2019-2020学年陕西省咸阳市高二下学期期末（理科）数学试卷 （Word解析版）

2019-2020学年陕西省咸阳市高二第二学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．＝（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．若，则正整数x的值为（　　）
A．2 B．8 C．2或6 D．2或8
3．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r如表，其中拟合效果最好的模型是（　　）
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
相关系数r 0.48 0.15 0.96 0.30
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
4．设f（x）是可导函数，且，则f'（x0）＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
5．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（X＞2）＝0.3，P（X＜0）＝（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
6．下列求导运算正确的是（　　）
A．（x+）'＝1+
B．
C．（5x）′＝5xlog5x
D．（x2cosx）′＝﹣2xsinx
7．（x﹣）5的展开式中x3的系数为（　　）
A．10 B．﹣10 C．5 D．﹣5
8．抛出4粒骰子（每粒骰子的六个面分别有1～6共六个不同的点数），恰有3粒向上的点数不小于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．如图是函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列说法一定正确的是（　　）
A．x＝x3是函数f（x）的极小值点
B．当x＝x2或x＝x4时，函数f（x）的值为0
C．函数f（x）的图象关于点（0，c）对称
D．函数f（x）在（x4，+∞）上是增函数
10．如图，一行人从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的体育活动中心参加志愿者活动，则这位行人到体育活动中心可以选择的最短路径条数为（　　）
A．24 B．9 C．12 D．18
11．已知f（x）＝﹣6x+1在（﹣1，1）单调递减，则m的取值范围为（　　）
A．[﹣3，3] B．（﹣3，3） C．[﹣5，5] D．（﹣5，5）
12．方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（　　）
A．甲 B．丙 C．戊 D．庚
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．若复数z＝（1+i）（2﹣i），则共轭复数的虚部为　 　．
14．曲线y＝e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程是　 　．
15．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共　 　种．
16．已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，若对任意x∈R，都有f（x）＜1﹣f'（x）成立，且f（0）＝3，则不等式exf（x）﹣ex＞2的解集为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知复数z＝a+（2a﹣3）i，i为虚数单位，a∈R．
（Ⅰ）若z是实数，求实数a的值；
（Ⅱ）若|z|＝，求实数a的值；
（Ⅲ）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数a的取值范围．
18．现在有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；
（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第二次抽到舞蹈节目的概率．
19．已知函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1在x＝﹣1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求函数f（x）的最小值．
20．（请写出式子在写计算结果）
有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：
（1）共有多少种方法？
（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？
（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？
21．病毒属于β属的冠状病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现．基于目前的流行病学调查和研究结果，病毒潜伏期一般为1﹣14天，大多数为3﹣7天．为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少病毒感染对公众健康造成的危害，需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查．某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查，结果统计如表：
发热且咳嗽 发热不咳嗽 咳嗽不发热 不发热也不咳嗽
确诊患者 200 150 80 30
确诊未患者 150 150 120 120
（Ⅰ）填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，以为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关？
发热 不发热 合计
确诊患者


