4.3
角
学习要求：
理解角的概念，掌握角的表示方法，能利用画图工具作一个角，会度量一个角的大小(在角度制下)，能进行简单的计算．理解周角、平角的概念．
会比较两个角的大小，能进行角的运算(和、差、倍、分)．理解角的平分线以及直角、锐角、钝角的概念．
理解一个角的余角和补角的概念，理解方向角的概念，并能解决有关角的计算问题．
知识点一：
角
例题1．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
【分析】根据角的动态定义解答：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．
【解答】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；
B、根据A可得B错误；
C、角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确；
D、据C可得D错误．
故选C．
【点评】此题考查了角的动态定义，此类问题还经常考查角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．
例题2．下列说法正确的是（ ）
A．平角是一条直线
B．角的边越长，角越大
C．大于直角的角叫做钝角
D．两个锐角的和不一定是钝角
【分析】直接利用角的定义以及钝角的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、平角是两条射线组成的一条直线，故此选项错误；
B、角的边越长，与角的大小无关，故此选项错误；
C、大于直角且小于180°的角叫做钝角，故此选项错误；
D、两个锐角的和不一定是钝角，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了角的定义以及钝角的定义，正确把握定义是解题关键．
例题3．下列关于平角和周角的说法正确的是（ ）
A．平角是一条线段
B．周角是一条射线
C．两个锐角的和不一定小于平角
D．反向延长射线OA，就形成一个平角
【分析】根据角的定义可知：角是有公共端点的两条射线组成的图形，根据定义逐一判断．
【解答】解：A、平角是角，是有公共端点的两条射线组成的图形，不是直线，错误；
B、周角是角，是有公共端点的两条射线组成的图形，是两条射线，错误；
C、锐角大于0°而小于90°，所以两个锐角的和小于180°，错误；
D、反向延长射线OA，O成为角的顶点，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平角和周角，解决本题的关键是熟记平角、周角的定义．
变式1．下列关于角的说法正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．角的大小与这个角的两边的长短无关
C．延长一个角的两边
D．角的两边是射线，所以角不可度量
【分析】根据角的定义和概念进行判断．
【解答】解：A、两条有公共端点射线组成的图形叫做角，所以选项错误；
B、根据角的度量知道角的大小与这个角的两边的长短无关，故选项正确；
C、由于角的两边是射线，故不能说延长角的两边，故选项错误；
D、虽然角的两边是射线，但是角的度量不是度量边，所以角是可以度量的，故选项错误；
故选B．
【点评】此题主要考查了角的定义，角是由两条有公共端点的射线组成的图形，利用这个定义即可解决问题．
变式2．下列关于角的说法正确的个数是（ ）
①角是由两条射线组成的图形；
②角的边越长，角越大；
③在角一边延长线上取一点D；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误；
②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故本选项错误；
③角的边是射线，不能延长，故本选项错误；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．
所以只有④一个选项正确．
故选A．
【点评】本题主要是对角的定义的考查，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，需要熟练掌握．
变式3．下列说法正确的是（ ）
A．角的边越长，角度就越大
B．周角就是一条射线
C．一条直线可以看成平角
D．平角的两边可以构成一条直线
【分析】利用角的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、角的大小与边长无关，故错误；
B、周角的特点是两条边重合成射线，但不能说成周角是一条射线，故错误；
C、平角的特点是两条边成一条直线，不能说直线是平角，故错误；
D、平角的两边构成一条直线，正确，
故选D．
【点评】本题主要考查角的概念，熟练各种角的概念是解题的关键．
知识点二：
角的四种表示法
例题1．下列四个图形中，能同时用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可．
【解答】解：A、由于B为顶点的角有四个，不可用∠B表示，故本选项错误；
B、由于B为顶点的锐角有一个，可用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角，故本选项正确；
C、由于B为顶点的锐角有三个，不可用∠B表示，故本选项错误；
D、由于B为顶点的有二个，不可用∠B表示，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了角的概念，要熟悉角的三种表示方法所适用的条件．
变式．下列角中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】角的表示方法有三种：①用三个字母及符号“∠”来表示，中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．②用一个数字表示一个角．③用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析．
【解答】解：在选项A、B、D中，如果用∠C表示，容易使人产生歧义，无法让人明确到底表示哪个角；
只有选项C能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角，不会使人产生歧义．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对角的概念和角的表示方法的理解和掌握．解题时注意：唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
例题2．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
变式1．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．
变式2．以下给出的四个语句中，结论正确的有（ ）
①如果线段AB=BC，则B是线段AC的中点；
②线段和射线都可看作直线上的一部分；
③大于直角的角是钝角；
④如图，∠ABD也可用∠B表示．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据角的概念进行判断．
【解答】解：①点A、B、C要在同一条直线上；
②线段和射线都是直线上的一部分；
③大于直角小于180°的角是钝角；
④当这个顶点只有一个角时，才可以用∠B表示．
只有②正确；故选A．
【点评】本题考查的知识点：角的分类、角的表示方法和直线、线段和射线的关系．
变式3．如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAO就是∠DAC
B．∠COB就是∠O
C．∠2就是∠OBC
D．∠CDB就是∠1
【分析】判断两个角是否是同一个角时，注意必须满足：
（1）顶点相同；
（2）两边分别相同．
想用一个顶点字母表示角时，这个顶点处必须只有一个角才可以．
【解答】解：A、∠DAO与∠DAC的顶点相同，角的两边也相同，∠DAO就是∠DAC，正确；
B、因为顶点O处有四个角，说∠COB就是∠O，错误；
C、∠2与∠OBC的顶点相同，角的两边也相同，∠2就是∠OBC，正确；
D、∠CDB与∠1的顶点相同，角的两边也相同，∠CDB就是∠1，正确．
故选B．
【点评】当一个顶点有几个角时，不能仅用表示该顶点的字母来表示角，易造成混淆．
变式4．如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可用∠O来表示
C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC
D．∠β表示的是∠BOC
【分析】A：根据角的表示方法判断即可．
B：只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以∠AOC不能∠O来表示，据此判断即可．
C：根据角的概念，判断出图中一共有多少个角即可．
D：根据角的表示方法判断即可．
【解答】解：∵∠1与∠AOB表示同一个角，
∴选项A正确．
∵只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，
∴∠AOC不能∠O来表示，
∴选项B错误．
∵图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，
∴选项C正确．
∵∠β表示的是∠BOC，
∴选项D正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了角的表示方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
知识点三：
角的度量
例题1．1°等于（ ）
A．10′
B．12′
C．60′
D．100′
【分析】根据1°=60′，换算单位即可求解．
【解答】解：1°等于60′．
故选：C．
【点评】考查了度分秒的换算，具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
变式1．将21.54°用度、分、秒表示为（ ）
A．21°54′
B．21°50′24″
C．21°32′40″
D．21°32′24″
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，可得答案．
【解答】解：21.54°=21°32.4′=21°32′24″．
故选：D．
【点评】本题考查了度分秒的换算，不满一度的化成分，不满一分的化成秒．
变式2．把8.32°用度、分、秒表示正确的是（ ）
A．8°3′2″
B．8°30′20″
C．8°19′12″
D．8°18′12″
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，可得答案．
【解答】解：8.32°用度、分、秒表示正确的是8°19′12″，
故选：C．
【点评】本题考查了度分秒的换算，大单位化小单位乘以进率是解题关键．
例题2．下面等式成立的是（ ）
A．83.5°=83°50′
B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44°
D．41.25°=41°15′
【分析】进行度、分、秒的加法、减法计算，注意以60为进制．
【解答】解：A、83.5°=83°50′，错误；
B、37°12′36″=37.48°，错误；
C、24°24′24″=24.44°，错误；
D、41.25°=41°15′，正确．
故选D．
【点评】此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
变式1．下列各式中，正确的角度互化是（ ）
A．63.5°=63°50′
B．23°12′36″=25.48°
C．18°18′18″=3.33°
D．22.25°=22°15′
【分析】两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度．度、分、秒的换算是60进位制．
【解答】解：A、63.5°=63°+0.5°×60=63°30′，错误；
B、23°12′36″=23°+12′÷60+36″÷3600=23.21°，错误；
C、18°18′18″=18°+18′÷60+18″÷3600=18.305°，错误；
D、22.25°=22°+0.25°×60=22°15′，正确．
故选D．
【点评】此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
变式2．下列各式成立的是（ ）
A．62.5°=62°50′
B．31°12′36″=31.21°
C．106°18′18″=106.33°
D．62°24′=62.24°
【分析】按角的运算进制计算即可．
【解答】解：进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．
A、62.5°=62°50′，不正确；
B、31°12′36″=31.21°，运算正确．
C、106°18′18″=106.33°，不正确；
D、62°24′=62.24°，不正确；
故选B．
【点评】此类题是进行度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以60为进制．
例题3．计算：
（1）18°13′×5．
（2）27°26′+53°48′．
（3）90°﹣79°18′6″．
【分析】（1）先度、分分别乘以5，再满60进1即可；
（2）先度、分分别相加，再满60进1即可；
（3）先变形，再度、分、秒分别相减即可．
【解答】解：（1）18°13′×5
=90°65′
=91°5′；
（2）27°26′+53°48′
=80°74′
=81°14′；
（3）90°﹣79°18′6″
=89°59′60″﹣79°18′6″
=10°41′54″．
【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能理解度、分、秒之间的关系是解此题的关键．
变式1.计算
（1）25°34′48″﹣15°26′37″
（2）105°18′48″+35.285°．
【分析】（1）根据度分秒的计算，度、分、秒同一单位分别相减即可；
（2）先把35.285°的小数部分乘以60化为分，再把小数部分乘以60化为秒，然后度、分、秒同一单位相加，超过60的部分进1即可．
【解答】解：（1）25°34′48″﹣15°26′37″=10°8′11″；
（2）105°18′48″+35.285°
=105°18′48″+35°17′6″
=140°35′54″．
【点评】本题考查了度分秒的换算，注意以60为进制即可．
变式2．计算：18°20′32″+30°15′22″．
【分析】根据计算角相加的方法可以计算出题目中式子的结果．
【解答】解：18°20′32″+30°15′22″
=48°35′54″．
【点评】本题考查度分秒的换算，解答此类问题的关键是明确度分秒之间的进制是60进制．
变式3．计算：26°21′30″+42°38′30″．
【分析】直接类比小数的加法计算即可，注意度分秒之间的进率是60．
【解答】解：26°21′30″+42°38′30″
=68°59′60″
=69°．
【点评】此题考查度分秒的计算，注意借1当60，满60进一．
变式4．度、分、秒．
（1）180°﹣46°42′= 133°18′ ；
（2）28°36′+72°24′= 101°
（3）50°24′×3= 151°12′ ；
（4）49°28′52″÷4= 12°17′13″ ．
【分析】（1）把180°化为179°60′，用度、分分别相减即可；
（2）用度、分分别相加即可；
（3）用度、分分别乘以3即可；
（4）用度、分、秒分别除以4即可．
【解答】解：（1）180°﹣46°42′=179°60′﹣46°42′=133°18′；
（2）28°36′+72°24′=100°60′=101°；
（3）50°24′×3=150°72′=151°12′；
（4）49°28′52″÷4=12°+68′52″÷4=12°17′13″；
故答案为：133°18′；101°；151°12′；12°17′13″．
【点评】此题主要考查了度分秒的换算，此类题是进行度、分、秒的加、减、乘、除计算，注意以60为进制即可．分与分相加结果满60，转化为1°．
变式5.计算：
（1）89°15′﹣44°25′59′′
（2）13°32′×3．
