章末综合测评(六) 幂函数、指数函数和对数函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f＝1，当x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，则实数m＝( )
A．－1
B．0 C．1
D．2
C [∵f(x)是定义在R上的奇函数，f＝1，且x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，∴f＝log2＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1．故选C．]
2．若a>1，－1A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、二、四象限
A [y＝ax的图象在第一、二象限．∵－13．若log34·log48·log8m＝log416，则m等于( )
A．
B．9
C．18
D．27
B [log416＝2，由换底公式得log34·log48·log8m＝log3m＝2，∴m＝9．]
4．已知函数f(x)＝
，若函数f(x)存在实根，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
D [函数f(x)＝
的图象如图：
若函数f(x)存在实根，则实数a的取值范围是(0，＋∞)．故选D．]
5．函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log2x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(－2)＝( )
A．－1
B．1
C．－
D．
D [由y＝f(x)的图象与g(x)＝log2x的图象关于直线y＝x对称，可知f(x)与g(x)互为反函数．令log2x＝－2，得x＝，即f(－2)＝．]
6．已知a＝log2
0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
B [∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0．20.3∈(0,1)，∴a7．已知函数y＝f(x)的定义域为R，f(x＋1)为偶函数，且对?x1A．
B．(1,8)
C．∪(8，＋∞)
D．(－∞，1)∪(8，＋∞)
A [因为对?x11时，是单调递增函数，又因为f(3)＝1，所以有f(－1)＝1，当log2x≤1，即当0f(log2x)<1?f(log2x)－1?x>，∴当log2x>1，即当x>2时，
f(log2x)<1?f(log2x)综上所述：不等式f(log2x)<1的解集为．故选A．]
8．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知a>0，且a≠1，下列函数中一定经过点(2,1)的是( )
A．y＝loga(x－1)＋1
B．y＝ax－2
C．y＝(x－1)a
D．y＝ax2－5ax＋6a＋1
ABCD [因为x＝2时，y＝loga(2－1)＋1＝1，y＝a2－2＝1，y＝(2－1)a＝1，y＝4a－10a＋6a＋1＝1，所以应该选择ABCD．]
10．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．在(0,1)上是增函数
D．在(0,1)上是减函数
AC [由已知可得，f(x)的定义域为(－1,1)，f(x)＝ln
＝ln，又y＝－1在(0,1)上为增函数，∴f(x)在(0,1)上是增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．故选AC．]
11．设函数f的定义域为D，若对于任意x∈D，存在y∈D使＝C(C为常数)成立，则称函数f(x)在D上的“半差值”为C．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是( )
A．y＝x3＋1(x∈R)
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝ln
x(x>0)
D．y＝x2
AC [即对任意定义域中的x，存在y，使得f(y)＝f(x)－2；由于A、C值域为R，故满足；
对于B，当x＝0时，函数值为1，此时不存在自变量y，使得函数值为－1，故B不满足；
对于D，当x＝0时，不存在自变量y，使得函数值为－1，所以D不满足．故选AC．]
12．已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，则以下结论错误的是( )
A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有<0
B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有<0
C．f(x)有最小值，无最大值
D．g(x)有最小值，无最大值
ABC [对A，f(x)＝ex－e－x中，y＝ex为增函数，y＝e－x为减函数．故f(x)＝ex－e－x为增函数．
故任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有>0．故A错误．
对B，易得反例g(1)＝e1＋e－1，g(－1)＝e－1＋e1＝g(1)．故<0不成立．故B错误．
对C，因为f(x)＝ex－e－x为增函数，且当x→－∞时f(x)→－∞，
当x→＋∞时f(x)→＋∞．故f(x)无最小值，无最大值．故C错误．
对D，g(x)＝ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x即x＝0时等号成立．当x→＋∞时，g(x)→＋∞．故g(x)有最小值，无最大值．故选ABC．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若函数f(x)＝x2－(a－2)x＋1(x∈R)为偶函数，则a＝ ，loga＋logeq
\s\do12()＝ ．(本题第一空2分，第二空3分)
2 －2 [函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，
即：x2－(a－2)x＋1＝x2＋(a－2)x＋1恒成立，
∴a－2＝0，a＝2．
则loga＋logeq
\s\do12()＝log2＋log2＝log2＝log2＝－2．
]
14．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是 ．
[要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，且y＝ax2－x>0恒成立，即
解得a>．]
15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量P
