合图形找出其中的规律，即找出黑边与白边条数的比例关系，再列出等式关系，求出解．
拓展点六：
列一元一次方程解决日历问题
例题．在下边的日历中，任意圈出一竖列上的三个数，请你在思考三个数之间的关系后解答下题：若所圈三个数的和为57，则这三个数所在的日期是星期几？（写出必要的计算过程）
【分析】设所圈三个数中中间的数为x，则另外两个数分别为x﹣7、x+7，根据三个数字之和为57，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再对照日历找出这三个数所在的日期是周几即可．
【解答】解：设所圈三个数中中间的数为x，则另外两个数分别为x﹣7、x+7，
根据题意得：x﹣7+x+x+7=57，
解得：x=19，
对照给定日历，这三个数所在的日期是星期六．
答：若所圈三个数的和为57，则这三个数所在的日期是星期六．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据所圈三个数的和为57，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
变式1．如图是2017年1月份的日历．
（1）图1中，带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么倍数关系？
（2）在图2中，将带阴影的方块移动，任意框出9个数（每个格子都有数字），（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）带阴影的方框移动过程中，9个数的和可以是135吗？若可以，求出方框正中心的数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）求出方框中9个数的和，再除以方框正中心的数即可得出结论；
（2）设最中间的数为x，写出按顺序写出方框中的9个数，将其相加即可得出结论；
（3）设最中间的数为y，由（2）结合9个数的和为135即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，对照图形即可得出不可以．
【解答】解：（1）∵（4+5+6+11+12+13+18+19+20）÷12=9，
∴方框中的9个数的和是方框正中心的数的9倍．
（2）成立，理由如下：
设最中间的数为x，则9个数字如图所示：
这9个数的和为：（x﹣8）+（x﹣7）+（x﹣6）+（x﹣1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）=9x，
∴方框中的9个数的和是方框正中心的数的9倍．
（3）不可以，理由如下：
设最中间的数为y，则9y=135，
解得：y=15，
∵图中不存在以数字15为最中间的数的方框，
∴不可以．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及代数式求和，利用代数式的加法找出方框中的9个数的和是方框正中心的数的9倍是解题的关键．
变式2．在如图所示的2017年1月份的月历表中，用一个3×2的长方形框围住相邻三列两行中的6个数字，设其中第一行中间的数字为x．
（1）用含x的式子表示长方形框中6个数字的和： 6x+21 ；
（2）若长方形框中6个数字的和是141，那么这6个数字分别是哪些数字？
（3）长方形框中6个数字的和能是117吗？简要说明理由．
【分析】（1）根据月历表找出长方形框围住的六个数字，将其相加即可得出结论；
（2）结合（1）的结论，令6x+21=141，解之求出x的值，再将x分别代入6个数字中即可；
（3）结合（1）的结论，令6x+21=117，求出x的值，由x的值在月历表的最右侧可得出长方形框中6个数字的和不能是117．
【解答】解：（1）设其中第一行中间的数字为x，则长方形框围住的六个数字分别为x﹣1、x、x+1、x+6、x+7、x+8，
∴6个数字的和为（x﹣1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）=6x+21．
故答案为：6x+21．
（2）根据题意得：6x+21=141，
解得：x=20，
∴这6个数字分别是19、20、21、26、27、28．
（3）不能，理由如下：
根据题意得：6x+21=117，
解得：x=16，
∵16是2017年1月份的月历表的最右侧，
∴长方形框中6个数字的和不能是117．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，根据长方形框住6个数的特点求出6个数的和是解题的关键．
拓展点七：
列一元一次方程解决商品定价问题
例题．元旦期间，星力百货将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，已知这种商品的进价为1000元，那么这种商品的原价是多少？
【分析】设这种商品的原价是x元，根据打折后的售价=进价+利润即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种商品的原价是x元，
根据题意得：0.8x=1000×（1+10%），
解得：x=1375．
答：这种商品的原价是1375元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据数量关系打折后的售价=进价+利润列出一元一次方程．
变式1．某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是300元，其中A件衣服赚25%，B件衣服赔25%．
（1）A，B两件衣服的成本价格是多少元？（请列方程解答）
（2）专柜售出的这两件衣服，是赚了还是赔了，或者是不赚也不陪呢？
【分析】（1）设A件衣服的成本价为x元，B件衣服的成本价为y元，根据“每件售价都是300元，其中A件衣服赚25%，B件衣服赔25%”，即可得出关于x（y）的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据利润=销售价格﹣成本价格，代入数据求出结果，根据结果的正负即可得出结论．
【解答】解：（1）设A件衣服的成本价为x元，B件衣服的成本价为y元，
由题意列方程，得：（1+25%）x=300，（1﹣25%）x=300，
解得：x=240，y=400．
答：A件衣服的成本价为240元，B件衣服的成本价为400元．
（2）300×2﹣（240+400）=﹣40（元）．