【分析】（1）两个度数相减，度与度，分与分，秒与秒对应相减，分与秒先向上一单位借1，当60计算；
（2）先分单位进行计算，然后分满60进位为1度．
【解答】解：（1）89°15′﹣44°25′59″，
=88°74′60″﹣44°25′59″，
=44°49′1″；
（2）13°32′×3，
=39°96′，
=40°36′．
【点评】本题考查了度、分、秒的换算，注意度分秒是60进制，下一单位向上一单位借1当60，下一单位满60需向上一单位进1．
知识点四：
角的比较
例题．如图，射线OB、OC将∠AOD分成三部分，下列判断错误的是（ ）
A．如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC=∠BOD
B．如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BOD
C．如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BOD
D．如果∠AOB=∠BOC，那么∠AOC=∠BOD
【分析】利用图中角与角的关系选择即可得出D为错误选项．
【解答】解：A、如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC=∠BOD，本选项正确；
B、如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BOD，本选项正确；
C、如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BOC，本选项正确；
D、如果∠AOB=∠BOC，那么∠AOC=∠BOD，本选项错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键是正确找出各角的关系式．
变式1．如图，如果∠CAE＞∠BAD，那么下列说法中一定正确的是（ ）
A．∠BAC＞∠CAD
B．∠DAE＞∠CAD
C．∠CAE＜∠BAC+∠DAE
D．∠BAC＜∠DAE
【分析】先由∠CAE＞∠BAD，根据角的和差可得∠CAD+∠DAE＞∠BAC+∠CAD，再利用不等式的性质得出∠DAE＞∠BAC，即∠BAC＜∠DAE．
【解答】解：∵∠CAE＞∠BAD，
∴∠CAD+∠DAE＞∠BAC+∠CAD，
∴∠DAE＞∠BAC，
即∠BAC＜∠DAE．
故选D．
【点评】本题考查了角的大小比较，角的和差，不等式的性质，根据角的和差结合图形得出∠CAE=∠CAD+∠DAE，∠BAD=∠BAC+∠CAD是解题的关键．
变式2．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（ ）
A．∠AOB＞∠AOC
B．∠AOB＜∠BOC
C．∠BOC＞∠AOC
D．∠AOC＞∠BOC
【分析】利用角的大小进行比较．
【解答】解：射线OC在∠AOB的内部，那么∠AOC在∠AOB的内部，且有一公共边；
则一定存在∠AOB＞∠AOC．
故选A．
【点评】本题考查角的大小比较，比较简单．
变式3．如图，∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠DOB的大小关系是（ ）
A．∠AOC＞∠DOB
B．∠AOC＜∠DOB
C．∠AOC=∠DOB
D．∠AOC与∠DOB无法比较大小
【分析】先根据∠AOB=∠COD得出∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，故可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB．
故选C．
【点评】本题考查的是角的大小比较，熟知角比较大小的法则是解答此题的关键．
知识点五：
角的和差关系
例题：（1）∠AOC是哪两个角的和？
（2）∠AOB是哪两个角的差？
（3）如果∠AOB=∠DOC，那么∠AOC与∠DOB得关系如何？
【考点】IK：角的计算．
【专题】11
：计算题．
【分析】（1）根据图形易得∠AOC是∠AOB与∠BOC的和；
（2）根据图形易得∠AOB是∠AOC与∠BOC的差或∠AOD与∠BOD的差；
（3）由∠AOB=∠DOC，则∠AOB+∠BOC=∠DOC+∠BOC，即有∠AOC=∠BOD．
【解答】解：（1）∵∠AOB+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC是∠AOB与∠BOC的和．
（2）∵∠AOC﹣∠BOC=∠AOB，
∴∠AOB是∠AOC与∠BOC的差．
又∵∠AOD﹣∠BOD=∠AOB，
∴∠AOB也是∠AOD与∠BOD的差．
（3）∵∠AOB=∠DOC，
∴∠AOB+∠BOC=∠DOC+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC与∠DOB是相等的关系．
【点评】本题考查了角度的计算：通过几何图形得到角度的和差．
变式1．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠DOC=36°，则∠AOB是 144 度．
【分析】由余角的性质，结合角的计算求出结果．
【解答】解：∵∠AOC和∠BOD都是直角，∠DOC=36°，
∴∠AOD=54°．
∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=90°+54°=144°．
【点评】此题主要考查了学生余角的性质，利用余角性质即可求出该角．
变式2．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆在桌面上，若∠AOD=140°，则∠BOC= 40 度．
【分析】根据题意，将∠AOD分解为∠AOC+∠BOC+∠BOD，根据∠AOB+∠COD=∠AOC+2∠BOC+∠BOD=180°，易得答案．
【解答】解：根据题意，易得∠AOB+∠COD=180°，
即∠AOC+2∠BOC+∠BOD=180°，
而∠AOD=140°，即∠AOC+∠BOC+∠BOD=140°，
则∠BOC=180°﹣140°=40°；
故答案为：40．
【点评】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是正确利用各个角之间的关系．
变式3．如图，∠AOB=90°，∠AOC=2∠BOC，则∠BOC= 30 °．
【分析】根据已知条件列方程即可得到结论．
【解答】解：∵∠AOB=90°，∠AOC=2∠BOC，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
即2∠BOC+∠BOC=90°，
∴∠BOC=30°
故答案为：30°．
【点评】本题考查了角的有关计算的应用，解此题的关键是利用方程思想，难度适中．
知识点六：
角平分线
例题1．如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOC=50°，OD平分∠AOC，则∠BOD= 155 度．
【分析】根据点A、O、B在一条直线上，∠AOB为平角，求出∠COB，再利用OD平分∠AOC，求出∠COD，然后用∠COB+∠COD即可求解．
【解答】解：∵点A、O、B在一条直线上，
∴∠COB=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°，
∵OD平分∠AOC，∴∠COD=×50°=25°，
∴∠BOD=∠COB+∠COD=130°+25°=155°．
故答案为：155．
【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，此题的关键是点A、O、B在一条直线上，∠AOB为平角，此题难度不大，属于基础题．
例题2．如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOB的度数为 120° ．
【分析】根据角平分线的性质得出∠COB=2∠AOC=2x，∠AOD=∠BOD=1.5x，进而求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：∵∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，
∴设∠COB=2∠AOC=2x，∠AOD=∠BOD=1.5x，
∴∠COD=0.5x=20°，
∴x=40°，
∴∠AOB的度数为：3×40°=120°．
故答案为：120°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，根据题意得出∠COD=0.5x是解题关键．
变式1．如图，A、O、B三点在一条直线上，∠AOC=2∠COD，OE平分∠BOD，∠COE=77°，则∠COD= 26° ．
【分析】设∠COD=x，则∠AOC=2x，根据∠COE=77°，表示出∠DOE的度数，然后根据∠AOB=180°，列方程，求出x的值即可．
【解答】解：设∠COD=x，则∠AOC=2x，
∵∠COE=77°，OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE=77°﹣x，
∴2x+x+2（77°﹣x）=180°，
解得：x=26°．
即∠COD=26°．
故答案是：26°．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．
变式2．如图，∠AOC=30°35′25″，∠BOC=80°15′28″，OC平分∠AOD，那么∠BOD等于 49°40′3″ ．
【分析】先根据角平分线的定义求出∠COD的度数，最后利用角的差计算结果．
【解答】解：∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=∠AOC=30°35′25″，
∵∠BOC=80°15′28″，
∴∠BOD=∠BOC﹣∠COD，
=80°15′28″﹣30°35′25″，
=79°75′28″﹣30°35′25″，
=49°40′3″，
故答案为：49°40′3″．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义、度、分、秒的换算，正确掌握角平分线的性质是解题关键，注意度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
变式3．如图，∠AOD=90°，∠AOB：∠BOC=1：3，OD平分∠BOC，则∠AOC= 144 度．
【分析】由题意设∠AOB为x，∠BOC为3x，再根据角的平分线的性质得出∠BOD=∠BOC=x，于是得x+x=90°，求得x，再求∠AOC的度数即可．
【解答】解：∵∠AOB：∠BOC=1：3，
∴设∠AOB为x，∠BOC为3x，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=∠BOC=x，
∵∠AOD=90°，
∴x+x=90°，
x=36°，
3x=108°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=36°+108°=144°，
故答案为：144．
【点评】本题考查了角的计算以及角的平分线的性质．关键是得出∠BOD=∠BOC=x．
变式4．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE别是∠AOB、∠BOD的平分线，若∠AOC=8°，则∠COD= 172° ，∠BOE= 82° ．
【分析】先根据∠AOC+∠COD=180°求出∠COD的度数，再根据角平分线的性质求出∠AOB的度数，由平角的性质可求出∠DOB的度数，OE是∠BOD的平分线即可求出∠BOE的度数．
【解答】解：∵∠AOC+∠COD=180°，∠AOC=8°，
∴∠COD=172°；
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOC=8°，
∴∠AOB=2∠AOC=2×8°=16°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOB=180°﹣16°=164°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE=∠BOD=×164°=82°．
故答案为：172°、82°．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
知识点七：
余角和补角
例题1．已知∠A=70°，则∠A的余角等于（ ）
A．20°
B．30°
C．70°
D．110°
【分析】根据余角定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角进行计算即可．
【解答】解：∠A的余角：90°﹣70°=20°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了余角，关键是掌握互为余角的两个角的和为90度．
变式1．如图所示的是一把剪刀，若∠1与∠2互为余角，则∠3等于（ ）
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
【分析】根据余角得出∠1+∠2=90°，根据对顶角相等得出∠1=∠2，求出∠1，再根据邻补角求出即可．
【解答】解：∵∠1和∠2互为余角，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠1=∠2=45°，
∴∠3=180°﹣45°=135°，
故选C．
【点评】本题考查了邻补角，余角，对顶角等知识点，能根据题意得出∠1+∠2=90°、∠1=∠2、∠3+∠1=180°是解此题的关键．
变式2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．
【解答】解：∵三角形的内角和为180°，
∴选项B中，∠1+∠2=90°，即∠1与∠2互为余角，
故选B．
【点评】本题考查了余角的定义，掌握定义并且准确识图是解题的关键．
变式3．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
【解答】解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
C、∠α与∠β互余，故本选项正确；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
例题2.下列图形中，∠1与∠2互为补角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据补角的概念对各个选项进行判断即可．
【解答】解：根据补角的概念可知，C中∠1与∠2互为补角，
故选：C．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
变式1.已知∠A=45°，则∠A的补角等于（ ）
A．45°
B．90°
C．135°
D．180°
【分析】根据两个角的和等于180°，则这两个角互补计算即可．
【解答】解：180°﹣45°=135°，
则∠A的补角等于135°，
故选：C．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
变式2．一个角的补角是这个角的3倍，则这个角是（ ）度．
A．45
B．60
C．50
D．30
【分析】首先根据补角的定义，设这个角为x°，则它的补角为（180°﹣x），再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．
【解答】解：设这个角的度数为x，则它的补角为（180°﹣x），
依题意，得180°﹣x=3x，
解得x=45°．
答：这个角是45度．
故选：A．
【点评】此题综合考查补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的补角列出代数式求解．
变式3．如图，已知∠AOB=180°，则下列语句中，描述错误的是（ ）
A．点O在直线AB上
B．直线AB与直线OP相交于点O
C．点P在直线AB上
D．∠AOP与∠BOP互为补角
【分析】根据点与直线的位置关系、两直线的位置关系、余角和补角的概念进行判断即可．
【解答】解：点O在直线AB上，描述正确，A错误；
直线AB与直线OP相交于点O，描述正确，B错误；
点P不在直线AB上，描述错误，C正确；
∠AOP与∠BOP互为补角描述正确，D错误，
故选：C．
