课时分层作业(三十七) 正弦、余弦函数的图象与性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是( )
A．
B．(－π，0]
C．
D．(－π，π)
B [y＝cos
x在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a∈(－π，0]．]
2．函数f(x)＝7sin的奇偶性为( )
A．偶函数
B．奇函数
C．非奇非偶
D．既奇又偶
A [f(x)＝7sin＝7sin
＝－7cos
x，∴f(x)是偶函数．]
3．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ＝( )
A．2kπ＋(k∈Z)
B．2kπ＋(k∈Z)
C．kπ＋(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
D [由题意，当x＝时，
f(x)＝sin＝±1，
故＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)．]
4．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
D [∵y＝sin＝－cos
x，∴T＝2π，即A正确．y＝cos
x在上是减函数，则y＝－cos
x在上是增函数，即B正确．由图象知y＝－cos
x的图象关于x＝0对称，即C正确．y＝－cos
x为偶函数，即D不正确．]
5．若函数f(x)＝sin
ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝( )
A．
B．
C．
D．
C [因为当0≤ωx≤时，函数f(x)是增函数，
当≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，
即当0≤x≤时，函数f(x)为增函数，
当≤x≤时，函数f(x)为减函数，
所以＝，所以ω＝．]
二、填空题
6．(一题两空)函数y＝2cos
x－1的最大值是________，最小值是_______．
1 －3 [∵cos
x∈[－1,1]，∴y＝2cos
x－1∈[－3,1]．
∴最大值为1，最小值为－3．]
7．(一题两空)y＝的定义域为________，单调递增区间为________．
[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) (k∈Z) [由题意知sin
x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．
∵当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增，
∴其递增区间为(k∈Z)．]
8．函数值sin
，sin
，sin
从大到小的顺序为________(用“>”连接)．
sin
>sin
>sin
[∵<<<<π，
又函数y＝sin
x在上单调递减，
∴sin
>sin
>sin
．]
三、解答题
9．设函数f(x)＝sin，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
[解] (1)最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
∴当t＝，即x＝时，
ymin＝×＝－1，
当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝．
10．求下列函数的最值：
(1)y＝；
(2)y＝3－4cos，x∈．
[解] (1)y＝＝3－．
∴当sin
x＝1时，ymax＝3－＝；
当sin
x＝－1时，ymin＝3－7＝－4．
(2)∵x∈，
∴2x＋∈，从而－≤cos≤1．
∴当cos＝1，
即2x＋＝0，
即x＝－时，ymin＝3－4＝－1；
当cos＝－，即2x＋＝，即x＝时，ymax＝3－4×＝5．
1．y＝|cos
x|的一个单调递增区间是( )
A．
B．[0，π]
C．
D．
D [将y＝cos
x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos
x|的图象(图略)．故选D．]
2．(多选题)已知函数f(x)＝sin
＋1，则( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的最大值为
D．f(x)的最小值为
ACD [f(x)＝sin
＋1，则f(x)的最小正周期为π，最小值为－＋1＝，最大值为＋1＝．]
3．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin
ωx在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
[由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋，
∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z．
根据题意，得?，从而有解得0＜ω≤．
故ω的取值范围是．]
4．若x∈，则函数f(x)＝2cos2x＋sin
x－1的值域是________．
[f(x)＝－2sin2x＋sin
x＋1
＝－2＋，因为x∈，
所以sin
x∈，当sin
x＝时，f(x)有最大值1；当sin
x＝时，f(x)有最小值．]
5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sin
α)与f(cos
β)的大小关系．
[解] 由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上是增函数，
所以函数f(x)在[0,1]上是增函数．
又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞，
即＞α＞－β＞0，
因为y＝sin
x在上为增函数，
所以sin
α＞sin＝cos
β，
且sin
α∈[0,1]，cos
β∈[0,1]，所以f(sin
α)＞f(cos
β)．
1课时分层作业(三十八) 正切函数的图象与性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．y＝tan
x为增函数
B．y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为
C．在x∈[－π，π]上y＝tan
x是奇函数
D．在上y＝tan
x的最大值是1，最小值为－1
D [函数y＝tan
x在定义域内不具有单调性，故A错误；函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，故B错误；当x＝－，时，y＝tan
x无意义，故C错误；由正切函数的图象可知D正确．]
