课时分层作业(三) 子集、真子集
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A．空集是任何集合的真子集
B．若AB，BC，则AC
C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D．?＝{0}
B [空集是任意非空集合的真子集，空集只有一个子集即它本身．空集不含任何元素，{0}中有一个元素0．]
2．已知集合A＝{x|－1
A．a≥4
B．a>4
C．a<4
D．a≤4
A [∵AB，故a≥4．]
3．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}(c≠d)，集合A满足A?B，A?C．则集合A可能的个数是( )
A．8
B．3
C．4
D．1
C [若A＝?，满足A?B，A?C．若A≠?，由A?B，A?C，知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．故选C．]
4．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义P－Q＝{x|x＝p—q，p∈P，q∈Q}，则集合P－Q的所有真子集的个数为( )
A．32
B．31
C．30
D．29
B [由所定义的运算，知P－Q＝{1,2,3,4,5}．则P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31．故选B．]
5．满足{1}?A的集合A的个数为( )
A．
2
B．
3
C．
8
D．
4
B [满足{1}?A{1,2,3}的集合A有：{1}、{1,2}、{1,3}．
因此，满足{1}?A{1,2,3}的集合A的个数为3．故选B．]
二、填空题
6．集合U，S，T，F的关系如图所示，下列关系错误的有
．(填序号)
①SU；②FT；③ST；④SF；⑤SF；⑥FU．
②④⑤ [①③⑥是正确的，②④⑤错误．]
7．已知?{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是
．
a≤ [∵?{x|x2－x＋a＝0}，
∴{x|x2－x＋a＝0}≠?，
∴x2－x＋a＝0至少有一个根，则Δ＝1－4a≥0，∴a≤．]
8．集合M＝{x|2a－1．
[∵N?M，∴?≤a≤1．]
三、解答题
9．设集合A＝{x|a－2(1)若AB，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使B?A?
[解] (1)AB，则或?0≤a≤1．
(2)要使B?A，则?a∈?．
∴不存在a∈R，使B?A．
10．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的集合．
[解] 由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3．
∴集合A＝{1,3}．
(1)当B＝?时，此时m＝0，满足B?A．
(2)当B≠?时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝．
∵B?A，∴＝1或＝3，
解之得m＝3或m＝1．
综上可知，所求实数m的集合为{0,1,3}．
1．已知A＝{0,1}，且B＝{x|x?A}，则B为( )
A．{0,1}
B．{{0}，{1}}
C．{{0}，{1}，{0,1}}
D．{{0}，{1}，{0,1}，?}
D [A的子集为?，{0}，{1}，{0,1}，故B＝{?，{0}，{1}，{0,1}}．]
2．已知集合M＝?x，N＝?x，则集合M，N之间的关系为( )
A．NM
B．N?M
C．MN
D．M?N
A [对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；而对于集合N，其组成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇数．
由真子集的概念知，NM．]
3．(多选题)已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B?A，则实数a的值可能是( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
ABC [因为B?A，所以2∈A，∈A，，解得a≤1．故选ABC．]
4．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是
．
M＝PS [M中的x＝3k－2＝3(k－1)＋1∈P，∴M?P，
同理P中的y＝3n＋1＝3(n＋1)－2∈M，∴P?M，
∴M＝P．
S中的z＝3×(2m)＋1，∵2m∈偶数，∴SP＝M．]
5．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}，且B?A，求实数a的取值范围．
[解] A＝{2,3}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}，B为方程x2＋ax＋6＝0的解集，所以分类讨论得：
①若B≠?，由B?A，∴B＝{2}或B＝{3}或B＝{2,3},
当B＝{2}时，方程x2＋ax＋6＝0有两个相等实根，
即x1＝x2＝2，x1x2＝4≠6，∴不合题意．
同理B≠{3}．
当B＝{2,3}时，a＝－5，符合题意．
②若B＝?，则Δ＝a2－4×6<0，∴－2综上所述，实数a的取值范围为{a|a＝－5或－2＜a＜2}．
4课时分层作业(四) 全集、补集
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|4A．{3}
B．{3,4}
C．{3,7}
D．{3,4,7}
B [A＝{3,4,5,6,7}，B＝{5,6,7}，∴?AB＝{3,4}．]
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x∈Z||x－3|<2}，则集合?UA＝( )
A．?