【点评】本题考查的是点与直线的位置关系、两直线的位置关系、余角和补角的概念，掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角是解题的关键．
知识点八：
方位角
例题．一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图所示，搜救船位于图中圆心O处，事故船位于距O点40海里的A处，雷达操作员要用方向角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为（ ）
A．事故船在搜救船的北偏东60°方向
B．事故船在搜救船的北偏东30°方向
C．事故船在搜救船的北偏西60°方向
D．事故船在搜救船的南偏东30°方向
【分析】根据点的位置确定应该有方向以及距离，进而利用图象得出即可．
【解答】解：如图所示：事故船A在搜救船北偏东30°方向，
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标确定位置，注意方向角的确定方法．
变式1．如图，在一次定向越野活动中，“超越”小组准备从目前所在的A
处前往相距2km的B处，则相对于A处来说，B处的位置是（ ）
A．南偏西50°，2km
B．南偏东50°，2km
C．北偏西40°，2km
D．北偏东40°，2km
【分析】直接利用方向角的定义得出相对于A处来说，B处的位置．
【解答】解：如图所示：相对于A处来说，B处的位置是：南偏西50°，2km．
故选：A．
【点评】此题主要考查了方向角，利用方向角确定位置是解题关键．
变式2．如图，下列说法中错误的是（ ）
A．OA方向是北偏东30°
B．OB方向是北偏西15°
C．OC方向是南偏西25°
D．OD方向是东南方向
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．根据定义就可以解决．
【解答】解：A、OA方向是北偏东60°，此选项错误；
B、OB方向是北偏西15°，此选项正确；
C、OC方向是南偏西25°，此选项正确；
D、OD方向是东南方向，此选项正确．
错误的只有A．
故选：A．
【点评】本题考查的是方向角，熟知方向角的表示方法是解答此题的关键．
变式3．M地是海上观测站，从M地发现两艘船A、B的方位如图所示，下列说法中，正确的是（ ）
A．船A在M的南偏东30°方向
B．船A在M的南偏西30°方向
C．船B在M的北偏东40°方向
D．船B在M的北偏东50°方向
【分析】用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
【解答】解：船A在M的南偏西90°﹣30°=60°方向，故A、B选项错误；
船B在M的北偏东90°﹣50°=40°方向，故C正确，D错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了方向角，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
拓展点一：
角的识别与表示
例题．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
变式1．如图，下列对图中各个角的表示方法不正确的是（ ）
A．∠A
B．∠1
C．∠C
D．∠ABC
【分析】先表示出各个角，再根据角的表示方法选出即可．
【解答】解：图中的角有∠A、∠1、∠ABC、∠ACB，
即表示方法不正确的有∠C，
故选C．
【点评】本题考查了对角的表示方法的应用，主要考查学生对角的表示方法的理解和掌握．
变式2．如图，下面表述不正确的是（ ）
A．∠1可表示为∠DAC
B．∠2可表示为∠BAC
C．∠BAD表示的角是∠1+∠2
D．∠BAD可表示为∠A
【分析】根据角的表示方法：一个角可用阿拉伯数字表示，也可用角的顶点和两边上的点表示即可判定选项A、B、D；根据角的和差关系即可判定选项C．
【解答】解：由角的表示方法结合图形可知
A、∠1可表示为∠DAC
正确；
B、∠2可表示为∠BAC正确；
C、∠BAD表示的角是∠1+∠2正确，
D、∠BAD可表示为∠A不正确，因为以点A为顶点的角不止一个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了角的表示方法，熟练掌握教的三种表示方法是解题的关键．
拓展点二：
度、分、秒之间的互化和运算
例题1．计算：
（1）用度、分、秒表示48.26°；
（2）用度表示37°24′36″；
（3）42°16′+18°23′×2；
（4）90°﹣19°12′÷6．
【分析】（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．根据1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″把大单位化成小单位乘以60即可；
（2）根据度分秒之间60进制的关系计算；
（3）首先算出乘法运算，进而利用加减运算得出即可；
（4）首先算出除法运算，进而利用加减运算得出即可．
【解答】解：（1）48.26°
=48°+0.26×60′
=48°15′+0.6×60″
=48°15′36″；
（2）根据1°=60′，1′=60″得，
36″÷60=0.6′，24.6′÷60=0.4°，
所以37°24′36″用度来表示为37.41°；
（3）42°16′+18°23′×2
=42°16′+36°46′
=78°62′
=79°2′；
（4）90°﹣19°12′÷6
=90°﹣18°72′÷6
=90°﹣3°12′
=86°48′．
【点评】本题主要考查的是度、分、秒的换算以及度分秒的计算，相对比较简单，注意以60为进制以及计算顺序即可．
例题2．计算：
（1）49°38′+66°22′；（2）180°﹣79°19′；（2）22°16′×5；（4）182°36′÷4．
【分析】两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度．
两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减，1°=60′；
进行角的乘法运算，应将度分秒分别与5相乘，然后依次进位．
一个度数除以一个数，则从度位开始除起，余数变为分，分的余数变为秒．
【解答】解：（1）49°38′+66°22′=116°；
（2）180°﹣79°19′=100°41′；
（3）22°16′×5=111°20′；
（4）182°36′÷4=45°39′．
【点评】本题考查了角的加减乘除运算．遇到加法时，先加再进位；遇到减法时，先借位再减；遇到乘法时，先乘再进位；遇到除法时，先借位再除．
变式1．计算：
（1）23°36′+66°24′；
（2）180°﹣132°4′；
（3）（43°12′÷2﹣10°5′）×3．
【分析】类比与小数的计算方法，计算度分秒即可，注意满60进一，借一当60．
【解答】解：（1）23°36′+66°24′
=89°60′
=90°；
（2）180°﹣132°4′
=179°60′﹣132°4′
=47°56′；
（3）（43°12′÷2﹣10°5′）×3
=（21°36′﹣10°5′）×3
=11°31′×3
=33°93′
=34°33′．
【点评】此题考查度分秒的换算，注意度分秒之间的换算：1度=60分，1分=60秒．
变式2．用度数表示下列各角度：
（1）37°54′；
（2）45°12′；
（3）31°48′；
（4）4°51′．
【分析】（1）先根据1′=（）°把分变成度，即可得出答案．
（2）先根据1′=（）°把分变成度，即可得出答案．
（3）先根据1′=（）°把分变成度，即可得出答案．
（4）先根据1′=（）°把分变成度，即可得出答案．
【解答】解：（1）54′=（54÷60）°=0.9°，
即37°54′=37.9°．
（2）12″=（12÷60）°=0.2°，
即45°12′=45.2°．
（3）48′=（48÷60）°=0.8°，
即31°48′=31.8°．
（4）51′=（51÷60）°=0.85°，
即4°51′=4.85°．
【点评】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意：1°=60′，1′=（）°．
变式3．计算：
（1）25°36×4；
（2）42°45′÷3．
【分析】利用类比小数的乘除法计算即可，注意满60进一，退1当60．
【解答】解：（1）25°36×4
=100°144′
=102°24′；
（2）42°45′÷3
=14°15′．
【点评】此题考查度分秒的乘除计算方法，注意度分秒之间的进率是60．
变式4．计算：
（1）46゜39′+57゜41′= 104゜20′ ；
（2）90゜﹣77゜29′32″= 12゜30′28″ ；
（3）31゜17′×5= 156゜25′ ；
（4）176゜52′÷3= 58゜57′ ．（精确到分）
【分析】（1）利用度加度、分加分进行计算，再进位即可；
（2）把90°化为89°59′60″，再利用度减度，分减分，秒减秒进行计算；
（3）利用度和分分别乘以5，再进位即可；
（4）分别度除以3，再分除以3即可．
【解答】解：（1）46゜39′+57゜41′=103°80′=104゜20′；
拓展点三：
三角尺构成的角
例题.借助一副三角尺画出15°，105°，120°，135°的角．
【考点】N3：作图—复杂作图；IK：角的计算．
【专题】13
：作图题．
【分析】根据三角尺的度数，利用和差关系解答即可作出．
【解答】解：如图所示，45°﹣30°=15°，
45°+60°=105°，
90°+30°=120°，
90°+45°=135°．
【点评】本题考查了复杂作图，主要利用了角度的和差关系，根据三角尺的度数求出所求度数的和差关系是解题的关键．
变式：下面三角尺拼成的角是多少度？
【考点】92：角的度量；82：图形的拼组．
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】（1）是利用了三角板上两个直角组成的一个大角，是90°+90°=180°；
（2）是利用了三角板上60°角和45°角拼成的一个大角，是60°+45°=105°；
（3）是利用三角板上30°和45°的角拼成的一个大角，是45°+30°=75°．
据此解答即可．
【解答】解：（1）90°+90°=180°；
（2）60°+45°=105°；
（3）45°+30°=75°
【点评】本题是考查图形的拼组和角的度量，要熟记三角板上各个角的度数．
拓展点四：
角的平分线与角的和差计算问题
例题1．如图，直线AB经过点O，OA平分∠COD，OB平分∠MON，若∠AON=150°，∠BOC=120°．
（1）求∠COM的度数；
（2）判断OD与ON的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据∠BOC=120°求出∠AOC度数，再由∠AON=150°求出∠BON的度数，根据角平分线的定义得出∠BOM的度数，由平角的定义即可得出结论；
（2）根据（1）中∠AOC的度数求出∠AOD的度数，再由角平分线的定义得出∠AOD的度数，根据平角的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°﹣120°=60°．
∵∠AON=150°，
∴∠BON=180°﹣150°=30°．
∵OB平分∠MON，
∴∠BOM=∠BON=30°，
∴∠COM=180°﹣∠AOC﹣∠BOM=180°﹣60°﹣30°=90°；
（2）∵由（1）可知，∠AOC=60°，∠BON=30°
∴∠AOD=∠AOC=60°，
∴∠DON=180°﹣∠AOD﹣∠BON=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴OD⊥ON．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
例题2．如图，已知直线AB上一点O，∠AOD=42°，∠BOC=34°，∠DOE=90°，OF平分∠COD，求∠FOD与∠EOB的度数．
【分析】直接利用平角的定义结合角平分线的性质得出∠DOF=∠FOC，进而得出∠FOD与∠EOB的度数．
【解答】解：∵直线AB上一点O，∠AOD=42°，∠BOC=34°，
∴∠DOC=180°﹣42°﹣34°=104°，
∵OF平分∠COD，
∴∠DOF=∠FOC=52°，
∵∠AOD=42°，∠DOE=90°，
∴∠AOE=48°，
∴∠BOE=180°﹣48°=132°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确把握相关性质是解题关键．
变式1．如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=3∠DOE．试求∠COE的度数．
【分析】根据角平分线的定义先求∠BOC的度数，即可求得∠BOD，再由∠BOD=3∠DOE，求得∠BOE．
【解答】解：∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB
∴∠BOC=∠AOB=45°（3分）
∵∠BOD=∠COD﹣∠BOC=90°﹣45°=45°
∠BOD=3∠DOE（6分）
∴∠DOE=15°（8分）
∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣15°=75°（10分）
故答案为75°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
变式2．如图，已知∠AOC=60°，∠BOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度数．
【分析】根据角平分线的定义得到∠DOB=∠BOC，∠EOB=∠AOB，而∠AOB=（∠AOC+∠BOC），所以∠EOB=30°+∠BOC，然后利用∠DOE=∠EOB﹣∠DOB进行计算．
【解答】解：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOB，
∴∠DOB=∠BOC，∠EOB=∠AOB=（∠AOC+∠BOC）=（60°+∠BOC）=30°+∠BOC，
∴∠DOE=∠EOB﹣∠DOB=30°．
【点评】本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
变式3．如图所示，直线AB上有一点O，任意画射线OC，已知OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠DOE的度数．
【分析】由OD，OE分别为角平分线，利用角平分线定义得到两对角相等，而这四个角之和为一个平角，等量代换即可求出∠DOE的度数．
【解答】解：∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，即2∠COD+2∠COE=180°，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=90°．
【点评】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．
变式4．如图，已知∠AOB=x°，∠AOC是y°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE．
【分析】直接利用角平分线的性质得出∠DOC=x°，∠COE=y°，再利用∠DOE=∠DOC﹣∠EOC求出答案．
【解答】解：∵∠AOB=x°，∠AOC是y°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠DOC=x°，∠COE=y°，
∴∠DOE=∠DOC﹣∠EOC=（x°﹣y°）．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的性质是解题关键．
拓展点五：
利用余角、补角的概念与性质解题
例题1．一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？
【分析】设这个角为x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个角为x，
由题意得，180°﹣x﹣24°=3（90°﹣x），
解得x=57°．
答：这个角的度数为57°．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
