章末综合测评(四) 指数与对数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将化为分数指数幂，其形式是( )
A．2eq
\s\up12()
B．－2eq
\s\up12()
C．2eq
\s\up12(－)
D．－2eq
\s\up12(－)
B [＝(－2)eq
\s\up12()＝(－2×2eq
\s\up12())eq
\s\up12()＝eq
\s\up12()＝－2eq
\s\up12()．故选B．]
2．若loga2
b＝c，则( )
A．a2b＝c
B．a2c＝b
C．bc＝2a
D．c2a＝b
B [loga2
b＝c?(a2)c＝b?a2c＝b．故选B．]
3．计算9eq
\s\up12(－)的结果是( )
A．
B．18
C．36
D．
A [9eq
\s\up12(－)＝(32)eq
\s\up12(－)＝3－3＝，故选A．]
4．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是( )
A．－＝(－x)eq
\s\up12()
(x≥0)
B．＝xeq
\s\up12()
(x≤0)
C．xeq
\s\up12(－)＝eq
\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))))(x>0)
D．xeq
\s\up12(－)＝－(x≠0)
C [－＝－xeq
\s\up12()
(x≥0)，故A错，＝－xeq
\s\up12()
(x≤0)，故B错，xeq
\s\up12(－)＝(x≠0)，故D错，故选C．]
5．若lg
2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，则x的值等于( )
A．1
B．0或
C．
D．log23
D [
因为lg
2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0,2x＝3，x＝log23．故选D．]
6．下列各式中成立的是( )
A．＝n7meq
\s\up12()
B．＝
C．＝(x＋y)eq
\s\up12()
D．＝
D [＝(9eq
\s\up12())eq
\s\up12()＝9eq
\s\up12()＝3eq
\s\up12()＝，故选D．]
7．已知loga
＝m，loga3＝n，则am＋2n等于( )
A．3
B．
C．9
D．
D [由已知得am＝，an＝3，所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝．故选D．]
8．已知2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，则的值为( )
A．
B．4
C．1
D．4或1
B [因为2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，所以loga(M－2N)2＝loga(MN)，(M－2N)2＝MN，－5＋4＝0，解得＝1(舍去)，＝4，故选B．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．对于下列说法，其中错误说法为( )
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫做自然对数
D．以e为底的对数叫做常用对数
BCD [只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N?x＝logaN，故B错误．由定义可知CD错误．只有A正确．故选BCD．]
10．下列运算正确的是( )
A．＝a
B．log2a2＝2log2a
C．＝－a
D．(log29)·(log34)＝4
CD [当a<0时，AB不成立，对于C显然成立，由换底公式得[(log29)·(log34)＝×＝×＝4．所以D正确，应选CD．]
11．已知a＝2ln
3，b＝3ln
2，则下列判断正确的是( )
A．a≥b
B．a≤b
C．a＝b
D．无法比较它们的大小
ABC [因为a＝2ln
3，b＝3ln
2，所以ln
a＝ln
2ln
3＝ln
3ln
2，ln
b＝ln
3ln
2＝ln
2ln
3．所以ln
a＝ln
b，即a＝b，所以选ABC．]
12．下列命题中，真命题是( )
A．若log189＝a，log1854＝b，则182a－b＝
B．若logx27＝3(log318－log32)，则x＝±
C．若log6[log3(log2x)]＝0，则xeq
\s\up12(－)＝
D．若x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)＝0
ACD [对于A，因为log189＝a，log1854＝b，所以18a＝9,18b＝54，
所以182a－b＝＝＝．即A正确；
对于B，logx27＝3(1＋log32)＝3·3log32＝3×2＝6．
所以x6＝27，所以x6＝33，又x＞0，所以x＝．即B错误；
对于C，由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式为x＝23＝8，
对于D，由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1，
所以logx(yx)＝log2(12)＝0，即D正确．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．10lg
2－ln
e＝ ．
[ln
e＝1，所以原式＝10lg
2－1＝10lg
2×10－1＝2×＝．]
14．若10x＝2,10y＝3，则10eq
\s\up12()＝ ．
15．若log(x－1)(3－x)有意义，则x的取值范围是 ．
(1,2)∪(2,3) [由已知得解得116．若
＋＝0，则x＝ ，(x2
020)y＝ ．(本题第一空2分，第二空3分)
－1 1 [因为＋＝0,
所以＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
所以x＝－1，y＝－3．所以(x2
020)y＝[(－1)2
020]－3＝1－3＝1．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)已知3a＝5b＝15，求＋的值．
(2)设10a＝2，lg
3＝b，用a，b表示log26．
[解] (1)∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，
∴＝log153，＝log15
5，
∴＋＝log1515＝1．
(2)∵10a＝2，∴lg
2＝a，
∴log26＝＝＝．
18．(本小题满分12分)(1)化简：log4(24×642)＋log318－log32＋log52×log2125；
(2)已知a＝2，b＝5，求·的值．
[解] (1)原式＝log4(42×46)＋log3＋log5125＝8＋2＋3＝13．
(2)a6b－6－6a3b－1＋9b4＝(a3b－3－3b2)2，
由a＝2，b＝5，得a3b－3<3b2．
∴原式＝·
＝－
＝－
＝－b2．
∵b＝5，故原式＝－50．
19．(本小题满分12分)(1)求64＋eq
\s\up12(－)－的值；
(2)若log23＝x，求的值．
[解] (1)64eq
\s\up12()＋eq
\s\up12(－)－＝16＋－＝16．
(2)若x＝log23，则2x＝3,2－x＝，
所以＝＝2x＋2－x＝3＋＝．
20．(本小题满分12分)
求下列各式中x的值：
(1)log3(log2x)＝0；
(2)log2(lg
x)＝1；
(3)5＝x；
(4)
(a)
c＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)．
[解] (1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1．∴x＝21＝2．
(2)∵log2(lg
x)＝1，∴lg
x＝2．∴x＝102＝100．
21．(本小题满分12分)
设M＝{0,1}，N＝{lg
a,2a，a,11－a}，是否存在实数a，使M∩N＝{1}?
[解] 不存在实数a，使M∩N＝{1}．理由如下：
若lg
a＝1，
则a＝10，此时11－a＝1，
从而11－a＝lg
a＝1，与集合元素的互异性矛盾；
若2a＝1，则a＝0，此时lg
a无意义；
若a＝1，此时lg
a＝0，从而M∩N＝{0,1}，与条件不符；
若11－a＝1，则a＝10，从而lg
a＝1，与集合元素的互异性矛盾．
综上，不存在实数a，使M∩N＝{1}．
22．(本小题满分12分)设a＝2×1
000eq
\s\up12()＋64eq
\s\up12()＋．
(1)化简上式，求a的值；
(2)设集合A＝{x|x>a}，全集为R，B＝(?RA)∩N，求集合B中的元素个数．
[解] (1)原式＝2×1
000eq
\s\up12()＋64eq
\s\up12()＋2
＝2×100＋16＋2＝218．
(2)A＝{x|x>218}，?RA＝{x|x≤218}，B＝{x|0≤x≤218，x∈N}，
所以B中元素个数为219．
6
