课时分层作业(四十) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝( )
A．－
B．
C．－
D．
D [由题图可知T＝4×＝π，故ω＝2，又f＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ＋，又|φ|<，∴φ＝．]
2．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为( )
A．
B．
C．π
D．
C [∵f＝f，∴x＝＝为函数f(x)的图象的一条对称轴．
∵f＝－f，f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)图象的一条对称轴，且与x＝相邻，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π．]
3．点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)的值域为[0,4]
C．f(x)的初相φ＝
D．f(x)在上单调递增
D [由题意，且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，故ω＝＝1．代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2．故函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[1,3]，初相为，排除A、B、C项，故选D．]
4．设函数f(x)＝2sin．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．2
B．
C．1
D．
A [f(x)的周期T＝4，|x1－x2|的最小值为2．]
5．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f的值为( )
A．－
B．－
C．－
D．
D [由题意知，点M到x轴的距离是，
根据题意可设f(x)＝cos
ωx，
又由题图知·＝1，所以ω＝π，
所以f(x)＝cos
πx，
所以f＝cos＝．
故选D．]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝________．
[由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f，注意到π与关于对称，
所以f＝－f＝．]
7．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝________．
±3 [由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3．]
8．(一题两空)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；φ＝________．
2 － [T＝－＝，∴T＝＝π，
∴ω＝2．
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－．]
三、解答题
9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
[解] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－．数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
函数解析式为f(x)＝5sin．
(2)由(1)知，
f(x)＝5sin，
因此g(x)＝5sin＝5sin．
因为y＝sin
x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．
令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z．
即y＝g(x)的图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为．
10．已知函数f(x)＝3sin的图象的一条对称轴是直线x＝．
(1)求φ值；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间和对称中心．
[解] (1)∵x＝是f(x)的图象的一条对称轴，
∴sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z．
∵0＜φ＜，∴φ＝．
(2)由(1)知y＝3sin．
由题意得2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－(k∈Z)，
故该函数的对称中心为(k∈Z)．
1．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图象关于点对称；
④y＝f(x)图象关于直线＝－对称．
其中正确命题的序号为( )
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
C [对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．
∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，
∴①错误；对于②，由f(x)＝4sin可得f(x)＝4cos＝4cos，∴②正确；对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③正确；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．∴④错误．]
2．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数，结论正确的是________．
②④ [∵T＝π，∴ω＝2．又2×＋φ＝kπ＋，
∴φ＝kπ＋．∵φ∈，∴φ＝，
∴y＝sin．由图象及性质可知②④正确．]
3．设函数f(x)＝sin(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
[∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，
∴当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝sin＝1，
∴ω－＝2kπ＋，k∈Z，
∴ω＝8k＋，k∈Z．
∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值．]
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
[解] (1)由题意作出f(x)的简图如图．
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，
∴4π＝，即ω＝，
∴f(x)＝2sin，
∴f(0)＝2sin
φ＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin．
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z．
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，
∴x0＝．
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(3)∵－π≤x≤π，
∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴－≤f(x)≤2，
故当x∈[－π，π]时，f(x)的值域为[－，2]．
8课时分层作业(三十九) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝cos
x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos
ωx，则ω的值为( )
A．
B．－
C．2
D．－2
A [y＝cos
xy＝cos
x．]
2．将函数y＝cos向右平移得到y＝sin
x的图象，则平移的单位数是( )
A．
B．
C．
D．
D [y＝sin
x＝cos＝cos，
y＝cos的图象变换为y＝cos的图象应向右平移个单位．]
3．用“五点法”画函数y＝2sin(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则ω＝( )
A．
B．2
C．
D．3
B [周期T＝－＝π，∴＝π，ω＝2．]
4．函数y＝3sin的相位和初相分别是( )
A．－x＋
B．x＋
C．x－ －
D．x＋
D [y＝3sin化为y＝3sin，相位x＋，初相．]
5．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(
ω>0)的图象上所有的点向左平移个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )
A．4
B．6
C．8
D．12
B [将函数f(x)的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则是已知函数周期的整数倍，所以＝(n∈N
)，所以ω＝4n(n∈N
)，故A、C、D正确，故选B．]
二、填空题
6．将y＝cos
2x的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式为________．
y＝cos [y＝cos
2x→y＝cos
2＝cos．]
7．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是________．
8．将函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y＝sin
x的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为________．
y＝sin [根据题意，y＝sin
x的图象沿x轴向右平移个单位后得到y＝sin，再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，此即y＝f(x)的解析式．]
三、解答题
9．已知f(x)＝2sin
2x，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个根，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．
[解] f(x)＝2sin
2x，
g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1．
g(x)＝0?sin＝－?x＝kπ－或x＝kπ＋π，k∈Z，
即g(x)的根相邻间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个根，则b－a的最小值为14×＋15×＝．
10．已知函数f(x)＝sin(x∈R)．
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)
[解] (1)由已知函数化为y＝－sin．
欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为(k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos
2．
∵y＝cos
2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位长度即可．
1．(多选题)将函数f(x)＝3sin
x的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的( )
A．周期是π
B．增区间是
(k∈Z)
C．图象关于点对称
D．图象关于直线x＝对称
ABC [将函数f(x)＝3sin
x的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)＝3sin，对于选项A，函数g(x)的周期为＝π，即A正确；对于选项B，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋，即函数g(x)的增区间是(k∈Z)，即B正确；
对于选项C，令2x－＝kπ，解得：x＝＋，即函数g(x)的对称中心为，即C正确；
对于选项D，令2x－＝kπ＋，则x＝＋，即函数g(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，即选项D错误．综上可得选项A，B，C正确，故选ABC．]
2．把函数y＝cos的图象向右平移φ个单位长度，所得到的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值是( )
A． B． C． D．
C [将y＝cos的图象向右平移φ个单位长度，得y＝cos的图象，
∵y＝cos的图象关于y轴对称，
∴cos＝±1．
∴φ－＝kπ，k∈Z．
当k＝－1时，φ取得最小正值．]
3．若ω>0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin
ωx的图象重合，则ω的最小值为________．
[将函数y＝cos
的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝cos
的图象．因为所得函数图象与函数y＝sin
ωx的图象重合，所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值．]
4．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝________．
2sin－1 [将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象，即f(x)＝2sin－1．]
5．已知：由函数y＝2sin
x＋1＋a的图象先向左平移个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，就得到函数y＝f(x)，y＝f(x)的最大值为2．
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
[解] (1)由函数的图象变换得f(x)＝2sin
＋1＋a，
因为y＝f(x)的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π．
(2)由(1)知f(x)＝2sin
，列表：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
画图如下：
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