mg/L，与时间t
h间的关系为P＝P0e－kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩 %的污染物．
81 [由题意知，前5小时消除了10%，即(1－10%)P0＝P0·e－5k．解得k＝－ln
0．9．则10小时后还剩P＝P0·e－10k＝P0·e2ln
0．9＝P0·eln
0．81＝0．81
P0＝81%P0．]
16．设实数a，b是关于x的方程|lg
x|＝c的两个不同实数根，且a(0,1) [由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg
x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg
a|＝|lg
b|，又因为y＝lg
x在(0，＋∞)上单调递增，且aa＝－lg
b，所以lg
a＋lg
b＝0，所以ab＝1,010＝1，所以abc的取值范围是(0,1)．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
[解] (1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝，∴f(x)＝．
(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，
∴f(2m－1)∵f(x)＝为减函数，
∴2m－1>m＋3，解得m>4，
∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．
18．(本小题满分12分)设函数y＝f(x)且lg(lg
y)＝lg(3x)＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的解析式及定义域；
(2)求f(x)的值域．
[解] (1)∵lg(lg
y)＝lg(3x)＋lg(3－x)，
∴lg(lg
y)＝lg[3x(3－x)]，
∴lg
y＝3x(3－x)，
∴y＝103x(3－x)，即f(x)＝103x(3－x)．
∵
∴0(2)令t＝3x(3－x)＝－3＋，则f(x)＝10t．
∵x∈(0,3)，∴t∈，
∴10t∈(1,10eq
\s\up12()]，
∴函数的值域为(1,10eq
\s\up12()]．
19．(本小题满分12分)已知幂函数y＝f(x)＝x－2，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0．
求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．
[解] 因为m∈{x|－2所以m＝－1,0,1．
因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)、(2)都不满足；
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0，＋∞)上是增函数．
所以幂函数f(x)的解析式为f(x)＝x3
所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．
20．(本小题满分12分)(1)已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2·3x＋1－9x的值域；
(2)已知－3≤logeq
\s\do12()x≤－，求函数f(x)＝log2
·log2
的值域．
[解] (1)f(x)＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3，令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24，所以函数f(x)的值域为[－24，12]．
(2)∵－3≤logeq
\s\do12()x≤－，
∴－3≤≤－，
即－3≤≤－，
∴≤log2x≤3．
∵f(x)＝log2·log2
＝(log2x－log2
2)·(log2x－log24)
＝(log2x－1)·(log2x－2)．
令t＝log2x，则≤t≤3，
f(x)＝g(t)＝(t－1)(t－2)
＝－．
∵≤t≤3，
∴f(x)max＝g(3)＝2，f(x)min＝g＝－．
∴函数f(x)＝log2·log2的值域为．
21．(本小题满分12分)已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
[解] (1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，
∴a＜1，即0＜a＜1．∴实数a的取值范围是(0,1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)∴
即解得即不等式的解集为．
(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝．
22．(本小题满分12分)如图，已知A(x1，m)，B(x2，m＋2)，C(x3，m＋4)(其中m≥2)是指数函数f(x)＝2x图象上的三点．
(1)当m＝2时，求f(x1＋x2＋x3)的值；
(2)设L＝x2＋x3－x1，求L关于m的函数L(m)；
(3)设△ABC的面积为S，求S关于m的函数S(m)及其最大值．
[解] (1)由题意A(x1，m)，B(x2，m＋2)，C(x3，m＋4)(其中m≥2)是指数函数f(x)＝2x图象上的三点，2x1＝m,2x2＝m＋2,2x3＝m＋4，
当m＝2时，2x1＝2,2x2＝4,2x3＝6，
f(x1＋x2＋x3)＝2x1＋x2＋x3＝2x1·2x2·2x3＝2×4×6＝48．
(2)x1＝log2m，x2＝log2(m＋2)，x3＝log2(m＋4)，
L＝x2＋x3－x1＝log2(m＋2)＋log2(m＋4)－log2m
＝log2，
即L(m)＝log2，m≥2．
(3)过A，B，C分别作x轴的垂线，垂足为D，E，F，如图所示：
△ABC的面积为S＝SADFC－SADEB－SBEFC
＝(m＋m＋4)[log2(m＋4)－log2m]－(m＋m＋2)[log2(m＋2)－log2m]－(m＋2＋m＋4)[log2(m＋4)－log2(m＋2)]
＝(2m＋4)log2－(2m＋2)log2－(2m＋6)log2
＝(2m＋2)＋log2－2log2
＝log2－2log2
＝log2
即S(m)＝log2，要取得最大值，只需y(m)＝取得最大值，
y(m)＝＝＝1＋，m∈[2，＋∞)，m2＋4m取得最小值12，
所以当m＝2时，y(m)＝取得最大值，
S(m)＝log2取得最大值log2．
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