答：专柜售出这两件衣服赔了40元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．
变式2．某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏4元，而按标价的八折出售将赚28元，问：
（1）每件服装的标价和成本分别是多少元？
（2）为使销售该品牌服装每件获得20%的利润率，应按标价的几折出售？
【分析】（1）设每件标价为x元，根据销售问题的数量关系就可以表示出进价，根据进价相等建立方程求出其值就可以得出结论；
（2）先求出实际售价，根据实际售价÷标价=折扣，列式即可求解．
【解答】解：（1）设每件标价为x元．由题意，得
0.6x+4=0.8x﹣28，
解得：x=160，
则成本为：0.6x+4=0.6×160+4=100（元）；
（2）100×（1+20%）÷160=0.75，
即应按标价的7.5折出售．
答：每件服装的标价标价160元，成本价100元，应按标价的7.5折出售．
【点评】本题是一道销售问题的运用题，考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，进而设出未知数，列出方程．
拓展点八：
列一元一次方程解决数字问题
例题．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ）
A．25
B．16
C．34
D．61
【分析】先设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x，7﹣x，则这个两位数为10x+7﹣x=9x+7，对调后的两位数为10（7﹣x）+x=70﹣9x，根据题意列出方程9x+7+45=70﹣9x，解这个方程，求出这个两位数．
【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为7﹣x，由题意得：
10x+7﹣x+45=10（7﹣x）+x，
解得：x=1，
所以个位数为：7﹣x=7﹣1=6，
答：这个两位数这16．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，本题属于数字问题，培养学生用方程解决问题的能力．
变式1．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的两位数比原来的两位数大27，求原来的两位数．
【分析】首先设原来两位数十位数字为x，则个位数字为2x，由题意得等量关系：新两位数﹣原两位数=27，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】解：设原来两位数十位数字为x，则个位数字为2x，由题意得：
20x+x﹣（10x+2x）=17，
解得：x=3，
则2×3=6，
原来的两位数为：36．
答：原来的两位数为36．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
变式2．列方程解应用题：
一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数．
【分析】设原来十位上的数字为x，则个位数字为2x．利用新数=原数+36，列方程求解即可．
【解答】解：设原来十位上的数字为x，
依题意得：10×2x+x=10x+2x+36，
解得x=4，
则2x=8．
答：原来的两位数是48．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
易错点一：
移项不变号
例题．解方程
（1）2x﹣x=6﹣8；
（2）3x+7=32﹣2x．
【分析】（1）方程去分母，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去分母得：4x﹣5x=12﹣16，
合并得：﹣x=﹣4，
解得：x=4；
（2）移项合并得：5x=25，
解得：x=5．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
变式1．解方程：5x﹣2=7x+8．
【分析】此题应先对方程进行移项，然后合并同类项，最后方程两边同时除以x的系数，即可解出x的值．
【解答】解：移项得：5x﹣7x=8+2
合并同类项得：﹣2x=10
方程两边同除以﹣2得：x=﹣5
【点评】本题易在移项上出错，对方程进行移项要注意符号的改变．
变式2．4﹣4（x﹣3）=2（9﹣x）
【分析】根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．
【解答】解：去括号得，4﹣4x+12=18﹣2x，
移项得，﹣4x+2x=18﹣4﹣12，
合并同类项得，﹣2x=2，
系数化为1得，x=﹣1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法，注意移项要变号．
易错点二：
系数化为1时颠倒分子和分母的位置
例题．解方程：
（1）7x﹣2=2x+8；
（2）3x﹣2（x﹣4）=6．
【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）方程移项合并得：5x=10，
解得：x=2；
（2）去括号得：3x﹣2x+8=6，
移项合并得：x=﹣2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式．解方程：3（5﹣x）=2﹣2（x+3）．
【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：方程去括号得：15﹣3x=2﹣2x﹣6，
移项合并得：﹣x=﹣19，
解得：x=19．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．课后练习
一、选择题
1．方程x+3＝6的解是（ ）
A．x＝3
B．x＝1
C．x＝﹣3
D．x＝﹣1．
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】521：一次方程（组）及应用；66：运算能力．
【分析】利用解一元一次方程的基本步骤计算可得．
【解答】解：移项，得：x＝6﹣3，
合并同类项，得：x＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
2．若单项式amb3与﹣2a2bn的和仍是单项式，则方程x﹣n＝1的解为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣6
