课时分层作业(四十二) 函数的零点
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若函数f(x)＝mx＋n有一个零点是2，则函数g(x)＝nx2－mx的零点是( )
A．0
B．
C．－
D．0和－
D [由条件知，f(2)＝2m＋n＝0，∴n＝－2m．
∴g(x)＝nx2－mx＝－2mx，由g(x)＝0，得x＝0或x＝－．
∴g(x)的零点是0和－．]
2．方程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根( )
A．(－2，－1)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(－1,0)
D [令f(x)＝2x＋x，则f(－2)＝－＜0，
f(－1)＝－＜0，f(0)＝1＞0，f(1)＝3＞0，f(2)＝6＞0．
∵f(－1)·f(0)＝×1＜0，
∴f(x)＝2x＋x的零点在区间(－1,0)内，
故2x＋x＝0在区间(－1,0)内有实数根．]
3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2
x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>b>a
B．b>c>a
C．b>a>c
D．a>c>b
B [在同一坐标系中画出y＝2x和y＝－x的图象(图略)，可得a<0，同样的方法可得b>0，c＝0，∴b>c>a．]
4．已知函数f(x)＝log2x－，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值( )
A．恒为负
B．等于零
C．恒为正
D．不小于零
A [因为x0是方程f(x)＝0的解，所以f(x0)＝0，又因为函数f(x)＝log2x－在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x1＜x0，所以有f(x1)＜f(x0)＝0．]
5．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则( )
A．a
B．cC．cD．bA [在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a二、填空题
6．函数f(x)＝零点的个数为________．
2 [x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3，x＝1(舍去)，
∴f(x)在(－∞，0]上有一个零点；x＞0时，f(x)＝ln
x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0．
∵f(1)·f(e3)＜0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，f(x)在R上有2个零点．]
7．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2
021个零点，则这2
021个零点之和为________．
0 [设x0为其中一根，即f(x0)＝0，
因为函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，
即－x0也为方程一根，
又因为方程f(x)＝0有2
021个实数解，所以其中必有一根x1，满足x1＝－x1，即x1＝0，
所以这2
021个实数解之和为0．]
8．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln
x＝1的解，则x1x2等于________．
1 [考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln
x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1．]
三、解答题
9．求函数f(x)＝2x|log0.5
x|－1的零点个数．
[解] 函数f(x)＝2x|log0.5
x|－1的零点即2x|log0.5
x|－1＝0的解，即|log0．5
x|＝的解，作出函数g(x)＝|log0.5
x|和函数h(x)＝的图象，
由图象可知，两函数共有两个交点，
故函数f(x)＝2x|log0．5
x|－1有2个零点．
10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x．
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
[解] (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1．
∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．
1．函数f(x)＝2x－x2零点的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [由2x－x2＝0得2x＝x2，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x和函数y＝x2的图象，它们有三个交点，f(x)＝2x－x2零点的个数为3，注意其中两个正零点是2和4．故选C．
]
2．已知函数f(x)＝|lg
x|－a，a>0有两个零点x1，x2，则x1＋x2的取值范围是________．
(2，＋∞) [设函数f(x)＝|lg
x|－a，a>0有两个零点x1，x2，且x1<1∴x1＋x2＝10－a＋10a>2，即x1＋x2的取值范围是(2，＋∞)．]
3．设a∈Z，函数f(x)＝ex＋x－a，若x∈(－1,1)时，函数有零点，则a的取值个数为________．
4 [根据函数解析式得到函数f(x)是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈(－1,1)时，函数有零点，需要满足
?－14．已知函数f(x)＝4x－a·2x＋1＋1．
(1)若函数f(x)在x∈上有最大值－8，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在x∈上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
[解] (1)由题f(x)＝4x－a·2x＋1＋1＝2－2a·2x＋1，因为x∈，
所以令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a，
当a≤时，f(t)max＝f＝17－8a＝－8，解得a＝(舍)，
当a>时，f(t)max＝f＝2－2a＝－8，解得a＝5，
所以a＝5．
(2)由(1)f(x)＝2－2a·2x＋1，令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a．
因为函数f(x)在x∈上有且只有一个零点，
所以f＝t2－2at＋1的图象在上与x轴只有一个交点，
所以
，解得a＝1，
或者f·f≤0，即≤0，整理解得≤a≤，
当a＝时，f＝t2－2at＋1与x轴有两个交点，故舍，
综上5