1．一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？
【分析】设这个角为x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个角为x，
由题意得，180°﹣x﹣24°=3（90°﹣x），
解得x=57°．
答：这个角的度数为57°．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
2．一个角的余角比这个角的少30°，请你计算出这个角的大小．
【分析】设这个角的度数为x，根据互余的两角的和等于90°表示出它的余角，然后列出方程求解即可．
【解答】解：设这个角的度数为x，则它的余角为（90°﹣x），
由题意得：x﹣（90°﹣x）=30°，
解得：x=80°．
答：这个角的度数是80°．
【点评】本题考查了余角的定义，熟记概念并列出方程是解题的关键．
3．如果一个角的余角是它的补角的，求这个角的度数．
【分析】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°，根据题意列出关系式，求出α的值即可．
【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°，
由题意得，90°﹣α=（180°﹣α），
解得：α=30°．
故这个角的度数为30°．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．
4．如图，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AE与BC交于F点．
（1）找出图中两对互余角： ∠ABD与∠BAD，∠ECF与∠EFC
（2）图中与∠BAD相等的角是 ∠ABD，∠CAE ，与∠EAC相等的角是 ∠ABD ．请对其中一对相等的角加以说明．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADB=∠E=90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据余角和补角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠ADB=∠E=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠ECF+∠EFC=90°，
∴∠ABD与∠BAD，∠ECF与∠EFC互余，
故答案为：∠ABD与∠BAD，∠ECF与∠EFC；
（2）图中与∠BAD相等的角是∠ABD，∠CAE，∠ABD；
∵∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=90°，
∴图中与∠BAD相等的角是∠ABD，∠CAE，
∴∠EAC=∠ABD，
故答案为：∠ABD，∠CAE；∠ABD．
【点评】本题考查了余角与补角，熟记余角与补角的性质是解题的关键．
5．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；
（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．
【分析】解此类题目关键在于：结合图形，根据余角、补角的定义，有时还需考虑角平分线的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．
【解答】解：（1）与∠AOD互补的角∠BOD、∠COD；
与∠BOE互补的角∠AOE、∠COE．
（2）∠COD+∠COE=∠AOB=90度．（提示：因为OD平分∠BOC，所以∠COD=∠BOC）．
又OE平分∠AOC，所以∠COE=∠AOC，
所以∠COD+∠COE=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC），
所以∠COD+∠COE=∠AOB=90°．
【点评】此题结合图形考查余角、补角的定义；涉及了角平分线的性质，及角的运算．在图形中，找补角、余角关系时，除了借助图形外，还需考虑等量关系即有没有相等的角．
6．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF=∠DOF=90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE=∠ACO，从而最后得解；
（2）根据角平分线的定义求出∠AOF，再根据余角的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=∠DOF=90°，
∴∠DOE=∠ACO，
∴∠DOE也是∠AOD的补角，
∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE；
（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠AOE=60°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOC=∠COF﹣∠AOF=90°﹣60°=30°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
【点评】本题考查了余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义，难点在于（1）根据等角的余角相等确定出与∠AOD互补的第三个角．
变式1．一个角的余角比这个角的少30°，请你计算出这个角的大小．
【分析】设这个角的度数为x，根据互余的两角的和等于90°表示出它的余角，然后列出方程求解即可．
【解答】解：设这个角的度数为x，则它的余角为（90°﹣x），
由题意得：x﹣（90°﹣x）=30°，
解得：x=80°．
答：这个角的度数是80°．
【点评】本题考查了余角的定义，熟记概念并列出方程是解题的关键．
变式2．如果一个角的余角是它的补角的，求这个角的度数．
【分析】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°，根据题意列出关系式，求出α的值即可．
【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°，
由题意得，90°﹣α=（180°﹣α），
解得：α=30°．
故这个角的度数为30°．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．
例题1．如图，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AE与BC交于F点．
（1）找出图中两对互余角： ∠ABD与∠BAD，∠ECF与∠EFC
（2）图中与∠BAD相等的角是 ∠ABD，∠CAE ，与∠EAC相等的角是 ∠ABD ．请对其中一对相等的角加以说明．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADB=∠E=90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据余角和补角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠ADB=∠E=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠ECF+∠EFC=90°，
∴∠ABD与∠BAD，∠ECF与∠EFC互余，
故答案为：∠ABD与∠BAD，∠ECF与∠EFC；
（2）图中与∠BAD相等的角是∠ABD，∠CAE，∠ABD；
∵∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=90°，
∴图中与∠BAD相等的角是∠ABD，∠CAE，
∴∠EAC=∠ABD，
故答案为：∠ABD，∠CAE；∠ABD．
【点评】本题考查了余角与补角，熟记余角与补角的性质是解题的关键．
变式1．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；
（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．
【分析】解此类题目关键在于：结合图形，根据余角、补角的定义，有时还需考虑角平分线的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．
【解答】解：（1）与∠AOD互补的角∠BOD、∠COD；
与∠BOE互补的角∠AOE、∠COE．
（2）∠COD+∠COE=∠AOB=90度．（提示：因为OD平分∠BOC，所以∠COD=∠BOC）．
又OE平分∠AOC，所以∠COE=∠AOC，
所以∠COD+∠COE=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC），
所以∠COD+∠COE=∠AOB=90°．
【点评】此题结合图形考查余角、补角的定义；涉及了角平分线的性质，及角的运算．在图形中，找补角、余角关系时，除了借助图形外，还需考虑等量关系即有没有相等的角．
变式2．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF=∠DOF=90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE=∠ACO，从而最后得解；
（2）根据角平分线的定义求出∠AOF，再根据余角的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=∠DOF=90°，
∴∠DOE=∠ACO，
∴∠DOE也是∠AOD的补角，
∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE；
（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠AOE=60°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOC=∠COF﹣∠AOF=90°﹣60°=30°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
【点评】本题考查了余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义，难点在于（1）根据等角的余角相等确定出与∠AOD互补的第三个角．
拓展点六：
角在实际生活中的应用
例题1．如图，下午2点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）
A．90°
B．120°
C．105°
D．135°
【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：下午2点30分时，时针与分针相距3.5份，
下午2点30分时下午2点30分时3.5×30°=105°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数．
例题2．钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是（ ）
A．65°
B．75°
C．85°
D．90°
【分析】根据4点10分时时针与分针相差2格，每格度数为30°，据此可得．
【解答】解：4点10分时，分针指向数字“2”、时针指向4～5间位置，
∴时针和分针所形成的锐角度数为：2×30°+×30=65°，
故选：A．
【点评】本题考查钟面角的计算；用到的知识点为：钟面上每2个数字之间相隔30度；时针1分钟走0.5度．
变式1．如图，钟表上显示的时间是12：20，此时，时针与分针的夹角是（ ）
A．100°
B．110°
C．115°
D．120°
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
【解答】解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上12时20分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×20=10°，分针在数字4上．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴12时20分钟时分针与时针的夹角4×30°﹣10°=110°．
故选：B．
【点评】本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
变式2．在上午9时到10时之间，时钟的分针与时针会重合一次，这次的重合时间是（ ）
A．9：48﹣9：49
B．9：49﹣9：50
C．9：50﹣9：51
D．9：51﹣9：52
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，时钟的时针每小时转过的角是一份，即30°；分针每分钟转过的角是分，即×30°=6°；九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走0.5°，分针一分钟走6°设九点x分，重合，则有0.5x+270=6x，即可解答．
【解答】解：九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走0.5°，分针一分钟走6°
设九点x分重合，则有
0.5x+270=6x
x=49，
故选：B．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
变式3．如图，9点整时，时针与分针夹角为90°，则下一次时针与分针夹角为90°时，经过了（ ）分钟．
A．
B．
C．
D．
【分析】根据实际问题，时针转动速度为每分钟0.5°，分钟转动速度为每分钟6°，设再次转成直角的时间间隔为x分，可以列出方程，从而求解下一次时针与分针成直角的时间．
【解答】解：设再次转成直角的时间间隔为x分，则
（6﹣0.5）x=90×2，
解得x=．
答：下一次时针与分针夹角为90°时，经过了分．
故选D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和钟面角问题，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．
拓展点七：
探究问题
例题．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN=30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 11或47 （直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON的度数；
（2）分两种情况：ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；
（3）根据∠MON=90°，∠AOC=70°，分别求得∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=70°﹣∠AON，再根据∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）进行计算，即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系．
【解答】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵∠BOC=110°，
∴∠MOB=55°，
∵∠MON=90°，
∴∠BON=∠MON﹣∠MOB=35°；
（2）分两种情况：
①如图2，∵∠BOC=110°
∴∠AOC=70°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD=∠COD=35°，
∴∠BON=35°，∠BOM=55°，
即逆时针旋转的角度为55°，
由题意得，5t=55°
解得t=11（s）；
②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA=35°，
∴∠AOM=55°，
即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，
由题意得，5t=235°，