D．6
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】521：一次方程（组）及应用；66：运算能力．
【分析】根据题意得到两单项式为同类项，利用同类项的定义求出m与n的值，代入方程计算即可求出解．
【解答】解：∵单项式amb3与﹣2a2bn的和仍是单项式，
∴m＝2，n＝3，
代入方程得：x﹣3＝1，
去分母得：2x﹣9＝3，
移项合并得：2x＝12，
解得：x＝6．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及同类项，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
3．2x﹣3与互为倒数，则x的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】17：倒数；86：解一元一次方程．
【专题】521：一次方程（组）及应用；66：运算能力．
【分析】利用倒数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：（2x﹣3）＝1，
整理得：2x﹣3＝5，
移项合并得：2x＝8，
解得：x＝4，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
4．定义运算“
”，其规则为a
b＝，则方程4
x＝4的解为（ ）
A．x＝﹣3
B．x＝3
C．x＝2
D．x＝4
【考点】1G：有理数的混合运算；86：解一元一次方程．
【专题】521：一次方程（组）及应用；66：运算能力．
【分析】方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝4，
去分母得：8+x＝12，
解得：x＝4，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
5．将方程2x﹣3＝1+x移项，得（ ）
A．2x+x＝1﹣3
B．2x+x＝1+3
C．2x﹣x＝1﹣3
D．2x﹣x＝1+3
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】521：一次方程（组）及应用；66：运算能力．
【分析】方程移项得到结果，即可作出判断．
【解答】解：将方程2x﹣3＝1+x移项，得2x﹣x＝1+3，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．方程3x﹣32＝﹣2x﹣7的根为（ ）
A．x＝25
B．x＝5
C．x＝﹣25
D．x＝﹣5
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】521：一次方程（组）及应用；66：运算能力．
【分析】方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：方程移项合并得：5x＝25，
解得：x＝5，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4．按照这个规定，那么方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为（ ）
A．﹣1
B．
C．1
D．﹣1或
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】521：一次方程（组）及应用；66：运算能力．
【分析】方程利用题中的新定义变形，计算即可求出解．
【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形得：x＝2x+1，
解得：x＝﹣1，不符合题意；
当x＜﹣x，即x＜0时，方程变形得：﹣x＝2x+1，
解得：x＝﹣，
综上，方程的解为x＝﹣，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.转化为分数时，可设0.＝x，则x＝0.6+x，解得x＝，即0.＝．仿此方法，将0.化成分数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】521：一次方程（组）及应用；66：运算能力．
【分析】直接利用例题将原式变形得出答案．
【解答】解：设0.＝x①，则
56.＝100x②，
②﹣①得56＝99x，
解得x＝，
即0.＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确将原式变形是解题关键．
9．利用等式的性质解方程﹣x＝时，应在方程的两边（ ）
A．同乘以﹣
B．同除以﹣
C．同乘以﹣
D．同减去﹣
【考点】83：等式的性质；86：解一元一次方程．
【专题】11：计算题；521：一次方程（组）及应用．
【分析】将方程x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：利用等式的性质解方程﹣x＝时，应在方程的两边同乘以﹣，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．小马在计算“41+x”时，误将“+”看成“﹣”，结果得12，则41+x的值应为（ ）
A．29
B．53
C．67
D．70
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】1：常规题型．
【分析】先根据错误算法求出x的值，然后再代入进行正确计算．
【解答】解：根据题意，41﹣x＝12，
解得x＝29，
∴41+x＝41+29＝70．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，根据错误算法求出x的值是解题的关键，是基础题，比较简单．
二、填空题
11．代数式与代数式k+3的值相等时，k的值为 8 ．
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】521：一次方程（组）及应用；66：运算能力．
【分析】根据题意可列出两个代数式相等时的方程，解方程即可．
【解答】解：根据题意得：＝k+3，
去分母得：4（2k﹣1）＝3k+36，
去括号得：8k﹣4＝3k+36，
移项合并同类项得：5k＝40，
解得：k＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用及解法，解题的关键在于解方程时注意去分母时不要漏掉常数项．
