课时分层作业(三十一) 任意角的三角函数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则角α的终边所在象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [由P(tan
α，cos
α)在第三象限可知tan
α<0，cos
α<0．
由tan
α<0得，角α的终边在第二或第四象限，
由cos
α<0得，角α的终边在第二或第三象限或x轴的负半轴．
故角α的终边在第二象限．]
2．若角α的终边落在y＝－x上，则tan
α的值为( )
A．－1
B．1
C．－1或1
D．不能确定
A [设P(a，－a)是角α上任意一点，
若a>0，P点在第四象限，tan
α＝＝－1，
若a<0，P点在第二象限，tan
α＝＝－1．]
3．已知cos
α＞cos
β，那么下列结论成立的是( )
A．若α，β是第一象限角，则sin
α＞sin
β
B．若α，β是第二象限角，则tan
α＞tan
β
C．若α，β是第三象限角，则sin
α＞sin
β
D．若α，β是第四象限角，则tan
α＞tan
β
D [由图(1)可知，cos
α＞cos
β时，sin
α＜sin
β，A错误；由图(2)可知，cos
α＞cos
β时，tan
α＜tan
β，B错误；由图(3)可知，cos
α＞cos
β时，sin
α＜sin
β，C错误；由图(4)可知，cos
α＞cos
β时，tan
α＞tan
β，D正确．
]
4．在△ABC中，若sin
A·cos
B·tan
C＜0，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
A [∵A，B，C是△ABC的内角，∴sin
A＞0．
∵sin
A·cos
B·tan
C＜0，∴cos
B·tan
C＜0，
∴cos
B和tan
C中必有一个小于0，
即B，C中必有一个钝角，
故△ABC是钝角三角形．]
5．点P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [∵π＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设MP，OM分别为a，b．
sin
3＝a＞0，cos
3＝b＜0，
所以sin
3－cos
3＞0．
因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，
所以sin
3＋cos
3＝a＋b＜0．
故点P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)在第四象限．]
二、填空题
6．已知角α为第二象限角，则化简的结果为 ．
sin
α－cos
α [因为角α为第二象限角，故sin
α>0，cos
α<0，因此＝|sin
α－cos
α|＝sin
α－cos
α．]
7．sin
，cos
，tan
按从小到大的顺序排列是
．
cos
[由图可知：
cos
<0，tan
>0，
sin
>0．
∵MP．
故cos
．]
8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin
α＞0，cos
α≤0，则a的取值范围是 ．
(－2,3] [因为cos
α≤0，sin
α＞0，所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上．
因为α的终边过点(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3．]
三、解答题
9．判断下列各式的符号：
(1)sin
340°cos
265°；
(2)(θ为第二象限角)．
[解] (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin
340°＜0，cos
265°＜0，
∴sin
340°cos
265°＞0．
(2)∵θ为第二象限角，
∴0＜sin
θ＜1＜，－＜－1＜cos
θ＜0，
∴sin(cos
θ)＜0，cos(sin
θ)＞0，∴＜0．
10．已知＝－，且lg
cos
α有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin
α的值．
[解] (1)由＝－可知sin
α＜0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lg
cos
α有意义可知cos
α＞0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角．
综上可知角α是第四象限的角．
(2)∵|OM|＝1，∴＋m2＝1，解得m＝±．
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－．
由正弦函数的定义可知sin
α＝＝＝＝－．
1．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A．
B．
C．
D．
C [因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan
θ＝＝－，
又θ∈，所以θ＝．]
2．若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( )
A．sin
B．cos
C．tan
D．cos
2α
C [由α为第四象限角，得2kπ＋＜α＜2kπ＋2π(k∈Z)，故kπ＋＜＜kπ＋π(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，∈，
此时，是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，∈，此时，是第四象限角．
故无论终边落在第二还是第四象限，tan
＜0恒成立．
又4kπ＋3π＜2α＜4kπ＋4π(k∈Z)．
故cos
2α有可能为正也有可能为负．]
3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos
α＝ ．
－ [因为点A纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以点A横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos
α＝－．]
4．若0<α<2π，且sin
α<，cos
α>．利用三角函数线，得到α的取值范围是 ．
∪ [利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是∪．]
5．已知直线y＝x与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，
点A在x轴的上方，O是坐标原点．
(1)求以射线OA为终边的角α的正弦值和余弦值；
(2)求以射线OB为终边的角β的正切值．
[解] (1)由
得或
∵点A在x轴上方，
∴点A，B的坐标分别为，．
∴sin
α＝，cos
α＝．
(2)由(1)得tan
β＝＝1．
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