课时分层作业(三十五) 三角函数的周期性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
2x
C．y＝cos
D．y＝tan(－4x)
D [A项，T＝＝4π；B项，T＝＝π；
C项，T＝＝8π；D项，T＝＝．]
2．下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中不是周期函数的是( )
D [根据周期函数图象特征可知A、B、C都是周期函数，D不是周期函数．]
3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
B [∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1．]
4．函数y＝sin的周期不大于4，则正整数k的最小值为( )
A．2 B．3
C．4
D．5
C [由T＝得T＝＝．
∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，
∴正整数k的最小值为4．]
5．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin
x；当x∈时，f(x)＝cos
x，则f＝( )
A．－
B．
C．
D．－
A [∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos
x，
∴f＝f＝f＝cos
＝cos＝－cos
＝－．]
二、填空题
6．对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为________．
2(答案不唯一) [由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2．]
7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
6 [T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，又ω∈N
，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6．]
8．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2
020)＝________．
2 [∵f(x＋3)＝，
∴f(x＋6)＝＝f(x)，∴f(x)的周期T＝6，
∴f(2
020)＝f(336×6＋4)＝f(4)．
又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，
∴f(2
020)＝2．]
三、解答题
9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．
(1)求f(4)的值；
(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．
[解] (1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0．
(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，
∴f(－4＋x)＝sin＋1＝sinx＋1，
∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1．
10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11
s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
[解] (1)从题图可以看出，单摆运动的周期是0．4
s．
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0．2＋0．4×27，所以小球经过11
s相对于静止位置的位移是0
cm．
1．已知函数f(x)＝sin
，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2
021)＝( )
A．
B．－
C．
－
D．0
D [f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin
＋sin
＋sin
π＋sin
＋sin
＋sin
2π＝0．
原式＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2)
＋f(3)＋f(4)
＋f(5)＝0．故选D．]
2．设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sin
α的值为( )
A．
B．或－
C．
D．或－
D [∵f(x)的最小正周期为，ω>0，∴ω＝＝4．
∴f(x)＝3sin．
由f＝3sin＝3cos
α＝，
∴cos
α＝．
∴sin
α＝±＝±．]
3．函数y＝2cos(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________．
－ [由周期公式可知4π＝?|ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－．]
4．欲使函数y＝Asin
ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值
，则ω的最小值为________．
[函数y＝Asin
ωx的最小正周期为，因为在每一个周期内，
函数y＝Asin
ωx(A>0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y＝Asin
ωx在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y在区间[0,1]内至少含49个周期，即解得ω≥，所以ω的最小值为．]
5．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
[解] (1)证明：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－
＝－＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是f(x)的一个周期，
∴f(5)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
＝－＝－＝．
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