课时分层作业(四十五) 函数的实际应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．
若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )
A B C D
B [水位由高变低，排除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B．]
2．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费S(元)的函数关系如图所示．当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．8元
B．9元
C．10元
D．12元
C [设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为S＝k2t．
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，
所以k2－k1＝，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10(元)．]
3．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1
300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2
000万元的年份是(参考数据：lg
1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg
2≈0.30)( )
A.2020年
B.2021年
C.2022年
D.2023年
B [若2018年是第一年，则第n(n∈N＋)年科研经费为1
300×1.12n，由1
300×1.12n>2
000，可得lg
1.3＋n
lg
1.12>lg
2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2
000万元.故选B.]
4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100log2x＋100
C [根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C．]
5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt．已知新丸经过50天后，体积变为a．若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．60
B．75
C．90
D．100
B [由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝eq
\s\up12()．
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝eq
\s\up12()，∴＝，t1＝75．]
二、填空题
6．某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1．8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0．03元，购买饲料每次支付运费300元，则该养殖场________天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
10 [设该养殖场x(x∈N
)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0．03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1．8＝＋3x＋357≥417，当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．]
7．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
18 [利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]
8．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0．1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤______次才能达到市场要求.(已知lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
8 [设至少过滤n次才能达到市场需求，则2%≤0．1%，即≤，
所以nlg
≤－1－lg
2，所以n≥7．39，所以n＝8．]
三、解答题
9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·eq
\s\up12()，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88
℃热水冲的速溶咖啡，放在24
℃的房间中，如果咖啡降温到40
℃需要20
min，那么降温到32
℃时，需要多长时间？
[解] 由题意知40－24＝(88－24)·eq
\s\up12()，
即＝eq
\s\up12()，解得h＝10．
故T－24＝(88－24)·eq
\s\up12()，
当T＝32时，32－24＝64·eq
\s\up12()，
即eq
\s\up12()＝，解得t＝30，
因此，需30
min可降温到32
℃．
10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[解] (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0
即(1－x)10＝，
解得x＝1－eq
\s\up12()．
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，
即eq
\s\up12()＝eq
\s\up12()，＝，
解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，再砍伐n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n．
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，eq
\s\up12()≥eq
\s\up12()，≤，解得n≤15．故今后最多还能砍伐15年．
1．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下
叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积会超过30
m2；
③浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要再经过1．5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2
m2,3
m2,6
m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3．其中正确的是( )
A．①②④
B．①④⑤
C．①②⑤
D．②③⑤
C [①显然正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；当t＝2时，y＝4，当t＝3．5时，y＝11．31<12，故经过1．5个月并不能使浮萍的面积达到12
m2，故③不正确；由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝1
m2，再经过一个月时，面积增加4－2＝2
m2，故④不正确；当浮萍面积为2
m2时，t1＝1，当浮萍面积为3
m2时，t2＝log2
3，当浮萍面积为6
m2时，t3＝log2
6，而1＋log2
3＝log2
6，故⑤正确．]
2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26．7，天狼星的星等是－1．45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．
1010．1
B．
10．1
C．
lg
10．1
D．
10－10．1
A [根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26．7，m2＝－1．45，根据两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg
，把m1与m2的值分别代入上式得，－1．45－(－26．7)＝lg，得lg
＝10．1，所以＝1010．1，故选A．]
3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
60,16 [因为组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15，
①
所以必有4②
联立①②解得c＝60，A＝16．]
4．已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(单位：万美元)关于年产量x(单位：万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
[解] (1)当0＜x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；
当x＞40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7
360．
所以W＝
(2)①当0＜x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6
104，
所以Wmax＝W(32)＝6
104．
②当x＞40时，W＝－－16x＋7
360＝7
360－≤7
360－2＝5
760，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，等号成立，
即W的最大值为5
760．
综上知，当年产量为32万部时，取得最大利润为6
104万美元．
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