确诊未患者


合计


（Ⅱ）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M抗体检测阳性者）．根据防控要求，无症状感染者虽然还没有最终确诊患新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天．已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离11天未有临床症状，若该人员居家隔离第k天出现临床症状的概率为，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，求该人员在家隔离的天数（含有临床症状表现的当天）ξ的分布列以及数学期望．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
22．已知函数f（x）＝alnx﹣xlna，a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求证：；
（Ⅱ）若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．＝（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：＝．
故选：A．
2．若，则正整数x的值为（　　）
A．2 B．8 C．2或6 D．2或8
【分析】根据题意，由组合数公式分析可得x＝2或x+2＝10，解可得x的值，即可得答案．
解：根据题意，若，则有x＝2或x+2＝10，
即x＝2或8；
故选：D．
3．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r如表，其中拟合效果最好的模型是（　　）
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
相关系数r 0.48 0.15 0.96 0.30
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
【分析】根据线性回归分析中相关系数|r|越接近1，其拟合效果越好，判断即可．
解：在线性回归分析中，相关系数为r，
|r|越接近于1，其相关程度越大；
|r|越小，相关程度也越小；
由模型3的相关系数|r|最大，所以其模拟效果最好．
故选：C．
4．设f（x）是可导函数，且，则f'（x0）＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【分析】根据题意，由导数的定义可得＝f′（x0），即可得答案．
解：根据题意，＝f′（x0）＝2；
故f′（x0）＝2；
故选：A．
5．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（X＞2）＝0.3，P（X＜0）＝（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴方程，再由已知结合对称性求解．
解：∵随机变量X服从正态分布N（1，4），
∴正态分布曲线的对称轴为X＝1，μ＝2，
又P（X＞2）＝0.3，P（X＜0）＝P（X＞2）＝0.3，
故选：B．
6．下列求导运算正确的是（　　）
A．（x+）'＝1+
B．
C．（5x）′＝5xlog5x
D．（x2cosx）′＝﹣2xsinx
【分析】根据基本初等函数、积的导数和商的导数的计算公式进行求导即可．
解：，，（5x）′＝5xln5，（x2cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx．
故选：B．
7．（x﹣）5的展开式中x3的系数为（　　）
A．10 B．﹣10 C．5 D．﹣5
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3求出r的值即可求得结论．
解：的展开式的通项为Tr+1＝（﹣2）rC5rx5﹣2r
令5﹣2r＝3得r＝1，
所以展开式中x3的系数：（﹣2）1?＝﹣10．
故选：B．
8．抛出4粒骰子（每粒骰子的六个面分别有1～6共六个不同的点数），恰有3粒向上的点数不小于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】每粒骰子向上的点数不小于5的概率为，抛出的4粒骰子中（向上的点数不小于5的粒数X～B（4，），由此能求出恰有3粒向上的点数不小于5的概率．
解：每粒骰子向上的点数不小于5的概率为，
抛出的4粒骰子中（向上的点数不小于5的粒数X～B（4，），
恰有3粒向上的点数不小于5的概率为：
P＝，
故选：C．
9．如图是函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列说法一定正确的是（　　）
A．x＝x3是函数f（x）的极小值点
B．当x＝x2或x＝x4时，函数f（x）的值为0
C．函数f（x）的图象关于点（0，c）对称
D．函数f（x）在（x4，+∞）上是增函数
【分析】通过导函数的图象，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性以及函数的极值即可得到选项．
解：由题意可知x∈（﹣∞，x4），f′（x）≤0，
所以函数f（x）是减函数，排除选项A，B，C
当x∈（x4，+∞）时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）是增函数，故选项D正确，
故选：D．
10．如图，一行人从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的体育活动中心参加志愿者活动，则这位行人到体育活动中心可以选择的最短路径条数为（　　）
A．24 B．9 C．12 D．18
【分析】根据题意，分2步进行分析依次分析从E到F和从F到G的最短路径的走法，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分2步进行分析：
①从E到F，最短路径需要3步，向右2步，向上1步，有C32＝3种走法，
②从F到G，最短路径需要4步，向右2步，向上2步，有C42＝6种走法，
则从E先到F处，再到G处的最短路径的走法有3×6＝18种；
故选：D．
11．已知f（x）＝﹣6x+1在（﹣1，1）单调递减，则m的取值范围为（　　）
A．[﹣3，3] B．（﹣3，3） C．[﹣5，5] D．（﹣5，5）
【分析】依题意得，x∈（﹣1，1）时，f′（x）＝x2+mx﹣6≤0恒成立，得到，解之即可．
解：∵f（x）＝﹣6x+1在（﹣1，1）单调递减，
∴当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＝x2+mx﹣6≤0恒成立，
∴，即，
解得：﹣5≤m≤5，
∴m的取值范围为[﹣5，5]．
故选：C．
12．方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（　　）
A．甲 B．丙 C．戊 D．庚
【分析】根据题中给的提示，猜测乙在周几，然后根据其他提示，排除，假设排除，得到结果．
解：因为己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，
所以乙可能在星期一，二，三，五，六，日．
因为乙的夜班比庚早三天，
所以乙可能在星期二，三，
如果乙在星期三，则庚在周六，且丙在周五，庚比丙晚一天，但与甲的夜班比丙晚一天矛盾，
则乙在周二，庚在周五，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若复数z＝（1+i）（2﹣i），则共轭复数的虚部为　﹣1　．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
解：∵z＝（1+i）（2﹣i）＝2﹣i+2i+1＝3+i，
∴，
则共轭复数的虚部为﹣1．
故答案为：﹣1．
14．曲线y＝e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程是　y＝﹣2x+2　．
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．
解：∵y＝e﹣2x+1，
∴f′（x）＝﹣2e﹣2x，
则f′（0）＝﹣2，
即曲线y＝e﹣2x+1在点（0，2）处的切线斜率k＝﹣2，
则对应的切线方程为y﹣2＝﹣2x，
即y＝﹣2x+2，
故答案为：y＝﹣2x+2
15．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共　20　种．
【分析】根据题意，甲乙丙丁购物后依次结账，则依次分析四人的结账方式，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，依次分析四人的结账方式：
对于甲，只会用现金结账，有1种方式，
对于乙，只会用现金和银联卡结账，有2种方式，
对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有3种方式，若乙用银行卡，则丙有2种方式，
对于丁，用哪种结账方式都可以，有4种方式，
则他们结账方式的组合有3×4+2×4＝20种，
故答案为：20
16．已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，若对任意x∈R，都有f（x）＜1﹣f'（x）成立，且f（0）＝3，则不等式exf（x）﹣ex＞2的解集为　（﹣∞，0）　．
【分析】由题意构造函数F（x）＝exf（x）﹣ex﹣2，利用导数可得函数F（x）的单调性，由单调性得答案．
解：exf（x）﹣ex＞2等价于exf（x）﹣ex﹣2＞0，
令F（x）＝exf（x）﹣ex﹣2，
则F′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f（x）＜1﹣f′（x），即f（x）+f′（x）﹣1＜0，且有ex＞0，
∴F′（x）＜0，
故函数F（x）在R上单调递减，
又f（0）＝3，∴F（0）＝e0f（0）﹣e0﹣2＝0，
故F（x）＞0的解集是（﹣∞，0），
故答案为：（﹣∞，0）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知复数z＝a+（2a﹣3）i，i为虚数单位，a∈R．
（Ⅰ）若z是实数，求实数a的值；
（Ⅱ）若|z|＝，求实数a的值；
（Ⅲ）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）直接由虚部等于0求实数a的值；
（Ⅱ）由|z|＝列关于a的方程组求实数a的值；
（Ⅲ）由题意，实部大于0且虚部小于0，联立不等式组求解．
解：（Ⅰ）若z为实数，则2a﹣3＝0，即a＝；
（Ⅱ）|z|＝，
∴5a2﹣12a+4＝0，解得a＝2或a＝；
（Ⅲ）∵z在复平面内对应的点位于第四象限，
∴，即0＜a＜．
18．现在有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；
（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第二次抽到舞蹈节目的概率．
【分析】（1）节目总数6个，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，由此求得第1次抽到舞蹈节目的概率．
（2）根据节目总数6个，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，求得第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率．
（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，这是还有5个节目，其中3个为舞蹈节目，2个为语言类节目，
由此求得第二次抽到舞蹈节目的概率．
解：（1）由题意可得，节目总数6个，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，
第1次抽到舞蹈节目的概率为＝．
（2）由于节目总数6个，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，
故第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率＝．
（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，这是还有5个节目，其中3个为舞蹈节目，2个为语言类节目，
故第二次抽到舞蹈节目的概率为 ．
19．已知函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1在x＝﹣1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求函数f（x）的最小值．
【分析】（1）f（x）在x＝﹣1处取得极值，则f′（﹣1）＝0可求出a 的值；
（2）求出函数在[﹣2，1]上的单调区间，从而得出函数的最小值；
解：（1）f′（x）＝3x2﹣3a，
又函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，则f′（﹣1）＝3﹣3a＝0；
即a＝1，此时f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
所以当a＝1时满足条件；
所以a＝1；
（2）由（1）可知f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，[﹣1，1]单调递减；
所以 当x∈[﹣2，1]时，函数f（x）的最小值是f（﹣2），f（1）中的较小者；
f（﹣2）＝﹣3，f（1）＝﹣3；
故函数f（x）的最小值为﹣3．
20．（请写出式子在写计算结果）
有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：
（1）共有多少种方法？
（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？
（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？
【分析】（1）每个球都有4种方法，故根据分步计数原理可求，
（2）将4个不同的小球全排列即可求出．
（3）由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种，
（2）每个盒子不空，共有A44＝24不同的方法，
（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C42A43＝144种不同的放法．
21．病毒属于β属的冠状病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现．基于目前的流行病学调查和研究结果，病毒潜伏期一般为1﹣14天，大多数为3﹣7天．为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少病毒感染对公众健康造成的危害，需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查．某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查，结果统计如表：
发热且咳嗽 发热不咳嗽 咳嗽不发热 不发热也不咳嗽
确诊患者 200 150 80 30
确诊未患者 150 150 120 120
（Ⅰ）填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，以为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关？
发热 不发热 合计
确诊患者


