章末综合测评(二) 常用逻辑用语
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“?x>0，都有x2－x≤0”的否定是( )
A．?x>0，使得x2－x≤0
B．?x>0，使得x2－x>0
C．?x>0，都有x2－x>0
D．?x≤0，都有x2－x>0
B [全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“?x>0，都有x2－x≤0”的否定是?x>0，使得x2－x>0．故选B．]
2．已知p：A＝?，q：A∩B＝?，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由已知A＝??A∩B＝?，反之不成立，得p是q的充分不必要条件，所以选A．]
3．“?x∈R，x＋|x|<0”的否定是( )
A．?x∈R，x＋|x|≥0
B．?x∈R，x＋|x|≥0
C．?x∈R，x＋|x|<0
D．?x∈R，x＋|x|≤0
B [因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“?x∈R，x＋|x|<0”的否定是“?x∈R，x＋|x|≥0”故选B．]
4．命题“?x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．?x∈R，x3－x2＋1<0
B．?x∈R，x3－x2＋1≥0
C．?x∈R，x3－x2＋1>0
D．?x∈R，x3－x2＋1≤0
C [由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“?x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C．]
5．“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的 ( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B [当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．]
6．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0
(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0
B．a>0
C．a<－1
D．a>1
C [方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故选C．]
7．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由不等式的性质，a＞b＞0，可推出>1，而当>1，时，例如取a＝－2，b＝－1，显然不能推出a＞b＞0．故>1是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．]
8．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是( )
A B C D
C [由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件．由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件．由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件．由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．a2＞b2的一个充分条件是( )
A．a＞|b|
B．a＜b
C．a＝b
D．a
AD [A中，当a＞|b|时，能推出|a|＞|b|?a2＞b2，所以A正确；B中，当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，当a＝b时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；D中，a10．下列命题中，假命题是( )
A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1
B．?x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．?x∈R，x2＋2≤0
BCD [当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C错误；?x∈R，x2＋2＞0，故?x∈R，x2＋2≤0错误，故选BCD．]
11．命题“已知y＝|x|－1，当m∈A时，?x∈R都有m≤y恒成立，则集合A可以是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．(－1，＋∞)
D．(－∞，－1)
BD [由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使?x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1，所以正确选项为BD．]
12．已知A、B为实数集R的非空集合，则AB的必要不充分条件可以是( )
A．A∩B＝A
B．A∩?RB＝?
C．?RB?RA
D．B∪?RA＝R
ABD [因为AB??RB?RA，所以?RB?RA是AB的充分必要条件，
因为AB?A?B?A∩B＝A?A∩?RB＝??B∪?RA＝R，所以选ABD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是
．
m＝－2 [函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
14．命题“?1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是．
{a｜a≤1} [命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1．]
15．设p：实数x满足|x－2a|；若a>0且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
．(本题第一空2分，第二空3分)
(2,3) [由|x－2a|由|x－2a|0，得－a若p是q的充分不必要条件，
则p?q，且qp，所以q?p，且pq，即q是p的充分不必要条件．
设A＝{x|p}，B＝{x|q}，则BA，
又A＝{x|p}＝{x|a∴实数a的取值范围是．]
16．对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
③“a<5”是“a<3”的必要条件；
④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．
其中真命题的序号为
．
③④ [对于①，因为“a＝b”时ac＝bc成立，ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故①错；对于②，a＝－1，b＝－2,
a>b时，a2b2时，ab”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故②错；对于③，因为“a<3
”时一定有“a<5”成立，所以“a<5”是“a<3”的必要条件，③正确；对于④“a＋5是无理数”是“a
是无理数”的充要条件，④正确，故答案为③④．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5＞0．
[解] (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；
又由于“任意”的否定为“存在一个”，
因此，p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，
即“?x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．
(2)由于“?x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；
又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，p：对任意一个x∈R，都有x2＋2x＋5≤0，即“?x∈R，x2＋2x＋5≤0”．
18．(本小题满分12分)已知命题p：x∈[1,3]，命题q：x∈{x|a≤x≤a＋1}，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解] 根据题意，p是q的必要不充分条件，
{x|a≤x≤a＋1}?[1,3]，则a≥1且a＋1≤3，得1≤a≤2．
当a＝1时，{x|a≤x≤a＋1}[1,3]，满足题意；
当a＝2时，{x|a≤x≤a＋1}[1,3]，满足题意．
所以，实数a的取值范围是1≤a≤2．
19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：正数的对数都是正数；
(2)p：存在x∈R，x2－x＋1≤0；
(3)p：所有的一次函数都是单调函数；
(4)p：有的三角形是等边三角形；
(5)p：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
(6)p：有一个素数含三个正因数．
[解] (1)
p：存在一个正数，它的对数不是正数．真命题．
(2)
p：任意x∈R，x2－x＋1>0．真命题．
(3)
p：有些一次函数不是单调函数．假命题．
(4)
p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题．
(5)
p：存在x0∈Z，使x的个位数字等于3．假命题．
(6)
p：所有的素数都不含三个正因数．真命题．
20．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．
(1)条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；
(2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B．
[解] (1)因为a，b∈R，a＋b＞0，
所以a，b至少有一个大于0，所以pq．
反之，若ab＞0，可推出a，b同号．
但推不出a＋b＞0，即qp．
综上所述，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
(2)因为AB?A∪B＝B，所以p?q．
而当A∪B＝B时，A?B，即qp，
所以p为q的充分不必要条件．
21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a}且B≠?．
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝?，求a的取值范围．
[解] (1)∵x∈A是x∈B的充分条件，
∴A?B．
∴
解得a的取值范围为≤a≤2．
(2)由B＝{x｜a＜x＜3a}且B≠?，
∴a＞0．
若A∩B＝?，∴a≥4或3a≤2，
所以a的取值范围为0＜a≤或a≥4．
22．(本小题满分12分)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0．
[证明] 法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得＞，
即＜．
必要性：由＜，得－＜0，即＜0．
因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0．
所以＜的充要条件是xy＞0．
法二：＜?－＜0?＜0．
由条件x＞y?y－x＜0，故由<0?xy＞0．
所以＜?xy＞0，
即＜的充要条件是xy＞0．
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