新教材数学第一册
集合的概念（精讲）
1．集合的概念
(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
[知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．
2．元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a?A
a不属于集合A
[知识点拨] 符号“∈”和“?”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
3．集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：
名称
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的
一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
1．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是(
)
A．0∈A
B．aA
C．a∈A
D．a＝A
【答案】C
【解析】集合，.故选：C.
2．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体.其中能构成集合的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解析】①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准；②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准；③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依.
故选：A
3．集合用列举法表示是
A．{1，2，3，4}
B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5}
D．{0，1，2，3，4}
【答案】D
【解析】由题意，又，∴集合为．
4．已知集合，则集合中元素的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】，所以集合中元素的个数为3.故选：D.
5．若一个集合中的三个元素是的三边长，则一定不是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【解析】由集合的性质互异性可知：，所以一定不是等腰三角形.故选：D.
典型题型与解题方法
重要考点一：集合的基本概念
【典型例题】下列各组对象能构成集合的有：①平面内到点O(坐标原点)的距离等于1的点；②的近似值；③高一年级中年龄比较大的学生；④1，2，3，1．
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【答案】B
【解析】①由平面几何的知识可知，平面内到点O(坐标原点)的距离等于1的点在以点O(坐标原点)为圆心、1为半径的圆上，显然满足集合中元素的确定性，所以这些点的整体构成一个集合——以点O(坐标原点)为圆心、1为半径的圆；
②“的近似值”是一个模糊的概念，没有一个明确的衡量标准，因此很难判断一个数是否是它的近似值，所以其不能构成一个集合；
③“年龄比较大”是一个模糊的概念，没有一个明确的衡量标准，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；
④中的对象是确定的，可以构成集合，需注意集合中元素的互异性，构成的集合为{1，2，3}．
【题型强化】下列对象能构成集合的是（
）
A．高一年级全体较胖的学生
B．
C．全体很大的自然数
D．平面内到
三个顶点距离相等的所有点
【答案】D
【解析】对于，高一年级较胖的学生，因为较胖学生不确定，所以不满足集合元素的确定性，故错误；
对于,由于如,不满足集合元素的互异性，故错误；
对于，全体很大的自然数，因为很大的自然数不确定，所以不满足集合元素的确定性，故猎误；
对于，平面内到三个顶点距离相等的所有点，可知这个点就是外接圆的圆心，满足集合的定义，
正确，故选D.
【收官验收】下列集合表示正确的是(
)
A．
B．
C．
D．{高个子男生}
【答案】A
【解析】选项A:符合集合的表示方法，符合集合的三性，本选项是正确的；
选项B:不符合集合元素的互异性，有二个4，故本选项是错误的；
选项C:集合用大括号把集合的元素括起来，而不是小括号，故本选项是错误的；
选项D:不符合集合的确定性，因为不知道高个子男生的标准是什么，没法确定，故本选项是错误的，故本题选A.
【名师点睛】
1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
重要考点二：元素和集合的关系
【典型例题】下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，对于A中，是无理数，所以不正确；
对于B中，，所以不正确；
对于C中，不是自然数，所以不正确；故选D.
【题型强化】已知集合，则中元素的个数为
A．9
B．8
C．5
D．4
【答案】A
【解析】，当时，；
当时，；当时，；所以共有9个，选A.
【收官验收】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】根据题意，分4种情况讨论；
①、全部为负数时，则也为负数，则
②、中有一个为负数时，则为负数，则
③、中有两个为负数时，则为正数，则
④、全部为正数时，则也正数，则
则；分析选项可得符合．故选：．
【名师点睛】
1．对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．
2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
重要考点三：用列举法表示集合
【典型例题】方程组的解构成的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为方程组解方程可得表示成集合形式为故选:B
【题型强化】用列举法表示集合＝________．
【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.
【解析】，为的因数则
则答案为
【收官验收】用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数集；
（2）自然数中不大于10的质数集；
（3）方程x2+2x–15=0的解．
【答案】（1）集合{x|x为不大于10的非负偶数}用列举法表示为{0，2，4，6，8，10}．
（2）自然数中不大于10的质数集为{2，3，5，7}；
（3）方程x2+2x–15=0的解集为{–5，3}．
【解析】（1）集合{x|x为不大于10的非负偶数}用列举法表示为{0，2，4，6，8，10}．
（2）自然数中不大于10的质数集为{2，3，5，7}；
（3）方程x2+2x–15=0的解集为{–5，3}．
【名师点睛】
1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
重要考点四：用描述法表示集合
【典型例题】集合是指（
）
A．第二象限内的所有点
B．第四象限内的所有点
C．第二象限和第四象限内的所有点
D．不在第一、第三象限内的所有点
【答案】D
【解析】因为，故或，故集合是指第二、四象限中的点，以及在轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.