B．{1,2,5}
C．{1,5}
D．{1,4,5}
C [∵|x－3|<2，∴－23．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M?U，?UM＝{5,7}，则实数a＝( )
A．3
B．5
C．7
D．8
D [由题知a－5＝3，a＝8．]
4．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
C [∵?U(?UA)＝{x|3≤x≤4}＝A＝{x|a≤x≤b}，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝7．]
5．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1A，且k＋1A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5}，由S的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合的个数是( )
A．
4
B．
5
C．
6
D．
7
D [依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有3个．而S＝{1,2,3,4,5}的三个元素的子集有10个，所以含“孤立元”的集合共有7个．故选D．]
二、填空题
6．已知全集U＝{2,
0,
3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，?UP＝{－1}，则实数a的值为
．
2 [由已知，得－1∈U，且－1P，因此解得a＝2．
当a＝2时，U＝{2,0，－1}，P＝{2,0}，?UP＝{－1}，满足题意．因此实数a的值为2．]
7．若三个方程x2－ax＋4＝0，x2＋(a－1)x＋16＝0和x2＋2ax＋3a＋10＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是
．
{a|a≤－2，或a≥4} [当三个方程均无实根时，
有
?所以－2故三个方程均无实根时，a的取值范围为{a|－2取其补集，即得原问题的解，即三个方程中至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为{a|a≤－2，或a≥4}．]
8．已知集合U＝{－1,2,3,6}，且A?U，A＝{x|x2－5x＋m＝0}．若?UA＝{2,3}，则实数m的值为
．
－6 [∵U＝{－1,2,3,6}，?UA＝{2,3}，∴A＝{－1,6}，
则－1,6是方程x2－5x＋m＝0的两根，
故－1×6＝m，即m＝－6．
故实数m的值为－6．]
三、解答题
9．已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}．
(1)若?U(?UB)＝{0,1}，求实数a的值；
(2)若?UA＝{3,4}，求实数a的值．
[解] (1)∵?U(?UB)＝{0,1}，
∴B＝{0,1}，且B?U，
∴得a无解；
或得a＝2．
∴a＝2．
(2)∵?UA＝{3,4}，
又?UA?U，
∴|a－1|＝3或(a－2)(a－1)＝3，
∴a＝4或a＝－2或a＝．
经验证，当a＝4时，不合题意，舍去．
∴所求实数a的值为－2或．
10．设全集U＝R，A＝{x|3m－1[解] 由题意知，?UB＝{x|x≥3或x≤－1}．
(1)若A?UB，且A≠?时，则3m－1≥3或2m≤－1，
∴m≥或m≤－．
又A≠?，
∴3m－1<2m，
∴m<1，即m≤－．
(2)若A＝?，则3m－1≥2m，得m≥1．
综上所述，m≤－或m≥1．
1．设全集U和集合A，B，P，满足A＝?UB，B＝?UP，则A与P的关系是( )
A．A＝P
B．A?P
C．P?A
D．A≠P
A [由A＝?UB，得?UA＝B．
又∵B＝?UP，∴?UP＝?UA，
即A＝P．]
2．已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，C＝{x|x>a}，若?RA?C，则a的范围是( )
A．a≤－1
B．a<－1
C．a≥5
D．a>5
B [?RA＝{x|－1≤x≤5}，要使?RA?C，则a<－1．]
3．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝[2，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为
．
{1} [阴影部分可以看作A与B的公共部分在集合A中的补集．
由题知A与B的公共部分为{2,3,4,5}，设C＝{2,3,4,5}．∴?AC＝{1}．]
4．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，B＝，则?AB＝
．
{(0,0)} [A表示直线y＝2x上的点，B表示去掉了原点，∴?AB＝{(0,0)}．]
5．已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x<2，x∈P}，B＝{x|－a(1)若P＝R，求?UA中最大元素m与?UB中最小元素n的差m－n；
(2)若P＝Z，求?AB和?UA中所有元素之和及?U(?AB)．
[解] (1)由已知得?UA＝{x|－1≤x<0，或x＝2}，
?UB＝{x|－1≤x≤－a，或1∴m＝2，n＝－1，
∴m－n＝2－(－1)＝3．
(2)∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{x|0≤x<2，x∈Z}＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．
∴?AB＝{0}或?AB＝?，即?AB中元素之和为0．
又?UA＝{－1,2}，其元素之和为－1＋2＝1．
故所求元素之和为0＋1＝1．
∵?AB＝{0}，或?AB＝?，
∴?U(?AB)＝{－1,1,2}或?U(?AB)＝?U?＝U＝{－1，0,1,2}．
5