课时分层作业(四十三) 用二分法求方程的近似解
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
C [由题图知，x3附近两边的函数值都是负值，故用二分法不能求出零点x3．]
2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是( )
A．y＝3x2－2x－5
B．y＝
C．y＝＋1
D．y＝x2＋4x＋8
D [分别作出函数A～D的图象(略)知，D符合题意．]
3．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分x次后，所得近似值可精确到0．1．则x＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C [由＜0．1，得2n－1＞10，所以n－1≥4，即n≥5．]
4．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
其中不正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
D [①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，①错误；②中函数f(x)不一定连续，且无法判断是否有f(a)·f(b)<0，②错误；③中方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，③错误；④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，④也错误．]
5．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内一定有零点
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
D [由已知及二分法求函数零点的原理，可知，
f(0)·f<0，又的中点为，
∴下一步可能f(0)·f<0，
或f·f<0或f＝0，故D正确．]
二、填空题
6．为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：
x
1.25
1.312
5
1.375
1.437
5
1.5
1.562
5
f(x)
－0.871
6
－0.578
8
－0.281
3
0.210
1
0.328
43
0.641
15
则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取________.
1.4 [由题表知f(1.375)·f(1.437
5)<0，且1.437
5和1.375精确到0.1均为1.4，所以方程的一个近似解可取为1.4.]
7．在10枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
3 [先分2组，每组5枚，用天平称出质量较轻的一组，再把5枚分成一组2枚，另一组也2枚，把两组放入托盘中，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那2枚硬币里面，然后用天平称出轻的一枚即可，故最多称3次即可．]
8．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是________．
(－3，－1)和(2,4) [由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x＝，a>0．由f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0，可得f(x)的零点所在区间为(－3，－1)和(2,4)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(－3，－1)和(2,4)．]
三、解答题
9．确定函数f(x)＝logeq
\s\do12()x＋x－4的零点所在的区间．
[解] 设y1＝logeq
\s\do12()x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图：
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，所以f(4)＜0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，所以f(8)＝1＞0，
所以在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
10．利用计算器，求方程x2－6x＋7＝0的近似解．(精确到0．1)
[解] 设f(x)＝x2－6x＋7，通过观察函数的图象(略)得：
f(1)＝2＞0，f(2)＝－1＜0，∴方程x2－6x＋7＝0有一根在(1,2)内，设为x1，
∵f(1．5)＝0．25＞0，∴1．5＜x1＜2，
又∵f＝f(1．75)＝－0．437
5＜0，∴1．5＜x1＜1．75，如此继续下去，得：
f(1)·f(2)＜0?x1∈(1,2)，f(1．5)·f(2)＜0?x1∈(1．5,2)，
f(1．5)·f(1．75)<0?x1∈(1．5,1．75)，
f(1．5)·f(1．625)＜0?x1∈(1．5,1．625)，
f(1．562
5)·f(1．625)<0?x1∈(1．562
5,1．625)．
因为1．562
5,1．625精确到0．1的近似值都为1．6，所以方程x2－6x＋7＝0的一个近似解为1．6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为4．4．
1．已知函数f(x)＝loga
x＋x－b(a>0，且a≠1)．当2
，则n＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [∵2x＋x－b为定义域上的增函数．
f(2)＝loga
2＋2－b，f(3)＝loga
3＋3－b．
∵22a3，
∴<<1．
又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，
∴loga
2＋2－b<0，即f(2)<0．
∵1<<，3∴－1<3－b<0，
∴loga
3＋3－b>0，∴f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0．
由x0∈(n，n＋1)，n∈N
知，n＝2．]
2．已知曲线y＝与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是________．
[设f(x)＝－x，则f(0)＝1＞0，
f＝eq
\s\up12()－＝－＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝－2＜0，显然有f(0)·f＜0．所以f(x)的零点所在区间为，即x0的取值范围是．]
3．已知y＝x(x－1)·(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)·(x＋1)＋0．01，则方程式f(x)＝0
①有三个实根；
②当x<－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；
③当－1④当0⑤当x>1时，恰有一实根．
正确的有________．(填序号)
①② [∵f(－2)＝－2×(－3)×(－1)＋0．01＝－5．99<0，f(－1)＝0．01>0，即f(－2)·f(－1)<0，
∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象(略)可知，方程在(－∞，－1)上，恰有一个实根．
∴②正确．
又∵f(0)＝0．01>0，结合图象可知f(x)＝0在(－1,0)上没有实数根，∴③不正确．
又∵f(0．5)＝0．5×(－0．5)×1．5＋0．01＝－0．365<0，f(1)＝0．01>0，即f(0．5)·f(1)<0，所以f(x)＝0在(0．5,1)上必有一实根，且f(0)·f(0．5)<0，
∴f(x)＝0在(0,0．5)上也有一个实根．
∴f(x)＝0在(0,1)上有两个实根，④不正确．
由f(1)>0结合图象知，f(x)＝0在(1，＋∞)上没有实根．∴⑤不正确，并且由此可知①正确．]
4．某电视台曾有一档娱乐节目：主持人会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1
000元之间．选手开始报价1
000元，主持人说高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看，猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想．你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
[解] 取价格区间[500,1
000]的中点750．
如果主持人说低了，就再取[750,1
000]的中点875，
否则取另一个区间(500,750)的中点．
若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程中猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．
6