12．若m+1与﹣2互为倒数，则m的值为 ．
【考点】17：倒数；86：解一元一次方程．
【专题】511：实数；521：一次方程（组）及应用；66：运算能力．
【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1可解．
【解答】解：根据题意得：
（m+1）×（﹣2）＝1，
解得．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
13．定义a
b＝ab+a+b，若3
x＝27，则x的值是： 6 ．
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】23：新定义．
【分析】根据题中的新定义将3
x＝27化为普通方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：3
x＝3x+3+x＝27，
即4x＝24，
解得：x＝6．
故答案为：6
【点评】此题考查了解一元一次方程，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．
14．在如图所示的运算流程中，若输出的数y＝7，则输入的数x＝ 28或27 ．
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】27：图表型．
【分析】根据所给的图可知，若x为偶数，可得方程x÷4＝7，若x不是偶数，可得方程（x+1）÷4＝7，分两种情况计算x的值．
【解答】解：当x是偶数时，有x÷4＝7，
解得：x＝28，
当x是奇数时，有（x+1）÷4＝7．
解得：x＝27．
故答案为：28或27．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程，关键是看懂图示，分情况讨论．
15．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：＝ad﹣bc，已知＝18，则x＝ 3 ．
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】23：新定义．
【分析】首先看清这种运算的规则，将＝18转化为一元一次方程2x﹣（﹣4x）＝18，通过去括号、移项、系数化为1等过程，求得x的值．
【解答】解：由题意得：将＝18可化为：2x﹣（﹣4x）＝18，
去括号得：2x+4x＝18，
合并得：6x＝18，
系数化为1得：x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题立意新颖，借助新运算，实际考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．
三、解答题
16．关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于m的方程，再根据一元一次方程的解法求解即可；
（2）把m的值代入两个方程的解计算即可．
【解答】解：（1）由x﹣2m＝﹣3x+4得：x＝m+1，
依题意有：m+1+2﹣m＝0，
解得：m＝6；
（2）由m＝6，
解得方程x﹣2m＝﹣3x+4的解为x＝×6+1＝3+1＝4，
解得方程2﹣m＝x的解为x＝2﹣6＝﹣4．
【点评】本题考查了同解方程的问题，先求出两个方程的解的表达式，然后根据互为相反数的和等于0列式求出m的值是解题的关键．
17．用“
”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a
b＝ab2+2ab+a．
如：1
3＝1×32+2×1×3+1＝16
（1）求2
（﹣2）的值；
（2）若（其中x为有理数），试比较m，n的大小；
（3）若＝a+4，求a的值．
【考点】1G：有理数的混合运算；86：解一元一次方程．
【专题】23：新定义．
【分析】（1）根据给定定义式，代入数据求值即可；
（2）根据给定定义式，表示出m和n，做差后即可得出结论；
（3）重复套用定义式，得出关于a的一元一次方程，解方程求出a值即可．
【解答】解：（1）2
（﹣2）＝2×（﹣2）2+2×2×（﹣2）+2＝2．
（2）m＝2
x＝2x2+2×2x+2＝2x2+4x+2，n＝（x）
3＝（x）×32+2×（x）×3+x＝4x，
m﹣n＝2x2+4x+2﹣4x＝2x2+2≥2，
故m＞n．
（3）（）
（﹣3）＝×（﹣3）2+2××（﹣3）+＝2a+2，（2a+2）
＝（2a+2）×（）2+2×（2a+2）×+（2a+2）＝+，
即a+4＝a+，解得：a＝﹣．
答：当＝a+4时，a的值为﹣．
【点评】本题考查的解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据给定定义式，代入数据求值；（2）根据给定定义式，求出m、n；（3）重复套用给定定义式找出方程．
18．3x+7＝32﹣2x．
【考点】86：解一元一次方程．
【专题】11：计算题．
【分析】解此一元一次方程的一般步骤是：移项、合并同类项、系数化为1．
【解答】解：移项、合并同类项得：5x＝25，
系数化为1得：x＝5；
【点评】本题考查解一元一次方程的知识，比较简单，注意细心运算即可．
19．小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3，
（1）求a的值；
（2）求此方程正确的解；
（3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值．
【考点】86：解一元一次方程．
【分析】（1）把x＝3代入方程即可得到关于a的方程，求得a的值；
（2）把a的值代入方程，然后解方程求解；
（3）把y＝a代入my3+ny+1得到m和n的式子，然后把y＝﹣a代入my3+ny+1，利用前边的式子即可代入求解．
【解答】解：（1）把x＝3代入3a+2x＝15得3a+6＝15，
解得：a＝3；
（2）把a＝3代入方程得：9﹣2x＝15，
解得：x＝﹣3；
（3）把y＝a代入my3+ny+1得27m+3n+1＝5，
则27m+3n＝4，
当y＝﹣a时，my3+ny+1＝﹣27m﹣3n+1＝﹣（27m+3n）+1＝﹣4+1＝﹣3．
【点评】本题考查了方程的解的定义，以及代数式的求值，正确理解方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，是关键．