解得t=47（s），
综上所述，t=11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
故答案为：11或47；
（3）∠AOM﹣∠NOC=20°．
理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，
∴∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=70°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）=20°，
∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC=20°．
【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC的长是解题的关键．解题时注意分类思想和方程思想的运用．
变式1．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．
例如：当α=30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；
当α=20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA3的位置如图3所示，
其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好与OA2重合．
解决如下问题：
（1）若α=35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是 45° ；
（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；
（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是 ，，（）° ．
（4）（选做题）当OAi所在的射线是∠AiOAk（i，j，k是正整数，且OAj与OAk不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．
【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；
（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；
（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；
（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OAi是∠AiOAK是的角平分线，但当a=120度时，只有两条射线，不会出现OAi是∠AiOAK是的角平分线，所以旋转会中止．
【解答】解：（1）解：如图所示．aφ=45°，
（2）解：如图所示．
∵α＜30°，
∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．
∵OA4平分∠A2OA3，
∴2（180°﹣6α）+=4α，解得：．
（3），，（）°
（4）对于角α=120°不能停止．理由如下：
无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OAi是∠AiOAK是的角平分线，所以旋转会停止．
但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1=120°，第二次旋转240°时，与OM重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA1重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OAi是∠AiOAK是的角平分线这种情况，旋转不会停止．
【点评】本题主要考察角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析．
变式2．如图，射线OC以∠AOB的边OB为始边进行逆时针旋转，作OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，在射线OC旋转过程中，试探究∠DOE与∠BOC的大小关系．
（1）当∠AOB=90°，∠BOC=60°时，则∠DOE= 45 度．
（2）设∠AOB=90°，∠BOC=n．
①当0＜n＜90°时，在射线OC旋转过程中，∠DOE的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出∠DOE的度数；
②当90°＜n＜360°时，在射线OC旋转过程中，∠DOE的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出∠DOE的度数；
（3）设∠AOB=a，∠BOC=n，其中0＜a＜180°，在射线OC旋转过程中，请直接写出∠DOE的度数（可用含有a，n的代数式表示）
【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE=∠COE+∠COD；
（2）①结合角的特点，∠DOE=∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；②分三种情况讨论：当90°＜n≤180°时，当180°＜n≤270°时，当270°＜n＜360°，分别求得∠DOE的度数；
（3）根据（2）中方法进行分类讨论，即可得出∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE=∠COB=30°，∠COD=∠AOC=15°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=45°；
故答案为：45°；
（2）①∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE
=∠BOC+∠AOC
=（∠AOC+∠BOC）
=∠AOB
=×90°
=45°；
②分三种情况：
当90°＜n≤180°时，∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：如图所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COE﹣∠DOC
=∠BOC﹣∠AOC
=（∠BOC﹣∠AOC）
=∠AOB
=×90°
=45°；
当180°＜n≤270°时，∠DOE的大小不变，等于135°，
理由：如图所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COE+∠DOC
=∠BOC+∠AOC
=（∠BOC+∠AOC）
=（360°﹣∠AOB）
=×270°
=135°；
当270°＜n＜360°时，∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：如图所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC﹣∠COE
=∠AOC﹣∠BOC
=（∠AOC﹣∠BOC）
=∠AOB
=×90°
=45°；
（3）在射线OC旋转过程中，∠DOE的度数为a或180°﹣a．
理由：当0＜n≤180°时，∠DOE=a；
当180°＜n≤180°+a时，∠DOE=180°﹣a；
当180°+a＜n＜360°时，∠DOE=a；
综上所述，∠DOE的度数为a或180°﹣a．
【点评】本题主要考查了角的和差关系的运用以及角平分线的定义的运用，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
拓展点八：
方程思想在角度计算中的应用
例题．已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE=∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．
【分析】设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．
【解答】解：设∠EOB=x，则∠EOC=2x，
则∠BOD=（180°﹣3x），
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，
即x+（180°﹣3x）=72°，
解得x=36°，
故∠EOC=2x=72°．
【点评】设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．
变式1．如图，已知∠AOC：∠BOC=1：4，OD平分∠AOB，且∠COD=36°，求∠AOB的度数．
【分析】设∠AOC=x，则∠BOC=4x，可得∠AOB，∠AOD，由∠COD=36°求得x，得到结果．
【解答】解：设∠AOC=x，则∠BOC=4x，
∴∠AOB=5x，
∵OD平分∠AOB，
∴，
∴=，
∴x=24°，
∴∠AOB=5x=5×24°=120°．
【点评】本题考查了角的计算，利用方程思想是解答本题的关键．
变式2．如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD=15°，求∠AOB的度数．
【分析】先设∠AOC=5x，再根据∠COD=∠BOD﹣∠BOC，列出关于x的方程进行求解，最后计算∠AOB的度数．
【解答】解：设∠AOC=5x，则∠BOC=2x，∠AOB=7x，
∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD=∠AOB=x，
∵∠COD=∠BOD﹣∠BOC
∴15°=x﹣2x，
解得x=10°，
∴∠AOB=7×10°=70°．
易错点一：
统计角的个数时，忽略平角的特殊情况
1．如图所示，从O点出发的五条射线，可以组成小于平角的角的个数是（ ）
A．10个
B．9个
C．8个
D．4个
【分析】按一定的规律数即可．
【解答】解：先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD、OE为一边的角，把他们加起来．
也可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数．
∵图中共有四条射线，
∴图中小于平角的角共有=10个．
故选A．
【点评】此题通过数角的个数，考查了同学们总结规律的能力或公式应用的能力，值得关注．
2．如图，从点O出发的五条射线，可以组成（ ）个角．
A．4
B．6
C．8
D．10
【分析】先以OA为角的一边，依次得到以OB、OC、OD、OE为另一边的五个角，然后利用同样的方法得到其他角．
【解答】解：点O出发的五条射线，可以组成的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE．
故选D．
【点评】本题考查了角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
易错点二：
没有注意单位的统一
1．若∠P=25°12′，∠Q=25.12°，∠R=25.2°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠P=∠Q
B．∠P=∠R
C．∠Q=∠R
D．∠P=∠Q=∠R
【分析】根据小单位化大单位除以进率，可得答案．
【解答】解：∠P=25°12′=25.2°，∠R=25.2°，
故选：B．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用小单位化大单位除以进率是解题关键．
2．已知∠1=27°18′，∠2=27.18°，∠3=27.3°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠1=∠3
B．∠1=∠2
C．∠1＜∠2
D．∠2=∠3
【分析】先表示成度、分、秒的形式，再逐个判断即可．
【解答】解：∵∠1=27°18′，∠2=27.18°=27°10′48″，∠3=27.3°=27°18′，
A、∠1=∠3，故本选项正确；
B、∠1≠∠2，故本选项错误；
C、∠1＞∠2，故本选项错误；
D、∠2≠∠3，故本选项错误；
故选A．
【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键，注意：1°=60′，1′=60″．课后作业
一．选择题（共12小题）
1．一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于（ ）
A．75°
B．105°
C．45°
D．135°
2．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
3．时钟显示为9：30时，时针与分针所夹角度是（ ）
A．90°
B．100°
C．105°
D．110°
4．一个人从A地出发向北偏东80°方向到达B地，再从B地向北偏西25°方向到达C地，如果∠ACB=55°，则∠CAB的度数是（ ）
A．25°
B．50°
C．70°
D．75°
5．下列说法正确的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．任何一个角都有余角
C．若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，2，∠3互余
D．若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为90°
6．已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（ ）
A．28°
B．112°
C．28°或112°
D．68°
7．下面等式成立的是（ ）
A．83.5°=83°50′
B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44°
D．41.25°=41°15′
8．如图，将一副三角板的直角顶点重合平放，若∠AOD=35°，则∠BOC为（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．互余两角之比是2：3，则这两角是34°与51°
B．105°45′与75°15′是互补的两个角
C．一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°
D．一个角的余角是这个角的4倍，这个角是22.5°
10．若∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°，则（ ）
A．∠1＞∠2＞∠3
B．∠2＞∠1＞∠3
C．∠1＞∠3＞∠2
D．∠3＞∠1＞∠2
11．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的大小为（ ）
A．22°
B．34°
C．56°
D．90°
12．将一长方形纸片，按图中的方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后点E′刚好落在A′B上，则∠CBD的度数为（ ）
A．60°
B．75°
C．90°
D．95°
二．填空题（共10小题）
13．已知∠A=65°，则∠A的补角等于 ．
14．33.33°= ° ′ ''；25°53'24''= °．
15．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB= ．
16．如图，当时钟显示7：30分时，时针与分针的夹角为 ．
17．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是 ．
18．已知：如图，OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，∠AOB=35°，那么∠BOD的度数为 ．
19．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD= ．
20．如图所示，其中最大的角是 ，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是 ．
