课时分层作业(四十一) 三角函数应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为( )
A．
s
B．
s
C．
s
D．
s
B [最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期，T＝
s＝
s．]
2．如图所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该简谐运动的振动周期为0．7
s
B．该简谐运动的振幅为5
cm
C．该质点在0．1
s和0．5
s时振动速度最大
D．该质点在0．3
s和0．7
s时振动速度为零
B [由图象知，振幅为5
cm，＝(0．7－0．3)s＝0．4
s，故T＝0．8
s，故A错误；该质点在0．1
s和0．5
s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故C错误；该质点在0．3
s和0．7
s时正好回到平衡位置，而不是振动速度为零，故D错误．]
3．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k．据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
C [由图象知周期T＝12，最低点的坐标为(9,2)，
代入得×9＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ(k∈Z)，不妨取φ＝0，
当x＝6＋＝15时，y最大，
列式得＝3sin＋k，
∴＝3sin＋k，
∴k＝5，
∴＝k，ymax＝8．]
二、填空题
4．如图，某地一天从6
h到14
h的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0,0≤φ<2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．
y＝10sin＋20，x∈[6,14] [由图象可知B＝20，A＝＝10，
＝14－6＝8，T＝16＝，解得ω＝．
将(6,10)代入y＝10sin＋20可得
sin＝－1，
由0≤φ<2π可得φ＝，
∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．]
5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是________．
[0,1]，[7,12] [由题意可知，y＝sin(ωt＋φ)．
又t＝0时，A，∴φ＝，
又由T＝12可知，ω＝＝，
∴y＝sin．
令2kπ－≤t＋≤2kπ＋，k∈Z，解得12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z，∵0≤t≤12，∴令k＝0,1，得0≤t≤1或7≤t≤12，
故动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．]
6．一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32
m(即OM的长)，巨轮的半径为30
m，AM＝BP＝2
m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)＝________．
30sin＋30 [本题考查三角函数的实际应用．建立如图所示的直角坐标系，设点B的方程为y＝Asin(ωx＋φ)＋k，由题意知A＝30，k＝32，φ＝－，又因为T＝12＝，所以ω＝，y＝30sin＋32，所以吊舱P距离地面的高度h(t)＝30sin＋30．
]
三、解答题
7．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12
h，低潮时水的深度为8．4
m，高潮时为16
m，一次高潮发生在10月10日4：00．每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h．
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0．1
m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10．3
m?
[解] (1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12．2，
A＝16－12．2＝3．8，
所以d＝3．8sin＋12．2．
又因为t＝4时，d＝16，
所以sin＝1，所以φ＝－，
所以d＝3．8sin＋12．2．
(2)t＝17时，d＝3．8sin＋12．2
＝3．8sin
＋12．2≈15．5(m)．
(3)令3．8sin＋12．2<10．3，
即sin<－，
因此2kπ＋所以2kπ＋所以12k＋8令k＝0，得t∈(8,12)；
令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8
h水深低于10．3
m．
1．(多选题)如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有( )
A．经过3分钟，点P首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米
ABD [以O为原点，过O且平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，⊙O为摩天轮，P为圆上的动点，设P到地面的高为h．
由题设有P，
故h＝40sin＋45＝40cos
t＋45，其中t≥0．
对于A，令h＝5，则cos
t＝－1，解得t＝6k＋3，k∈N，
故点P首次到达最低点所需的时间为3分钟，故A正确．
对于B，当t＝4时，h1＝40cos
＋45，当t＝8时，h2＝40cos
＋45，
因为cos
＝cos
＝－，故h1＝h2，故B正确．
对于C，当7≤t≤10，≤t≤，
而3π<<<且y＝cos
u在是单调递增的，
故h＝40cos
t＋45在[7,10]上是单调递增函数，故C错．
对于D，考虑0≤t≤6时不等式40cos
t＋45≥65的解，故cos
t≥，
解得0≤t≤1或5≤t≤6，
故摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米，故D正确．故选ABD．]
2．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为______________．
h＝－6sin
t，t∈[0,24] [根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)，则A＝6，T＝12，＝12，∴ω＝，点(6,0)为“五点”
作图法中的第一点，∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，
∴h＝6sin＝－6sin
t，t∈[0,24]．]
3．下表是某地某年月平均气温(单位：华氏)．
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21．4
26．0
36．0
48．8
59．1
68．6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73．0
71．9
64．7
53．5
39．8
27．7
以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)下面四个函数模型中，哪一个最适合这些数据？
①＝cos；②＝cos；
③＝cos；④＝sin．
[解] (1)(2)如图所示：
(3)1月份的气温最低，为21．4华氏，7月份气温最高，为73．0华氏，据图知，＝7－1＝6，∴T＝12．
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73．0－21．4＝51．6，
∴A＝25．8．
(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26．0，代入①，得＝＞1≠cos
，∴①错误；代入②，得＝＜0≠cos
，∴②错误；同理④错误，③正确．
故函数模型③最适合．
4．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解] (1)动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，
则
解得A＝100，b＝800．
又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800．
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin
φ＝－1，
∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800．
(2)当t＝2时，
y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750．
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