确诊未患者


合计


（Ⅱ）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M抗体检测阳性者）．根据防控要求，无症状感染者虽然还没有最终确诊患新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天．已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离11天未有临床症状，若该人员居家隔离第k天出现临床症状的概率为，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，求该人员在家隔离的天数（含有临床症状表现的当天）ξ的分布列以及数学期望．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【分析】（Ⅰ）利用已知条件完成的列联表，求出k2，即可判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关．
（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为12，13，14，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望．
解：（Ⅰ）完成的列联表如下：
发热 不发热 合计
确诊患者 350 110 460
确诊未患者 300 240 540
合计 650 350 1000
，
故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关．
（Ⅱ）由题可知，随机变量ξ的可能取值为12，13，14，，，，
∴ξ的分布列为：
ξ 12 13 14
P


数学期望．
22．已知函数f（x）＝alnx﹣xlna，a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求证：；
（Ⅱ）若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）将a＝1代入f（x）中，然后构造函数g（x）＝lnx﹣，求出g（x）的最大值，再证明g（x）的最大值小于0即可；
（Ⅱ）f（x）＝alnx﹣xlna有两个不同的零点，则方程有两个实数根，然后令，根据方程有2个实数根，求出a的取值范围．
解：（Ⅰ）证明：当a＝1时，f（x）＝lnx，定义域为（0，+∞），
令，，
当x＞4时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，
当0＜x＜4时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，
∴当x＝4时，g（x）取得最大值，g（4）＝ln4﹣2＜0，
∴，故．
（Ⅱ）f（x）＝alnx﹣xlna有两个不同的零点，即方程有两个实数根，
令，则，
当x＞e时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当0＜x＜e时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
故当x＝e时，h（x）取得最大值，，
当x→+∞时，h（x）→0+，当x→0+时，h（x）→﹣∞，
∵方程有2个实数根，∴，
∵a＞0，∴lna＞0，得a＞1，
由，可得a≠e，
结合的图象可得a＞1且a≠e，
故a的取值范围为（1，e）∪（e，+∞）．