21．已知：∠α=40.4°，∠β=40°4′，则∠α ∠β（填“＞”、“=”、“＜”）．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE=28°，则∠EOF的度数为 ．
三．解答题（共12小题）
1．已知一个角的补角等于这个角的余角的6倍，求这个角的度数．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
3．如图，OM平分∠AOB，∠AOC=2∠BOC，若∠AOB=120°，求∠MOC的度数．
4．如图，∠AOB=130°，OC是∠AOB内部一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．求∠DOE的度数．
5．回答下列问题：
（1）已知|a|=3，|b|=2，且a＜b，求（a+b）2
（2）已知一个角的补角比这个角的4倍大15°，求这个角的余角．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作AC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=
．
7．如图，货轮O在航行过程中，在它的北偏东60°方向上，与之相距30海里处发现灯塔A，同时在它的南偏东30°方向上，与之相距20海里处发现货轮B，在它的西南方向上发现客轮C，按下列要求画出．
（1）画出线段OB；
（2）画出射线OC；
（3）连接AB交OE于点D．
8．计算：
（1）33°52′+21°50′；
（2）108°8′﹣36°56′；
（3）20°23′×2；
（4）15°3′÷7．
9．如图，已知O是直线MN上的一点，∠AOB=90°，经过点O的直线DC平分∠BON，∠1=38°，求∠3和∠DOA的度数．
10．如图，AB＞AC，AD平分∠BAC，且CD=BD．试说明∠B与∠C的大小关系？
11．如图，O是直线AB上的一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）分别指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角
（2）若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数
（3）直接写出∠BOD与∠AOE的数量关系．
12．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将有一30度角的直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（图中∠OMN=30°，∠NOM=90°）
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求t；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．课后作业
一．选择题（共12小题）
1．=一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于（ ）
A．75°
B．105°
C．45°
D．135°
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【解答】解：
从图中发现∠ABC等于60°﹣15°=45°．故选C．
【点评】解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是做这类题的关键．
2．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
3．时钟显示为9：30时，时针与分针所夹角度是（ ）
A．90°
B．100°
C．105°
D．110°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：9：30时，时针与分针所夹角度是30×=105°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
4．一个人从A地出发向北偏东80°方向到达B地，再从B地向北偏西25°方向到达C地，如果∠ACB=55°，则∠CAB的度数是（ ）
A．25°
B．50°
C．70°
D．75°
【分析】根据题意画出图形，再根据平行线的性质进行解答即可．
【解答】解：由题意得∠ABC=（90°﹣80°）+（90°﹣25°）=75°，
∴∠CAB=180°﹣75°﹣55°=50°，
故选B．
【点评】本题考查的是方向角的概念及平行线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．任何一个角都有余角
C．若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，2，∠3互余
D．若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为90°
【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角．
【解答】解：A．一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；
B．
任何一个锐角都有余角，故B错误；
C．
若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，2，∠3不是互余的关系，故C错误；
D．
若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为90°，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余角的定义，解题时注意：互余是指两个角之间的数量关系，与位置无关．
6．已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（ ）
A．28°
B．112°
C．28°或112°
D．68°
【分析】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可．
【解答】解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=70°﹣42°=28°；
当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．
故选C．
【点评】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
7．下面等式成立的是（ ）
A．83.5°=83°50′
B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44°
D．41.25°=41°15′
【分析】进行度、分、秒的加法、减法计算，注意以60为进制．
【解答】解：A、83.5°=83°50′，错误；
B、37°12′36″=37.48°，错误；
C、24°24′24″=24.44°，错误；
D、41.25°=41°15′，正确．
故选D．
【点评】此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
8．如图，将一副三角板的直角顶点重合平放，若∠AOD=35°，则∠BOC为（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【分析】根据互余两角之和等于90°，进行求解即可．
【解答】解：∵∠AOD=35°，∠COA=90°，∠BOD=90°，
且∠AOD+∠COD=∠COD+∠BOC=90°，
∴∠AOD=∠BOC=35°．
故选A．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键在于熟练掌握互余两角之和等于90°．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．互余两角之比是2：3，则这两角是34°与51°
B．105°45′与75°15′是互补的两个角
C．一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°
D．一个角的余角是这个角的4倍，这个角是22.5°
【分析】根据余角和补角的定义即可求解．
【解答】解：A、互余两角之比是2：3，则这两角是90°×=36°，故选项错误；
B、105°45′+75°15′=181°，105°45′与75°15′不是互补的两个角，故选项错误；
C、一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°，故选项正确；
D、一个角的余角是这个角的4倍，这个角是90°÷（4+1）=18°，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查了余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
10．若∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°，则（ ）
A．∠1＞∠2＞∠3
B．∠2＞∠1＞∠3
C．∠1＞∠3＞∠2
D．∠3＞∠1＞∠2
【分析】∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，只要将∠3化为度、分、秒的形式，即可比较大小．
【解答】解：∵∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°=20°15′，
∴∠1＞∠2＞∠3．
故选A．
【点评】主要考查了两个角比较大小．在比较时要注意统一单位后再比较．
11．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的大小为（ ）
A．22°
B．34°
C．56°
D．90°
【分析】先根据∠COE是直角，∠COF=34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°﹣34°=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=56°﹣34°=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°．
故选A．
【点评】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、直角的定义等知识是解答此题的关键．
12．将一长方形纸片，按图中的方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后点E′刚好落在A′B上，则∠CBD的度数为（ ）
A．60°
B．75°
C．90°
D．95°
【分析】由折叠的性质可知，∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，根据平角=180°结合∠CBD=∠CBA′+∠E′BD，即可得出2∠CBD=180°，进而即可得出∠CBD=90°，此题得解．
【解答】解：根据折叠的性质可知：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，
∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∠CBD=∠CBA′+∠E′BD，
∴2∠CBD=180°，
∴∠CBD=90°．
故选C．
【点评】本题考查了角的计算以及翻折变换，根据角的计算结合平角为180°找出2∠CBD=180°是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
13．已知∠A=65°，则∠A的补角等于 115° ．
【分析】根据补角的定义，得出补角为（180°﹣65°），即可得出答案．
【解答】解：∵∠A=65°，
∴∠A的补角为180°﹣65°=115°，
故答案为115°．
【点评】本题综合考查余角与补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式求解．
14．33.33°= 33 ° 19 ′ 48 ''；25°53'24''= 25.89 °．
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率，可得答案．
【解答】解：33.33°=33°
19′48''；25°53'24''=25.89°，
故答案为：33，19，48；25.89．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率是解题关键．
15．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB= 180° ．
【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
【解答】解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了角度的计算问题，在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
16．如图，当时钟显示7：30分时，时针与分针的夹角为 45° ．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：7：30分时，时针与分针的夹角为30×=45°，
故答案为：45．
【点评】本条查了钟面角，确定时针与分针相距的分数是解题关键．
17．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是 北偏东70° ．
【分析】先求出∠AOB=55°，再求得OC的方位角，从而确定方位．
【解答】解：∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°
∴∠AOB=40°+15°=55°
∵∠AOC=∠AOB
∴OC的方向是北偏东15°+55°=70°．
【点评】主要考查了方位角的运用．会准确的找到所对应的角度并会根据勾股定理求线段的长度是需要掌握的基本能力之一．
18．已知：如图，OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，∠AOB=35°，那么∠BOD的度数为 105° ．
【分析】利用角平分线的性质得出∠COB=∠AOB，∠DOC=∠AOC，进而得出∠DOC的度数进而得出答案．
【解答】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，
∴∠COB=∠AOB，∠DOC=∠AOC，
∵∠AOB=35°，
∴∠BOC=35°，
∴∠DOC=∠AOC=70°，
∴∠BOD=70°+35°=105°．
故答案为：105°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，正确得出∠DOC的度数是解题关键．
19．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD= 70° ．
【分析】先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出结论．
【解答】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．
故答案是：70°．
【点评】本题考查的是角平分线的定义和角的和差计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．
20．如图所示，其中最大的角是 ∠AOD ，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是 ∠DOA＞∠DOB＞∠DOC ．
【分析】直接根据图形即可得出结论．
【解答】解：由图可知，最大的角是∠AOD；∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
故答案为：∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
【点评】本题考查的是角的大小比较，根据题意利用数形结合即可得出结论．
21．已知：∠α=40.4°，∠β=40°4′，则∠α ＞ ∠β（填“＞”、“=”、“＜”）．
