章末综合测评(七) 三角函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，最小正周期为π的函数是( )
A．y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin
D．y＝cos
D [正、余弦函数的周期为T＝，故选D．]
2．已知点
P(3,4)
在角α的终边上，则cos的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
D [因为点
P(3,4)
在角α的终边上，所以|OP|＝＝5，cos＝－sin
α＝－，故选D．]
3．代数式sin(－330°)cos
390°的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
B [sin(－330°)·cos
390°＝sin
30°×cos
30°＝×＝．]
4．已知tan＝，则tan＝( )
A．
B．－
C．
D．－
B [tan＝tan
＝－tan＝－．]
5．函数y＝2|x|sin
2x(x∈R)的图象大致为( )
A B C D
D [由该函数为奇函数，排除选项A，B，由x＝时，函数值为0，可排除选项C，故选D．]
6．设A是△ABC的一个内角，且sin
A＋cos
A＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
B [将sin
A＋cos
A＝两边平方得
sin2A＋2sin
Acos
A＋cos2A＝，
故sin
Acos
A＝－．因为0＜A＜π，
所以sin
A＞0，cos
A＜0，即A是钝角．]
7．下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos
2x|
B．f(x)＝|sin
2x|
C．f(x)＝cos|x|
D．f(x)＝sin|x|
A [A中，函数f(x)＝|cos
2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin
2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos
x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x＜0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A．]
8．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
C [函数y＝－sinx的周期T＝4，且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是( )
A．tan
α＝－
B．＝sin
α－cos
α
C．cos
α＝－
D．＝sin
α＋cos
α
BC [由同角三角函数的基本关系式，知tan
α＝，故A错；因为α是第二象限角，所以sin
α>0，cos
α<0，所以sin
α－cos
α>0，sin
α＋cos
α的符号不确定，所以＝＝sin
α－cos
α，故B、C正确，D错．
故选BC．]
10．将函数y＝sin(x＋φ)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F′，若F′的一个对称中心为，则φ的取值可能是( )
A．
B．－
C．
D．
BD [由题意可知，图象F′对应的函数为y＝sin，则＋＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z．令k＝1，得φ＝；令k＝0，得φ＝－．故φ的取值可能是BD选项．故应选BD．]
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin
β＝
B．cos(π＋β)＝
C．tan
β＝
D．tan
β＝
AC [∵sin(π＋α)＝－sin
α＝－，
∴sin
α＝，若α＋β＝，则β＝－α．
A中sin
β＝sin＝cos
α＝±，故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin
α＝－，故B不符合条件；
C中，tan
β＝，即sin
β＝cos
β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin
β＝±，
即C符合条件；
D中，tan
β＝，即sin
β＝cos
β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin
β＝±，故D不符合条件．故选AC．]
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>
0)的图象经过点，且在区间上单调，则
ω
,
φ
可能的取值为( )
A．ω＝2，φ＝－
B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝6，φ＝
D．ω＝6，φ＝
BC [对于A，f(x)＝sin，f＝sin＝sin
＝1，图象不过点，不合题意；
对于B,
f(x)＝sin，f＝sin＝sin
＝，图象过点，
令2x－∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
所以f(x)＝sin在区间上单调递增；
对于C,
f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝，图象过点，
令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
所以f(x)＝sin在区间上单调递减；
对于D，f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝，图象过点，
令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
当k＝1，x∈，
所以f(x)＝sin在区间上不是单调函数，不合题意．
故选BC．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知α∈(0，π)，sin
α＋cos
α＝，则
tan
α
＝________．
－ [因为sin
α＋cos
α＝①，两边平方得：1＋2sin
α·cos
α＝，
所以sin
αcos
α＝－．
因为α∈(0，π)，所以sin
α>0，
cos
α<0，sin
α－cos
α＝＝②，
联立①②得：sin
α＝，cos
α＝，
所以tan
α＝－．]
14．设a＝sin
33°，b＝cos
55°，c＝tan
35°，则a，b，c的大小关系为________．(按由小到大顺序排列)
a55°＝sin(90°－55°)＝sin
35°，且35°>33°，根据y＝sin
x在(0°，90°)上单调递增，可得b>a；结合三角函数线可知b15．已知函数y＝asin
＋b在x∈上的值域为[－5,1]，则a＋b的值为________．
1或－5 [由题意知a≠0．∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈．
当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
综上，a＝4，b＝－3或a＝－4，b＝－1．
所以a＋b＝1或－5．]
16．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________，f＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
3 0 [由图象知T＝π，
∴T＝，A＝2，
又∵T＝，∴ω＝3，将点代入y＝2sin(3x＋φ)得：sin＝0，取φ＝－π，
∴f(x)＝2sin，
∴f＝2sin＝2sin
π＝0．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sin
α＋cos
α的值；
(2)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3∶4，求2sin
α＋cos
α的值．
[解] (1)∵r＝＝5，
∴sin
α＝＝－，cos
α＝＝，
∴2sin
α＋cos
α＝－＋＝－．
(2)当点P在第一象限时，
sin
α＝，cos
α＝，2sin
α＋cos
α＝2；
当点P在第二象限时，
sin
α＝，cos
α＝－，2sin
α＋cos
α＝；
当点P在第三象限时，
sin
α＝－，cos
α＝－，2sin
α＋cos
α＝－2；
当点P在第四象限时，sin
α＝－，cos
α＝，2sin
α＋cos
α＝－．
18．(本小题满分12分)已知cos(π＋α)＝－，且α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
[解] ∵cos(π＋α)＝－，
∴－cos
α＝－，cos
α＝，
又∵α在第四象限，
∴sin
α＝－＝－．
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)
＝－sin
α＝．
(2)
＝＝
＝＝－＝－4．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3tan．
(1)求f(x)的定义域；
(2)比较f与f的大小．
[解] (1)由已知得2x－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的定义域为
．
(2)f＝3tan＝3tan，f＝3tan＝3tan＝3tan＝3tan
．
因为－<－<<，且y＝tan
x在上单调递增，所以tan，所以f20．(本小题满分12分)如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多长时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
[解] (1)由题图可知，周期T＝2|＝π，
所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3．14
s．
(2)可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，
从题图中可以看出A＝4，T＝2×＝π．
即＝π，即ω＝2，将t＝，s＝4代入解析式，
得sin＝1，解得φ＝．
所以这条曲线的函数解析式为
s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(3)当t＝0时，s＝4sin＝2(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2
cm．
21．(本小题满分12分)设a为正实数．如图，一个水轮的半径为a
m，水轮圆心
O
距离水面
m，已知水轮每分钟逆时针转动
5
圈．当水轮上的点
P
从水中浮现时(即图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次达到最高点需要多少时间．
[解] 如图，以水轮圆心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
当t＝0时，点P的坐标为，角度为－；根据水轮每分钟逆时针转动5圈，可知水轮转动的角速度为
rad/s，所以t时刻，角度为t－．根据三角函数定义，可得h＝asin＋，t≥0．
(2)当h＝时，sin＝1，所以t－＝＋2kπ，解得t＝4＋12k，
所以当k＝0时，t＝4，即第一次达到最高点时需要4
s．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解] (1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝－＝2π．由T＝，得ω＝1．
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z．
又|φ|＜，解得φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋1．
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的周期为，又k＞0，∴k＝3．
令t＝3x－，∵x∈，∴t∈．
如图，sin
t＝s在上有两个不同的解的条件是s∈，∴方程f(kx)＝m在x∈时恰有两个不同的解的条件是m∈[＋1，3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．
1
