课时分层作业(三十三) 三角函数的诱导公式(一～四)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．sin
600°＋tan
240°的值是( )
A．－
B．
C．－
D．
D [sin
600°＋tan
240°＝sin(360°＋180°＋60°)＋tan(180°＋60°)＝－sin
60°＋tan
60°＝－＋＝．]
2．已知α为第二象限角，且sin
α＝，则tan(π＋α)＝( )
A．－
B．
C．－
D．
A [因为α为第二象限角，所以cos
α＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))))＝－，所以tan(π＋α)＝tan
α＝＝－．]
3．已知sin＝，则sin＝( )
A．
B．－
C．
D．－
C [sin＝sin
＝sin＝．]
4．tan
300°＋sin
450°＝( )
A．－1－
B．1－
C．－1＋
D．1＋
B [tan
300°＋sin
450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝tan(－60°)＋sin
90°＝－tan
60°＋sin
90°＝1－．]
5．已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin
αcos
α的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
C [∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，
即sin
α－3cos
α＝0，∴tan
α＝3，
∴sin
αcos
α＝＝＝．]
二、填空题
6．＝ ．
sin
2－cos
2 [
＝＝|sin
2－cos
2|，
∵<2<π，∴sin
2>0，cos
2<0，
∴原式＝sin
2－cos
2．]
7．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2
020)＝5，则f(2
021)等于 ．
－5 [∵f(2
020)＝asin(2
020π＋α)＋bcos(2
020π＋β)＝asin
α＋bcos
β＝5，
∴asin
α＋bcos
β＝5．
∴f(2
021)＝－asin
α－bcos
β＝－5．]
8．若cos
100°＝k，则tan
80°的值为 ．
－ [cos
80°＝－cos
100°＝－k，且k＜0．于是sin
80°＝＝，从而tan
80°＝－．]
三、解答题
9．若cos(α－π)＝－，
求的值．
[解] 原式＝
＝＝
＝－tan
α．
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos
α＝－，
∴cos
α＝，∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos
α＝，sin
α＝＝，
∴tan
α＝＝，∴原式＝－．
当α为第四象限角时，cos
α＝，
sin
α＝－＝－，
∴tan
α＝＝－，∴原式＝．
综上，原式＝±．
10．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
[解] 由＝3＋2，
得(4＋2)tan
θ＝2＋2，
所以tan
θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·
＝(cos2θ＋sin
θcos
θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan
θ＋2tan2θ＝1＋＋2×＝2＋．
1．
(多选题)下列各式中正确的是( )
A．若角α和β的终边关于x轴对称，sin
α＝sin
β
B．若角α和β的终边关于y轴对称，
cos
α＝cos
β
C．若角α和β的终边关于原点对称，tan
α＝tan
β
D．若角α和β的终边相同，
cos(π＋α)＝cos
(π－β)
CD [由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故sin
α＝－sin
β，所以A错误；
角α和β的终边关于y轴对称，可知β＝π－α＋2kπ(k∈Z)，cos
α＝－cos
β，所以B错误；
角α和β的终边关于原点对称，
可知β＝π＋α＋2kπ(k∈Z)，tan
α＝tan
β，
所以C正确；
角α和β的终边相同，
可知β＝α＋2kπ(k∈Z)，所以cos
α＝cos
β，
又cos(π＋α)＝－cos
α，cos
(π－β)＝
－cos
β，所以cos(π＋α)＝cos
(π－β)，所以D正确．故选CD．]
2．已知f(x)＝则f＋f的值为( )
A．－2
B．2
C．－3
D．3
A [因为f＝sin＝sin
＝sin
＝，
f＝f－1＝f－2＝sin－2
＝－－2＝－．
所以f＋f＝－2．]
3．
cos
1°＋cos
2°＋cos
3°＋…＋cos
180°＝ ．
－1 [∵cos(π－θ)＝－cos
θ，∴cos
θ＋cos(π－θ)＝0，
即cos
1°＋cos
179°＝cos
2°＋cos
178°＝…＝cos
90°＝0．
∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos
180°＝－1．]
4．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－，则tan
α＝ ．
－ [cos(－α)－sin(－α)＝cos
α＋sin
α＝－，
①
∴(cos
α＋sin
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝，
∴2sin
αcos
α＝－<0，
又∵sin
α>0，∴cos
α<0，
∴(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，
∴sin
α－cos
α＝，
②
由①②得sin
α＝，cos
α＝－，
∴tan
α＝－．]
5．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos
A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