【分析】首先同一单位，利用1°=60′，把∠α=40.4°=40°24′，再进一步与∠β比较得出答案即可．
【解答】解：∵∠α=40.4°=40°24′，∠β=40°4′，
∴∠α＞∠β．
故答案是：＞．
【点评】此题考查角的大小比较的方法和度分秒之间的换算．在比较角的大小时有时可把度化为分来进行比较．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE=28°，则∠EOF的度数为 90° ．
【分析】根据已知条件“∠DOE=∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE=28°”和平角的定义可以求得∠AOF=∠DOF=∠AOD=62°，∠DOE=∠BOE=28°；然后根据图形求得∠EOF=∠DOF+∠DOE=62°+28°=90°．
【解答】解：∵∠DOE=∠BOE，∠BOE=28°，
∴∠DOB=2∠BOE=56°；
又∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD=124°；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=∠DOF=∠AOD=62°，
∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=62°+28°=90°．
故答案是：90°．
【点评】本题考查了角的计算．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件“∠AOB=180°”．
一．解答题（共12小题）
1．已知一个角的补角等于这个角的余角的6倍，求这个角的度数．
【分析】设这个角为α，根据两个补角的和等于180°，两个余角的和等于90°表示出这个角的补角与余角，然后列出方程求解即可．
【解答】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，它的余角为90°﹣α，
根据题意得，180°﹣α=6（90°﹣α），
解得α=72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记定义并表示出这个角的补角与余角是解题的关键．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF=∠DOF=90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE=∠ACO，从而最后得解；
（2）根据角平分线的定义求出∠AOF，再根据余角的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=∠DOF=90°，
∴∠DOE=∠ACO，
∴∠DOE也是∠AOD的补角，
∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE；
（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠AOE=60°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOC=∠COF﹣∠AOF=90°﹣60°=30°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
【点评】本题考查了余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义，难点在于（1）根据等角的余角相等确定出与∠AOD互补的第三个角．
3．如图，OM平分∠AOB，∠AOC=2∠BOC，若∠AOB=120°，求∠MOC的度数．
【分析】根据已知求出∠BOC和∠AOC，根据角平分线定义求出∠MOB，根据角的大小求出即可．
【解答】证明：∵∠AOB=2∠BOC，∠AOB=120°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠AOC=2∠BOC=80°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠MOB=60°，
∴∠MOC=∠MOB﹣∠BOC=60°﹣40°=20°，
答：∠COM的度数是20°．
【点评】本题考查了角的计算和角的平分线定义等知识点，关键是根据角的大小比较求出每个角的度数，此题题型较好，难度适中．
4．如图，∠AOB=130°，OC是∠AOB内部一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．求∠DOE的度数．
【分析】先根据角平分线定义得到∠EOC=∠BOC，∠COD=∠AOC，再求出∠EOD=∠EOC+∠COD=∠AOB=65°．
【解答】解：∵OD平分∠AOC
（已知）
∴∠DOC=∠AOC
（角平分线定义）
∵OE平分∠BOC
（已知）
∴∠COE=∠COB
（角平分线定义）
∵∠DOE=∠DOC+∠COE
（如图）
∴∠DOE=∠AOC+∠COB
=∠AOB
（等式性质）
∵∠AOB=130°
（已知）
∴∠DOE=×130°
=65°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，比较简单．
5．回答下列问题：
（1）已知|a|=3，|b|=2，且a＜b，求（a+b）2
（2）已知一个角的补角比这个角的4倍大15°，求这个角的余角．
【分析】（1）根据绝对值得意义，可得a，b的值，根据乘方的意义，可得答案；
（2）根据补角的关系，可得这个角，根据余角的定义，可得答案．
【解答】解：（1）由|a|=3，|b|=2，且a＜b，得
a=﹣3，b=2或b=﹣2．
a=﹣3，b=2时，（a+b）2=（﹣1）2=1，
a=﹣3，b=﹣2时，（a+b）2=（﹣5）2=25；
综上所述：（a+b）2的值为1或25．
（2）设这个角为x度，由题意，得
x+4x+15=180°，
解得x=33，
这个角的余角90°﹣x=57°．
【点评】本题考查了余角和补角，利用余角和补角的关系是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作AC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE= ．
【分析】（1）以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）解：∵DC是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，
∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
设DE=CE=x，则AE=6﹣x，
∴=，
解得：x=，
即DE=，
故答案为：．
【点评】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
7．如图，货轮O在航行过程中，在它的北偏东60°方向上，与之相距30海里处发现灯塔A，同时在它的南偏东30°方向上，与之相距20海里处发现货轮B，在它的西南方向上发现客轮C，按下列要求画出．
（1）画出线段OB；
（2）画出射线OC；
（3）连接AB交OE于点D．
【分析】（1）根据方向角的定义即可作出；
（2）根据方向角定义即可作出；
（3）作线段AB，AB和OE的交点就是D．
【解答】解：（1）如图；
（2）如图；
（3）如图；
【点评】本题考查了方向角的定义，理解定义是本题的关键．
8．计算：
（1）33°52′+21°50′；
（2）108°8′﹣36°56′；
（3）20°23′×2；
（4）15°3′÷7．
【分析】（1）度、分分别相加，再满60进1即可；
（2）先变形得出107°68′﹣36°56′，再度、分分别相减即可；
（3）度、分分别乘以2即可；
（4）先15°除以7余1°，再63′除以7即可．
【解答】解：（1）33°52′+21°50′
=54°102′
=55°42′；
（2）108°8′﹣36°56′
=71°12′；
（3）20°23′×2
=40°46′；
（4）15°3′÷7
=2°9′．
【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能正确进行度、分、秒之间的加减、乘除运算是解此题的关键，注意：1°=60′，1′=60″．
9．如图，已知O是直线MN上的一点，∠AOB=90°，经过点O的直线DC平分∠BON，∠1=38°，求∠3和∠DOA的度数．
【分析】直接利用角平分线的性质进而利用互余的性质得出∠3的度数，再利用∠DOA=∠COD﹣∠2﹣∠3求出答案．
【解答】解：∵OC平分∠BON，
∴∠1=∠2=38°，
∵∠AOB=90°，
∴∠3=90°﹣∠1﹣∠2=90°﹣38°﹣38°=14°，
∵直线DC经过点O，
∴∠COD=180°，
∴∠DOA=∠COD﹣∠2﹣∠3
=180°﹣38°﹣14°
=128°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确得出∠3=90°﹣∠1﹣∠2是解题关键．
10．如图，AB＞AC，AD平分∠BAC，且CD=BD．试说明∠B与∠C的大小关系？
【分析】在AB上截取AE=AC，连接DE，证△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到两角的大小关系．
【解答】解：∠B十∠C=180°．
理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD与△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵CD=BD，
∴DE=DB，
∴∠B=∠DEB，
又∵∠DEB+∠AED=180°，
∴∠B+∠C=180°．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质和等腰三角形的性质和角平分线的定义．
11．如图，O是直线AB上的一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）分别指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角
（2）若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数
（3）直接写出∠BOD与∠AOE的数量关系．
【分析】（1）根据互为补角的和等于180°找出即可；
（2）先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义解答；
（3）根据角平分线的定义表示出∠BOD与∠AOE，然后整理即可得解．
【解答】解：（1）∠AOD的补角是∠BOD∠COD，∠BOE的补角是∠AOE和∠COE；
（2）∵∠BOC=68°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣68°=112°，
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=34°，∠COE=56°；
（3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠BOD=
1
2
∠BOC，∠AOE=
1
2
∠AOC，
∴∠BOD+∠AOE=
1
2
（∠BOC+∠AOC）=
1
2
×180°=90°，
∴∠BOD与∠AOE互余．
【点评】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．
12．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将有一30度角的直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（图中∠OMN=30°，∠NOM=90°）
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求t；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；
（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．
【解答】（1）直线ON平分∠AOC；
理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB=60°，
又∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
∴∠BON=30°，
∴∠CON=120°+30°=150°，
∴∠COD=30°，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；
（2）由（1）可知∠BON=30°，∠DON=180°
因此ON旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，
由题意得，6t=60°或240°，
∴t=10或40；
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°．
【点评】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．4.3
角
学习要求：
理解角的概念，掌握角的表示方法，能利用画图工具作一个角，会度量一个角的大小(在角度制下)，能进行简单的计算．理解周角、平角的概念．
会比较两个角的大小，能进行角的运算(和、差、倍、分)．理解角的平分线以及直角、锐角、钝角的概念．
理解一个角的余角和补角的概念，理解方向角的概念，并能解决有关角的计算问题．
知识点一：
角
例题1．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
例题2．下列说法正确的是（ ）
A．平角是一条直线
B．角的边越长，角越大
C．大于直角的角叫做钝角
D．两个锐角的和不一定是钝角
例题3．（2016春?曹县校级月考）下列关于平角和周角的说法正确的是（ ）
A．平角是一条线段
B．周角是一条射线
C．两个锐角的和不一定小于平角
D．反向延长射线OA，就形成一个平角
变式1．下列关于角的说法正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．角的大小与这个角的两边的长短无关
C．延长一个角的两边
D．角的两边是射线，所以角不可度量
变式2．下列关于角的说法正确的个数是（ ）
①角是由两条射线组成的图形；
②角的边越长，角越大；
③在角一边延长线上取一点D；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式3．下列说法正确的是（ ）
A．角的边越长，角度就越大
B．周角就是一条射线
C．一条直线可以看成平角
D．平角的两边可以构成一条直线
知识点二：
角的四种表示法
例题1．下列四个图形中，能同时用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式．（2017春?单县月考）下列角中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
变式1．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．以下给出的四个语句中，结论正确的有（ ）
①如果线段AB=BC，则B是线段AC的中点；
②线段和射线都可看作直线上的一部分；
③大于直角的角是钝角；
④如图，∠ABD也可用∠B表示．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式3．如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAO就是∠DAC
B．∠COB就是∠O
C．∠2就是∠OBC
D．∠CDB就是∠1
变式4．如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可用∠O来表示
C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC
D．∠β表示的是∠BOC
知识点三：
角的度量
例题1．1°等于（ ）
A．10′
B．12′
C．60′
D．100′
