集合间的基本关系（精讲）
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知识点课前预习与精讲精析
1．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
[知识点拨] (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．
(2)不能把“A?B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．
(4)对于集合A，B，C，若A?B，B?C，则A?C；任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若A?B，且A≠B，则AB．
3．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为?.
(2)规定：空集是任何集合的子集．
4．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A．
(2)对于集合A，B，C，
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若A?B，B?C，则A?C．
(3)若A?B，A≠B，则AB．
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．且，则（
)
A．2
B．2或-2
C．0或2
D．0或2或-2
3．满足2，的集合A的个数是
A．2
B．3
C．4
D．8
4．已知集合，，若，则实数a的值为（
）
A．或
B．或
C．或或0
D．或或0
5．集合{x,y}的子集个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
典型题型与解题方法
重要考点一：集合间关系的判定
【典型例题】已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则
A．
B．
C．
D．
【题型强化】设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【收官验收】已知集合，，则集合A，B之间的关系为________．
【名师点睛】判断集合关系的方法有三种：
(1)一一列举观察．
(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A?B；②若q(x)推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．
重要考点二：有限集合的子集确定问题
【典型例题】已知集合，则集合A的子集的个数为（
）
A．16
B．15
C．8
D．7
【题型强化】已知集合，则的真子集共有（
）个
A．3
B．4
C．6
D．7
【收官验收】集合的真子集的个数是
．
【名师点睛】1．求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
重要考点三：由集合间的关系求参数的值和范围
【典型例题】已知集合，若，则实数的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【题型强化】集合，若，则a的取值范围为________.
【收官验收】已知集合，，.是否存在a，使？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
【名师点睛】(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
(2)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；
(3)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．
重要考点四：误解集合间的关系而致错
【典型例题】已知集合，，若，则等于（
）
A．或3
B．0或
C．3
D．
【题型强化】设，，，则A，B的关系是________.
【收官验收】已知集合，，则集合与集合的关系是__________．
【名师点睛】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等、不等关系，但有时也可能为属于关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两集合中元素之间的关系是什么．
重要考点五：分类讨论思想的应用
【典型例题】集合，，若，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【题型强化】已知集合，，求满足的实数的取值范围.
【收官验收】已知集合，是否存在实数a，使得.若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【名师点睛】分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．
1．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．集合间的基本关系（精讲）
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知识点课前预习与精讲精析
1．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
[知识点拨] (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．
(2)不能把“A?B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．
(4)对于集合A，B，C，若A?B，B?C，则A?C；任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若A?B，且A≠B，则AB．
3．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为?.
(2)规定：空集是任何集合的子集．
4．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A．
(2)对于集合A，B，C，
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若A?B，B?C，则A?C．
(3)若A?B，A≠B，则AB．
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为，解不等式得，且，
所以，，.
故选：B.
2．且，则（
)
A．2
B．2或-2
C．0或2
D．0或2或-2
【答案】D
【解析】
根据已知条件，或或
时不满足集合元素的互异性，应舍去，
或
故答案选
3．满足2，的集合A的个数是
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】C
【解析】
由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个．
故选C．
4．已知集合，，若，则实数a的值为（
）
A．或
B．或
C．或或0
D．或或0
【答案】D
【解析】
由题意知，.当时，，满足；当时，的解为，由，可得或，或.
故选：D
5．集合{x,y}的子集个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
集合的子集有,共有4个
故选
典型题型与解题方法
重要考点一：集合间关系的判定
【典型例题】已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D?A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B?A，C?A，正方形是矩形，所以C?B．
故选B．
【题型强化】设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A?B．故选D．
【收官验收】已知集合，，则集合A，B之间的关系为________．
【答案】A=B
【解析】
对于集合A，k=2n时，
，
当k=2n-1时，
即集合A=
,由B=
可知A=B，故填：A=B.
【名师点睛】判断集合关系的方法有三种：
(1)一一列举观察．
(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A?B；②若q(x)推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．
重要考点二：有限集合的子集确定问题
【典型例题】已知集合，则集合A的子集的个数为（
）
A．16
B．15
C．8
D．7
【答案】C
【解析】
集合中包含3个元素????∴集合的子集个数为：个
故选：C
【题型强化】已知集合，则的真子集共有（
）个
A．3
B．4
C．6
D．7
【答案】D
【解析】
因为，
所以其真子集个数为.
故选：D.
【收官验收】集合的真子集的个数是
．
【答案】
【解析】
，真子集个数，所以答案应填：3．
【名师点睛】1．求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
重要考点三：由集合间的关系求参数的值和范围
【典型例题】已知集合，若，则实数的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
已知：，
，
因为，
所以或或，
所以实数的取值集合为.
故选：B
【题型强化】集合，若，则a的取值范围为________.
【答案】.
【解析】
∵，∴a在数轴上的对应点位于6所对应点的右侧或为6所对应的点，
∴a的取值范围是.
故答案为：
【收官验收】已知集合，，.是否存在a，使？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】存在，.
【解析】
存在,假设存在这样的a值,由于且,即,.
而且,
∴当时,；当时,；当时,.
若,要使,则,即,矛盾.
同理当时,也不存在a的值.而时,要使,则有,即,.
故存在,使得.
【名师点睛】(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
(2)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；
(3)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．
重要考点四：误解集合间的关系而致错
【典型例题】已知集合，，若，则等于（
）
A．或3
B．0或
C．3
D．
【答案】C
【解析】
由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.
故选C.
【题型强化】设，，，则A，B的关系是________.
【答案】
【解析】
由集合可得集合A中元素代表直线上所有的点，
由，∵可化为，可得集合B中元素代表上除去点的两条射线，则可得集合B是集合A的真子集，即BA.
故答案为：BA.
【收官验收】已知集合，，则集合与集合的关系是__________．
【答案】
【解析】
解：根据题意，对集合分类讨论可得：
①时，或1，或；
②时，无论取何值，都有；
③时，或0，或0．
综上知，
则有；
故答案为：．
【名师点睛】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等、不等关系，但有时也可能为属于关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两集合中元素之间的关系是什么．
重要考点五：分类讨论思想的应用
【典型例题】集合，，若，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
若B＝?，即＜a﹣1，即a＜0时，满足B?A，
若B≠?，即≤2a﹣1，即a≥0时，
要使B?A，
则满足，解得
综上：，
故选：A．
【题型强化】已知集合，，求满足的实数的取值范围.
【答案】
【解析】
①当时，，满足.
②
当
时，，
∵，∴解得.
③
当
时，，
∵，∴解得.
综上所述，所求实数的取值范围为.
【收官验收】已知集合，是否存在实数a，使得.若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】存在；或或.
【解析】
∵，而集合A与a的取值范围有关.
①当时，，显然.
②当时，，
∵，如图1所示，∴∴.
③当时，，
∵，如图2所示，∴∴.
综上可知，所求实数a的取值范围为或或.
【名师点睛】分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．
1．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．