故选：D
【题型强化】平面直角坐标系中纵轴上的点的坐标组成的集合为________．
【答案】
【解析】
因为平面直角坐标系中纵轴上的点的横坐标都为0，纵坐标可以为任意实数，
所以平面直角坐标系中纵轴上的点的坐标组成的集合为.
故答案为：.
【收官验收】用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
【答案】①；
②；③.
【解析】①偶数可用表示，当x为正偶数时，，所以正偶数集可表示为.
②设被3除余2的数为x，则，但元素为正整数，故，所以被3除余2的正整数集合可表示为.
③坐标轴上的点的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即，故坐标轴上的点的集合可表示为.
【名师点睛】
1．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示．
2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R.
重要考点五：忽略集合中元素的互异性
【典型例题】若，则a=（
）
A．
B．0
C．1
D．0或1
【答案】C
【解析】因为，所以有或.
当时，解得或，当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去，所以.
当时，解得，由上可知舍去，综上：.故选：C
【题型强化】已知，且，则实数的取值集合是______．
【答案】
【解析】当时，，由集合元素互异性知，不合题意
当时，，满足题意当时，或或（舍）
综上所述：实数的取值集合是：
【收官验收】设集合，，，求的值．
【答案】
【解析】∵，∴．∵，∴或，
或.①当时，，满足；
②当时，与集合元素的互异性矛盾，故舍去．
综上，．
【名师点睛】
在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．
重要考点六：解决集合的新定义问题的基本方法
【典型例题】定义集合运算：，设集合
，，则集合
的所有元素个数为（
）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【解析】当时，；当时，；
当时，；当时，.
所以集合
的共有3个元素.故选：
【题型强化】已知：集合，定义集合运算※，则
※=
【答案】
【解析】由题意知，集合，则可取的值为:，故的值为；
则※=.故答案为.
【收官验收】已知集合且．定义集合，求集合．
【答案】
【解析】根据题意可知，由，可知，．
当，时，；当，时，；
当，时，．根据集合中元素的互异性，得．
【名师点睛】
集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．
解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．新教材数学第一册
集合的概念（精讲）
知识点课前预习与精讲精析
1．集合的概念
(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
[知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．
2．元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a?A
a不属于集合A
[知识点拨] 符号“∈”和“?”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
3．集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：
名称
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的
一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
1．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是(
)
A．0∈A
B．aA
C．a∈A
D．a＝A
2．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体.其中能构成集合的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．集合用列举法表示是
A．{1，2，3，4}
B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5}
D．{0，1，2，3，4}
4．已知集合，则集合中元素的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．若一个集合中的三个元素是的三边长，则一定不是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
典型题型与解题方法
重要考点一：集合的基本概念
【典型例题】下列各组对象能构成集合的有：①平面内到点O(坐标原点)的距离等于1的点；②的近似值；③高一年级中年龄比较大的学生；④1，2，3，1．
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【题型强化】下列对象能构成集合的是（
）
A．高一年级全体较胖的学生
B．
C．全体很大的自然数
D．平面内到
三个顶点距离相等的所有点
【收官验收】下列集合表示正确的是(
)
A．
B．
C．
D．{高个子男生}
【名师点睛】
1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
重要考点二：元素和集合的关系
【典型例题】下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【题型强化】已知集合，则中元素的个数为
A．9
B．8
C．5
D．4
【收官验收】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【名师点睛】
1．对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．
2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
重要考点三：用列举法表示集合
【典型例题】方程组的解构成的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【题型强化】用列举法表示集合＝________．
【收官验收】用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数集；
（2）自然数中不大于10的质数集；
（3）方程x2+2x–15=0的解．
【名师点睛】
1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
重要考点四：用描述法表示集合
【典型例题】集合是指（
）
A．第二象限内的所有点
B．第四象限内的所有点
C．第二象限和第四象限内的所有点
D．不在第一、第三象限内的所有点
【题型强化】平面直角坐标系中纵轴上的点的坐标组成的集合为________．
【收官验收】用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
【名师点睛】
1．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示．
2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R.
重要考点五：忽略集合中元素的互异性
【典型例题】若，则a=（
）
A．
B．0
C．1
D．0或1
【题型强化】已知，且，则实数的取值集合是______．
【收官验收】设集合，，，求的值．
【名师点睛】
在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．
重要考点六：解决集合的新定义问题的基本方法
【典型例题】定义集合运算：，设集合
，，则集合
的所有元素个数为（
）
A．
B．
C．4
D．
【题型强化】已知：集合，定义集合运算※，则
※=
【收官验收】已知集合且．定义集合，求集合．
【名师点睛】
集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．
解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．
