课时分层作业(三十二) 同角三角函数关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若sin
θ＝－，tan
θ＜0，则cos
θ＝( )
A．
B．
C．－
D．或－
B [∵sin
θ＝－＜0，tan
θ＜0．
∴θ为第四象限角，
∴cos
θ＝＝．]
2．(1＋tan2α)·cos2α＝( )
A．1
B．1＋sin2α
C．tan2α
D．1＋cos2α
A [原式＝·cos2α
＝cos2α＋sin2α＝1．]
3．已知sin
α＝，则sin4α－cos4α＝( )
A．
B．－
C．
D．－
D [∵sin
α＝，
∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)
＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝2×－1
＝－．]
4．已知α是第二象限角，tan
α＝－，则cos
α＝( )
A．－
B．－
C．－
D．－
C [∵tan
α＝＝－，∴cos
α＝－2sin
α．
又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1，
又α为第二象限角，∴cos
α＜0，
∴cos
α＝－．]
5．已知＝5，则sin2α－sin
αcos
α＝( )
A．
B．－
C．
D．－
A [由题意知cos
α≠0，则由＝5，得＝5，即tan
α＝2．所以sin2α－sin
αcos
α＝＝＝．]
二、填空题
6．已知α是第三象限角，化简：
－
＝ ．
－2tan
α [原式＝－
＝
－
＝－．
∵α是第三象限角，∴cos
α＜0．
∴原式＝－＝－2tan
α．]
7．若sin
α＋cos
α＝，则tan
α＋的值为 ．
2 [tan
α＋＝＋＝．
又sin
α＋cos
α＝，
∴sin
αcos
α＝，
∴tan
α＋＝2．]
8．已知0<α<π，sin
αcos
α＝－，则sin
α－cos
α的值等于 ．
[∵sin
αcos
α<0,0<α<π，
∴sin
α>0，cos
α<0，∴sin
α－cos
α>0，
∵(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，
∴sin
α－cos
α＝．]
三、解答题
9．已知＝，α∈．
(1)求tan
α的值；
(2)求的值．
[解] (1)由＝，
得3tan2α－2tan
α－1＝0，
即(3tan
α＋1)(tan
α－1)＝0，
解得tan
α＝－或tan
α＝1．
因为α∈，所以tan
α<0，
所以tan
α＝－．
(2)由(1)，得tan
α＝－，所以＝＝＝．
10．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1．
[证明] 因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以＋1＝2，所以＝，
所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1．
1．若sin
θ＝，cos
θ＝，θ是第四象限的角，则m的值为( )
A．0
B．8
C．0或8
D．3A [由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1，解得m＝0或m＝8．当m＝0时，sin
θ＝－，cos
θ＝，此时θ是第四象限的角；当m＝8时，sin
θ＝，cos
θ＝－，此时θ是第二象限的角，不符合题意，故选A．]
2．已知sin
α，cos
α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为( )
A．
B．
C．－
D．－
C [由Δ≥0知，a≤．
又
由①式两边平方得：sin
αcos
α＝－，
所以＝－，所以a＝－．]
3．若角α的终边在直线x＋my＝0(m>0)上，则＋＝ ．
0 [∵＋＝＋．
又角α的终边落在x＋my＝0(m>0)上，故角α的终边在第二、四象限．
当α在第二象限时，sin
α>0,
cos
α<0，原式＝＋＝0；
当α在第四象限时，sin
α<0,
cos
α>0，原式＝＋＝0．]
4．已知0<α<，若cos
α－sin
α＝－，则的值为 ．
[因为cos
α－sin
α＝－，
①
所以1－2sin
αcos
α＝，
即2sin
αcos
α＝．所以(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝1＋＝．
又0<α<，所以sin
α＋cos
α>0．
所以sin
α＋cos
α＝．
②
由①②得sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝2，
所以＝．]
5．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin
θ和cos
θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值；
(2)＋的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
[解] (1)由根与系数的关系可知，
sin
θ＋cos
θ＝，
①
sin
θ·cos
θ＝m．
②
将①式平方得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θcos
θ＝，代入②得m＝．
(2)＋＝＋＝＝sin
θ＋cos
θ＝．
(3)因为已求得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝．
所以或
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或θ＝．
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