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A． B．
C．
D．
C [要使函数有意义，则
∴x≠且x≠＋，∴x≠，k∈Z．]
3．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)，说法错误的是( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．f(x)的图象关于对称
C．f(x)的图象关于(π－φ，0)对称
D．f(x)是以π为最小正周期的周期函数
A [A项，若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan
x，此时，f(x)为奇函数，所以A错；观察正切函数y＝tan
x的图象，可知y＝tan
x关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝得x＝－φ，分别令k＝1,2知B、C正确，D显然正确．]
4．函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．2或－2
D [由＝，可知ω＝±2．]
5．已知函数y＝tan
ωx在内是减函数，则ω的取值范围是( )
A．(－1,0)
B．[－1,0)
C．(0,1)
D．(0,1]
B [∵y＝tan
ωx在内是减函数，
∴T＝≥π，∴0＜|ω|≤1．
∵y＝tan
x在内为增函数，
∴ω<0，∴－1≤ω<0．]
二、填空题
6．比较大小：tan
________tan
．
＜ [tan
＝tan＝tan
．
∵y＝tan
x在上是增函数且0＜＜＜，
∴tan
＜tan
，即tan
＜tan
．]
7．函数y＝6tan的对称中心为________．
(k∈Z) [y＝6tan
＝－6tan，
由6x－＝，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
故对称中心为，k∈Z．]
8．若tan
x>tan
且x在第三象限，则x的取值范围是________．
(k∈Z) [tan
x>tan
＝tan
，又x为第三象限角，∴2kπ＋三、解答题
9．已知f(x)＝tan．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|<的φ值．
[解] (1)f(x)的最小正周期T＝．
(2)∵f(x＋φ)＝tan是奇函数，
∴图象关于原点中心对称，
∴＋2φ＝(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)．
令<(k∈Z)，
解得－∴k＝－1,0,1或2．
从而得φ＝－，－，或．
10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
[解] (1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，即＝．
因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z．
因为0<φ<，所以φ＝，
故f(x)＝tan．
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋kπ<2x即－＋所以函数的单调增区间为，k∈Z，无单调减区间．
(3)由(1)知，f(x)＝tan．
由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为．
1．(多选题)关于函数f(x)＝tan(x＋φ)的下列说法，正确的有( )
A．对任意的φ，f(x)既不是奇函数也不是偶函数
B．不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
BCD [对于A，显然当φ＝kπ或kπ＋，k∈Z时，f(x)是奇函数，故A错，C正确；既是奇函数又是偶函数的函数为y＝0，显然对于任意的φ，f(x)都不可能恒为0，故B正确；D显然正确．故选BCD．]
2．函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是( )
D [当＜x＜π时，tan
x＜sin
x，y＝2tan
x＜0；
当x＝π时，y＝0；当π＜x＜π时，tan
x＞sin
x，
y＝2sin
x＜0．故选D．]
3．(一题两空)已知x∈，则函数y＝＋2tan
x＋1的最小值为________，取最小值时相应的x的值为________．
1 － [y＝＋2tan
x＋1＝＋2tan
x＋1＝tan2x＋2tan
x＋2＝(tan
x＋1)2＋1．
∵x∈，∴tan
x∈[－，1]．
当tan
x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1．]
4．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan
ωx(ω为常数且ω>0)相交的两相邻交点间的距离为________．
[∵ω>0，∴函数y＝tan
ωx的周期为．
且在每一个独立的区间内都是单调函数，
∴两交点间的距离为．]
5．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在x∈上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．
[解] ∵y＝tan
θ在区间(k∈Z)上为增函数，∴a＜0．
又x∈，∴－ax∈，
∴－ax∈，
∴
解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．
令－－＝6－8k，解得k＝1，此时－2≤a≤－2，
∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．
1课时分层作业(三十六) 正弦、余弦函数的图象
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝cos
x·|tan
x|的大致图象是( )
C [y＝cos
x·|tan
x|＝]
2．若cos
x＝1－2m，且x∈R，则m的取值范围是( )
A．[0,1]
B．(0,1]
C．
D．[－1,0]
A [∵cos
x∈[－1,1]，∴－1≤1－2m≤1，
解得0≤m≤1．]
3．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sin
x的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sin
x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos
x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
