章末综合测评(三) 不等式
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式＞1的解集是( )
A．{x|x＜－2}
B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|x＜1}
D．{x|x∈R}
A [＞1可化为－1＞0，
整理可得＞0，即x＋2＜0，
解得x＜－2，解集为{x|x＜－2}．]
2．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；
④若a>b>0，c>d，则ac>bd．
其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
A [若a>b，c<0时，ac
d>0时，ac>bd，④错，故选A．]
3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B
B．A>B
C．AD．A≤B
B [∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴A＝＋>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，∴A>B．]
4．不等式组的解集为( )
A．[－4，－3]
B．[－4，－2]
C．[－3，－2]
D．?
A [?
??－4≤x≤－3．]
5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10
km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5
km处
B．4
km处
C．3
km处
D．2
km处
A [设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝，∴费用之和为y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．]
6．若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2或a≤－3
B．a＞2或a≤－3
C．a＞2
D．－2＜a＜2
C [原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，
即解得a＞2．]
7．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则( )
A．T>0
B．T<0
C．T＝0
D．T≥0
B [法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则T＝－<0，排除A，C，D，可知选B．
法二：由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，
不妨设a>0，b<0，c<0，
则T＝＋＋＝＝＝．
∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0．]
8．已知x>0，y>0．若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2
B．m≥2或m≤－4
C．－2D．－4D [∵x>0，y>0，
∴＋≥8．
若＋>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解得－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知0＜a＜b，且a＋b＝4，则( )
A．b>2
B．存在a，b，使得(a＋1)(b＋1)＝9
C．0D．a2＋b2>8
ACD [由0＜a＜b，且a＋b＝4得a<4－a，b>4－b，所以02，所以A、C正确，因为≥，当且仅当a＝b＝2时取＝，所以D正确；又a＋b＝4，所以ab<，所以(a＋1)(b＋1)＝a＋b＋ab＋1<9，所以B错误；故选ACD．]
10．下列命题中真命题的序号为( )
A．?x∈R，x＋≥2
B．a＜b＜0是>的充分不必要条件
C．a2＜b2是|a|<|b|的充分必要条件
D．函数y＝ax2－(a＋1)x＋1的零点为和1．
BC [对于A，当x<0时不等式不成立，所以A错误；对于B，因为>?<0，所以a＜b＜0是>的充分不必要条件，所以B正确；对于C，因为a2＜b2是|a|<|b|的充分必要条件，所以C正确；对于D，因为a＝0和1时，函数只有一个零点，所以D错误，故选BC．]
11．设<<0，则下列不等式恒成立的是( )
A．aB．C．＋>2
D．<
AC [∵<<0，∴a<0，b<0，－＝<0，∴aA正确；
>0，a－b<0，选项B错误；
>0，>0，≠，＋>2＝2，C正确；
∵a|b|>0，－＝>0，>，
D不正确．故选AC．]
12．若不等式ax2＋x－(a＋1)≥0的解集是{x|－2≤x≤1}的子集，则实数a的取值可以是( )
A．－1
B．0
C．－
D．－
AD [当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}，不符合要求；
当a≠0时，原不等式为a(x－1)(x＋)≥0，
所以当a＞0时，不等式为(x－1)(x＋)≥0，
因为1－＝，所以解集为{x|x≤－或x≥1}，不符合要求；
当a＜0时，不等式为(x－1)≤0；
当a≤－时，－≤x≤1，所以－2≤－，解得a≤1，所以a≤－；
当－综上，a≤－，故选AD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知关于x，y的方程组
的解集中只有一个元素，则实数k的值为 ．
0或 [
消去x得，ky2－4y＋8＝0，
当k＝0时，y＝2，满足题意；
当k≠0时，Δ＝16－32k＝0，k＝．
综上k＝0或k＝．]
14．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为 ．
[方程x2－ax－b＝0的根为2,3．根据根与系数的关系得：a＝5，b＝－6．所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得不等式的解集为．]
15．设实数a，b，c满足a>b>c，则y＝(a－c)·的最小值为 ．
9 [∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，y＝(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)]
＝5＋＋≥9，当且仅当b－c＝2(a－b)，等号成立，
所以y＝(a－c)的最小值为9．]
16．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50＜x≤80时，每天售出的件数P＝，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为 元，每天获得的利润最多为 元．(本题第一空2分，第二空3分)
60 2
500 [设销售价格定为每件x(50＜x≤80)元，每天获得利润y元，则：
y＝(x－50)·P＝，
设x－50＝t，则0＜t≤30，
所以y＝＝＝≤＝2
500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2
500．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|2≤x＜5}，C＝{x|x＞a}．
(1)求A∩(?UB)．
(2)若A∪C＝C，求a的取值范围．
[解] (1)A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，
且B＝{x|2≤x＜5}，U＝R，
所以?UB＝{x|x＜2或x≥5}，
所以A∩(?UB)＝{x|－1≤x＜2}．
(2)由A∪C＝C，得A?C，
又C＝{x|x＞a}，A＝{x|－1≤x≤3}，
所以a的取值范围是a＜－1．
18．(本小题满分12分)已知?x∈R，ax2＋2ax＋1≥0．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0．
[解] (1)因为?x∈R，ax2＋2ax＋1≥0．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为[0,1]．
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0．
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，
a②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a1－a综上所述，当0≤a<时，解集为(a,1－a)；
当a＝时，解集为?；
当19．(本小题满分12分)函数y＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14(m≠0)有两个零点，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
[解] 法一：
因为函数y＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14(m≠0)有两个零点，且一个大于4，一个小于4，结合该函数的简图知，当m>0时，只需x＝4时，y<0；
当m<0时，只需x＝4时，y>0，
即或
解得－法二：
因为函数y＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14(m≠0)有两个零点，且一个大于4，一个小于4，所以mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0的两个不等的实数根x1，x2满足(x1－4)(x2－4)<0，
由根与系数关系得
所以(x1－4)(x2－4)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＝＋＋16<0，
解得－20．(本小题满分12分)已知某工厂生产某产品的总成本y与年产量x之间的关系为y＝ax2＋2
000，且当年产量是50时，总成本为4
000．
(1)设该产品年产量为x时平均成本为t，求t关于x的表达式；
(2)求当年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值．
[解] (1)将x＝50，y＝4
000代入y＝ax2＋2
000中，
可得502a＋2
000＝4
000，从而a＝，于是y＝x2＋2
000．
因此t＝＝x＋(x>0)．
(2)因为t＝x＋≥2＝80，
当且仅当x＝，即x＝50时，上述等号成立．因此，当年产量为50时，平均成本最小，且最小值为80．
21．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0．01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解] (1)y＝＝≤＝≈11．08．
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11．08千辆/小时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1
600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64．
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．
22．(本小题满分12分)已知函数y＝(x≠a，a为非零常数)．
(1)解不等式(2)设x>a时，y＝有最小值为6，求a的值．
[解] (1)∵整理得(ax＋3)(x－a)<0．
当a>0时，(x－a)<0,
解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为．
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，
∴y＝
＝t＋＋2a
≥2＋2a
＝2＋2a．
当且仅当t＝，
即t＝时，等号成立，
即y有最小值2＋2a．
依题意有2＋2a＝6，
解得a＝1．
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