[解] 由已知得
由①2＋②2，得2cos2A＝1，∴cos
A＝±．
当cos
A＝时，cos
B＝．
又A，B是三角形的内角，∴A＝，B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝．
当cos
A＝－时，cos
B＝－．
又A，B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，A＋B>π，不符合题意．
综上可知，A＝，B＝，C＝．
1课时分层作业(三十四) 三角函数的诱导公式(五～六)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如果cos
α＝，且α是第四象限角，那么cos＝( )
A．
B．－
C．
D．－
C [由已知得，sin
α＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))))＝－，
所以cos＝－sin
α＝－＝．]
2．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89
B．90
C．
D．45
C [∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝．故选C．]
3．已知cos(75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝( )
A．
B．－
C．
D．－
D [因为cos(75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，
所以sin(75°＋α)＝－，
故cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－．]
4．已知cos
31°＝m，则sin
239°tan
149°的值是( )
A．
B．
C．－
D．－
B [sin
239°tan
149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin
59°(－tan
31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan
31°)
＝－cos
31°·(－tan
31°)＝sin
31°
＝＝．]
5．若f(sin
x)＝3－cos
2x，则f(cos
30°)＝( )
A．
B．
C．
D．
B [f(cos
30°)＝f(sin
60°)＝3－cos
120°＝3＋cos
60°＝或f(cos
30°)＝f(sin
120°)＝3－cos
240°＝3－cos
120°＝．]
二、填空题
6．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．
1 [∵(A＋45°)＋(45°－A)＝90°，
∴sin(45°－A)＝cos(45°＋A)，
∴sin2(A－45°)＝sin2(45°－A)＝cos2(45°＋A)，
∴sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)＝1．]
7．已知tan
θ＝2，则＝________．
－2 [＝
＝＝＝＝－2．]
8．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos
A＝－cos(π－B)，则C＝________．
[由已知得cos
A＝3sin
A，∴tan
A＝，
又∵A∈(0，π)，∴A＝．
又cos
A＝－(－cos
B)＝cos
B，
由cos
A＝知cos
B＝，∴B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝．]
三、解答题
9．已知cos＝2sin，
求的值．
[解] ∵cos＝2sin，
∴－sin
α＝－2cos
α，∴tan
α＝2，
∴
＝
＝＝
＝＝
＝＝＝－．
10．是否存在这样的△ABC,
使等式sin
(2π－A)－cos
＝0，cos
(3π＋B)＋sin
(＋A)＝0同时成立？若存在，求出A，B的值；若不存在，请说明理由．
[解] 假设存在这样的△ABC满足条件．
由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2A＋3cos2A＝2．
所以sin2A＝，因为A∈(0，π)，所以sin
A＝．
由②知A，B只能为锐角，
所以A＝．由②式知cos
B＝，又B∈(0，π)，所以B＝．
所以存在这样的△ABC，A＝，B＝满足条件．
1．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin
2，－2cos
2)，则α等于( )
A．2
B．－2
C．2－
D．－2
C [由条件可知点P到原点的距离为2，所以P(2cos
α，2sin
α)，所以根据诱导公式及α为锐角可知，所以α＝2－．故选C．
]
2．已知cos＝－，α是第二象限角，则sin＝( )
A．－
B．
C．－
D．
C [∵cos＝－sin
α＝－，∴sin
α＝．
又α是第二象限角，∴cos
α＝－，
∴sin＝sin＝sin
＝cos
α＝－．]
3．已知sin
α＋cos
α＝－，则tan＋的值为_______．
－2 [因为sin
α＋cos
α＝－，所以(sin
α＋cos
α)2＝2，所以sin
αcos
α＝．
所以tan＋＝＋＝＋
＝－－＝－＝－2．]
4．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝－cos与cos(－α)＝－sin同时成立？
[解] 存在．所需成立的两个等式可化为sin
α＝sin
β，cos
α＝cos
β，
两式两边分别平方相加得：
sin2α＋3cos2α＝2，
得2cos2α＝1，所以cos2α＝．
又因为α∈，所以α＝或－．
当α＝时，由cos
α＝cos
β，得cos
β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝；
当α＝－时，由sin
α＝sin
β，得sin
β＝－，
而β∈(0，π)，所以无解．
综上得，存在α＝，β＝使两等式同时成立．
1