B [对②，y＝cos(－x)＝cos
x，y＝cos|x|＝cos
x，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cos
x，故其图象关于y轴对称，由作图可知①③均不正确．]
4．方程x2－cos
x＝0的实数解的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
C [作函数y＝cos
x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．]
5．下列函数中：①y＝sin
x－1；②y＝|sin
x|；③y＝－cos
x；④y＝；⑤y＝．与函数y＝sin
x形状完全相同的有( )
A．②④
B．①③
C．①④
D．②③
B [y＝sin
x－1是将y＝sin
x向下平移1个单位，没改变形状；y＝－cos
x＝sin，故y＝－cos
x是将y＝sin
x向右平移个单位，没有改变形状，与y＝sin
x形状相同，∴①③完全相同，而②y＝|sin
x|，④y＝＝|cos
x|和⑤y＝＝|sin
x|与y＝sin
x的形状不相同．]
二、填空题
6．函数y＝的定义域是________．
{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z} [由题意可得，
即∴0＜sin
x≤1，
由正弦函数图象可得{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}．]
7．函数y＝sin
x的图象与函数y＝cos
x的图象在[0,2π]内的交点坐标为________．
和 [在同一坐标系内画出两函数的图象(图略)，
易知，交点坐标为和．]
8．设0≤x≤2π，且|cos
x－sin
x|＝sin
x－cos
x，则x的取值范围为________．
[由|cos
x－sin
x|＝sin
x－cos
x得
sin
x－cos
x≥0，即sin
x≥cos
x．
又x∈[0,2π]，结合图象(图略)可知，≤x≤，
所以x∈．]
三、解答题
9．利用图象变换作出函数y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]的简图．
[解] ∵y＝sin|x|＝为偶函数，∴首先用五点法作出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象；再将x∈[0,2π]的图象关于y轴对称．如图所示．
10．作出函数y＝－sin
x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①sin
x＞0；②sin
x＜0；
(2)直线y＝与y＝－sin
x，x∈[－π，π]的图象有几个交点？
[解] 利用“五点法”作图，如图．
(1)根据图象可知在x轴上方的部分－sin
x＞0，在x轴下方的部分－sin
x＜0，所以当x∈(－π，0)时，sin
x＜0；
当x∈(0，π)时，sin
x＞0．
(2)画出直线y＝，由图象知有两个交点．
1．函数y＝的奇偶性为( )
A．奇函数
B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数
D．非奇非偶函数
D [由题意知，当1－sin
x≠0，即sin
x≠1时，
y＝＝|sin
x|，所以函数的定义域为，
由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．]
2．已知y＝cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
B [由题意画出图形(图略)，由于余弦函数图象关于点和点成中心对称，可得y＝cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝1围成的封闭图形的面积为2π×1＝2π．]
3．在[0,2π]内，不等式sin
x<－的解集是________．
[画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的草图如下．
因为sin
＝，所以sin＝－，sin＝－．即在[0,2π]内，满足sin
x＝－的x＝或．可知不等式sin
x<－的解集是．]
4．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是________．
[在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示．
当f(x)＞时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方，此时有－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈N)．]
5．已知函数f(x)＝sin
x，x∈R．现有如下两种图象变换方案：
方案1：将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度；
方案2：将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．
请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数g(x)的解析式，并解决如下问题：
(1)画出函数g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(2)请你研究函数g(x)的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论．
[解] 方案1：将函数f(x)＝sin
x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到y＝sin
2x，再将y＝sin
2x图象向左平移个单位长度得到y＝sin
2＝sin，即g(x)＝sin．
方案2：将函数f(x)＝sin
x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin，再将y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到y＝sin，即g(x)＝sin．所以，无论在何种方案下所得的函数都是g(x)＝sin．
(1)如图，是函数g(x)＝sin在[0，π]这一周期上的图象：
(2)函数g(x)＝sin
定义域：R；值域：[－1,1]；周期：T＝＝π；
奇偶性：因为g(0)＝sin＝≠0，±1，所以g(x)不具有奇偶性．
单调性：令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，(k∈Z)，即函数在(k∈Z)上单调递增；同理可得函数的单调递减区间为：(k∈Z)．
1