变式1．将21.54°用度、分、秒表示为（ ）
A．21°54′
B．21°50′24″
C．21°32′40″
D．21°32′24″
变式2．把8.32°用度、分、秒表示正确的是（ ）
A．8°3′2″
B．8°30′20″
C．8°19′12″
D．8°18′12″
例题2．下面等式成立的是（ ）
A．83.5°=83°50′
B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44°
D．41.25°=41°15′
变式1．下列各式中，正确的角度互化是（ ）
A．63.5°=63°50′
B．23°12′36″=25.48°
C．18°18′18″=3.33°
D．22.25°=22°15′
变式2．下列各式成立的是（ ）
A．62.5°=62°50′
B．31°12′36″=31.21°
C．106°18′18″=106.33°
D．62°24′=62.24°
例题3．计算：
（1）18°13′×5．
（2）27°26′+53°48′．
（3）90°﹣79°18′6″．
变式1.计算
（1）25°34′48″﹣15°26′37″
（2）105°18′48″+35.285°．
变式2．计算：18°20′32″+30°15′22″．
变式4．度、分、秒．
（1）180°﹣46°42′=
；
（2）28°36′+72°24′=
（3）50°24′×3=
；
（4）49°28′52″÷4=
″ ．
知识点四：
角的比较
例题．如图，射线OB、OC将∠AOD分成三部分，下列判断错误的是（ ）
A．如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC=∠BOD
B．如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BOD
C．如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BOD
D．如果∠AOB=∠BOC，那么∠AOC=∠BOD
变式1．如图，如果∠CAE＞∠BAD，那么下列说法中一定正确的是（ ）
A．∠BAC＞∠CAD
B．∠DAE＞∠CAD
C．∠CAE＜∠BAC+∠DAE
D．∠BAC＜∠DAE
变式3．如图，∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠DOB的大小关系是（ ）
A．∠AOC＞∠DOB
B．∠AOC＜∠DOB
C．∠AOC=∠DOB
D．∠AOC与∠DOB无法比较大小
知识点五：
角的和差关系
例题：（1）∠AOC是哪两个角的和？
（2）∠AOB是哪两个角的差？
（3）如果∠AOB=∠DOC，那么∠AOC与∠DOB得关系如何？
变式1．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠DOC=36°，则∠AOB是
度．
变式2．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆在桌面上，若∠AOD=140°，则∠BOC= 40 度．
变式3．如图，∠AOB=90°，∠AOC=2∠BOC，则∠BOC= 30 °．
知识点六：
角平分线
例题1．如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOC=50°，OD平分∠AOC，则∠BOD= 155 度．
例题2．如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOB的度数为 120° ．
变式1．如图，A、O、B三点在一条直线上，∠AOC=2∠COD，OE平分∠BOD，∠COE=77°，则∠COD=
．
变式2．如图，∠AOC=30°35′25″，∠BOC=80°15′28″，OC平分∠AOD，那么∠BOD等于
．
变式3．如图，∠AOD=90°，∠AOB：∠BOC=1：3，OD平分∠BOC，则∠AOC= 度．
变式4．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE别是∠AOB、∠BOD的平分线，若∠AOC=8°，则∠COD=
，∠BOE=
．
知识点七：
余角和补角
例题1．已知∠A=70°，则∠A的余角等于（ ）
A．20°
B．30°
C．70°
D．110°
变式1．如图所示的是一把剪刀，若∠1与∠2互为余角，则∠3等于（ ）
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
变式2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2.下列图形中，∠1与∠2互为补角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.已知∠A=45°，则∠A的补角等于（ ）
A．45°
B．90°
C．135°
D．180°
变式2．一个角的补角是这个角的3倍，则这个角是（ ）度．
A．45
B．60
C．50
D．30
变式3．如图，已知∠AOB=180°，则下列语句中，描述错误的是（ ）
A．点O在直线AB上
B．直线AB与直线OP相交于点O
C．点P在直线AB上
D．∠AOP与∠BOP互为补角
知识点八：
方位角
例题．一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图所示，搜救船位于图中圆心O处，事故船位于距O点40海里的A处，雷达操作员要用方向角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为（ ）
A．事故船在搜救船的北偏东60°方向
B．事故船在搜救船的北偏东30°方向
C．事故船在搜救船的北偏西60°方向
D．事故船在搜救船的南偏东30°方向
变式1．如图，在一次定向越野活动中，“超越”小组准备从目前所在的A
处前往相距2km的B处，则相对于A处来说，B处的位置是（ ）
A．南偏西50°，2km
B．南偏东50°，2km
C．北偏西40°，2km
D．北偏东40°，2km
变式2．如图，下列说法中错误的是（ ）
A．OA方向是北偏东30°
B．OB方向是北偏西15°
C．OC方向是南偏西25°
D．OD方向是东南方向
变式3．M地是海上观测站，从M地发现两艘船A、B的方位如图所示，下列说法中，正确的是（ ）
A．船A在M的南偏东30°方向
B．船A在M的南偏西30°方向
C．船B在M的北偏东40°方向
D．船B在M的北偏东50°方向
拓展点一：
角的识别与表示
例题．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
变式1．如图，下列对图中各个角的表示方法不正确的是（ ）
A．∠A
B．∠1
C．∠C
D．∠ABC
变式2．如图，下面表述不正确的是（ ）
A．∠1可表示为∠DAC
B．∠2可表示为∠BAC
C．∠BAD表示的角是∠1+∠2
D．∠BAD可表示为∠A
拓展点二：
度、分、秒之间的互化和运算
例题1．计算：
（1）用度、分、秒表示48.26°；
（2）用度表示37°24′36″；
（3）42°16′+18°23′×2；
（4）90°﹣19°12′÷6．
例题2．计算：
（1）49°38′+66°22′；（2）180°﹣79°19′；（2）22°16′×5；（4）182°36′÷4．
变式1．计算：
（1）23°36′+66°24′；
（2）180°﹣132°4′；
（3）（43°12′÷2﹣10°5′）×3．
变式2．用度数表示下列各角度：
（1）37°54′；
（2）45°12′；
（3）31°48′；
（4）4°51′．
变式3．计算：
（1）25°36×4；
（2）42°45′÷3．
变式4．计算：
（1）46゜39′+57゜41′=
；
（2）90゜﹣77゜29′32″=
；
（3）31゜17′×5=
；
（4）176゜52′÷3=
．（精确到分）
拓展点三：
三角尺构成的角
例题.借助一副三角尺画出15°，105°，120°，135°的角．
90°+30°=120°，
90°+45°=135°．
变式：下面三角尺拼成的角是多少度？
（2）是利用了三角板上60°角和45°角拼成的一个大角，是60°+45°=105°；
（3）是利用三角板上30°和45°的角拼成的一个大角，是45°+30°=75°．
据此解答即可．
拓展点四：
角的平分线与角的和差计算问题
例题1．如图，直线AB经过点O，OA平分∠COD，OB平分∠MON，若∠AON=150°，∠BOC=120°．
（1）求∠COM的度数；
（2）判断OD与ON的位置关系，并说明理由．
例题2．如图，已知直线AB上一点O，∠AOD=42°，∠BOC=34°，∠DOE=90°，OF平分∠COD，求∠FOD与∠EOB的度数．
变式1．如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=3∠DOE．试求∠COE的度数．
变式2．如图，已知∠AOC=60°，∠BOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度数．
变式3．如图所示，直线AB上有一点O，任意画射线OC，已知OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠DOE的度数．
变式4．如图，已知∠AOB=x°，∠AOC是y°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE．
拓展点五：
利用余角、补角的概念与性质解题
例题1．一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？
变式1．一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？
变式2．一个角的余角比这个角的少30°，请你计算出这个角的大小．
变式3．如果一个角的余角是它的补角的，求这个角的度数．
变式4．如图，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AE与BC交于F点．
（1）找出图中两对互余角：
（2）图中与∠BAD相等的角是
，与∠EAC相等的角是
．请对其中一对相等的角加以说明．
变式5．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；
（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．
变式6．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
变式7．一个角的余角比这个角的少30°，请你计算出这个角的大小．
例题1．如图，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AE与BC交于F点．
（1）找出图中两对互余角：
（2）图中与∠BAD相等的角是
，与∠EAC相等的角是
．请对其中一对相等的角加以说明．
变式1．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；
（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．
变式2．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
拓展点六：
角在实际生活中的应用
例题1．如图，下午2点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）
A．90°
B．120°
C．105°
D．135°
例题2．钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是（ ）
A．65°
B．75°
C．85°
D．90°
变式1．如图，钟表上显示的时间是12：20，此时，时针与分针的夹角是（ ）
A．100°
B．110°
C．115°
D．120°
变式2．在上午9时到10时之间，时钟的分针与时针会重合一次，这次的重合时间是（ ）
A．9：48﹣9：49
B．9：49﹣9：50
C．9：50﹣9：51
D．9：51﹣9：52
变式3．如图，9点整时，时针与分针夹角为90°，则下一次时针与分针夹角为90°时，经过了（ ）分钟．
A．
B．
C．
D．
拓展点七：
探究问题
例题．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN=30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 11或47 （直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．
变式1．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．
例如：当α=30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；
当α=20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA3的位置如图3所示，
其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好与OA2重合．
解决如下问题：
（1）若α=35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是
；
（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；
（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是
，
，
．
（4）（选做题）当OAi所在的射线是∠AiOAk（i，j，k是正整数，且OAj与OAk不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．
变式2．如图，射线OC以∠AOB的边OB为始边进行逆时针旋转，作OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，在射线OC旋转过程中，试探究∠DOE与∠BOC的大小关系．
（1）当∠AOB=90°，∠BOC=60°时，则∠DOE= 45 度．
（2）设∠AOB=90°，∠BOC=n．
①当0＜n＜90°时，在射线OC旋转过程中，∠DOE的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出∠DOE的度数；
②当90°＜n＜360°时，在射线OC旋转过程中，∠DOE的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出∠DOE的度数；
（3）设∠AOB=a，∠BOC=n，其中0＜a＜180°，在射线OC旋转过程中，请直接写出∠DOE的度数（可用含有a，n的代数式表示）
拓展点八：
方程思想在角度计算中的应用
例题．已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE=∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．
变式1．如图，已知∠AOC：∠BOC=1：4，OD平分∠AOB，且∠COD=36°，求∠AOB的度数．
变式2．如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD=15°，求∠AOB的度数．
易错点一：
统计角的个数时，忽略平角的特殊情况
1．如图所示，从O点出发的五条射线，可以组成小于平角的角的个数是（ ）
A．10个
B．9个
C．8个
D．4个
2．如图，从点O出发的五条射线，可以组成（ ）个角．
A．4
B．6
C．8
D．10
易错点二：
没有注意单位的统一
1．若∠P=25°12′，∠Q=25.12°，∠R=25.2°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠P=∠Q
B．∠P=∠R
C．∠Q=∠R
D．∠P=∠Q=∠R
2．已知∠1=27°18′，∠2=27.18°，∠3=27.3°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠1=∠3
B．∠1=∠2
C．∠1＜∠2
D．∠2=∠3
