课时分层作业(一) 集合的含义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列条件能构成集合的是( )
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天所有课程
D [A，B，C的对象不确定，D项某校某班某一天所有课程的对象确定，故能构成集合的是D．]
2．下面有三个命题，正确命题的个数为( )
(1)集合N中最小的数是1；
(2)若－a不属于N，则a属于N；
(3)若a∈N，b∈N
，则a＋b的最小值为2．
A．0
B．1
C．2
D．3
A [(1)最小的数应该是0，(2)当a＝0．5时，－0．5N，且0．5N，(3)当a＝0，b＝1时，a＋b＝1．]
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3．14
B．－5
C．
D．
D [由题意知a应为无理数，故a可以为．]
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m等于( )
A．0
B．3
C．0,3
D．0,3,2
B [由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与集合中元素的互异性相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与集合中元素的互异性相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．]
5．设不等式x－a>0的解集为集合P，若2P，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(－∞，2]
C．[2，＋∞)
D．(2，＋∞)
C [因为2P，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2．
所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．]
二、填空题
6．(一题两空)设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则苏州
A；广州
A．(填“∈”或“”)
∈ [苏州不是省会城市，而广州是省会城市．]
7．(一题两空)设直线y＝2x＋3上的点的集合为P，则点(1,5)与集合P的关系是
，点(2,6)与集合P的关系是
．
(1,5)∈P (2,6)P [点(1,5)在直线y＝2x＋3上，
点(2,6)不在直线y＝2x＋3上．]
8．如果有一个集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是
．
x≠0,1,2， [由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，．]
三、解答题
9．已知集合M是由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4组成的，若2∈M，求x．
[解] 当3x2＋3x－4＝2，即x2＋x－2＝0时，得x＝－2，或x＝1，经检验，x＝－2，x＝1均不符合题意．
当x2＋x－4＝2，即x2＋x－6＝0时，得x＝－3或x＝2．
经检验，x＝－3或x＝2均符合题意．
∴x＝－3或x＝2．
10．已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则∈A．
(1)若a＝2，求出A中其他所有元素；
(2)0是不是集合A中的元素？请说明理由．
[解] (1)由2∈A，得＝－3∈A；
又由－3∈A，得＝－∈A；
再由－∈A，得＝∈A；
由∈A，得＝2∈A．
故A中其他所有元素为－3，－，．
(2)0不是集合A中的元素．
若0∈A，则＝1∈A，而当1∈A时，中分母为0，故0不是集合A中的元素．
1．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2
A．5
B．6
C．7
D．8
B [由题知集合P中元素为3,4,5．又因为a为整数，故a＝6．]
2．已知1，x，x2三个实数构成一个集合，则x满足的条件是( )
A．x≠0
B．x≠1
C．x≠±1
D．x≠0且x≠±1
D [根据集合元素的互异性，得
解得x≠0且x≠±1．]
3．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是
．
8 [由题意知，a＋b可以是0＋1,0＋2,0＋6,2＋1,2＋2,2＋6,5＋1,5＋2,5＋6共8个不同的数值．]
4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为
．
2或4 [若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0A．]
5．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
[证明] (1)若a∈A，则∈A．
∵2∈A，∴＝－1∈A．
∵－1∈A，∴＝∈A．
∵∈A，∴＝2∈A．
∴A中还有另外两个元素为－1，．
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．
1课时分层作业(二) 集合的表示
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．不等式|8－3x|>0的解集是( )
A．?
B．R
C．
D．
C [由|8－3x|>0可知，8－3x≠0，即x≠．故不等式解集为．]
2．已知A＝{－1，－2,0,1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B为( )
A．{1,2}
B．{0,1,2}
C．{－1，－2,0,1}
D．?
B [当y＝－1，－2,0,1时对应的x＝1,2,0,1，故B＝{0,1,2}．]
3．下列各组集合中，满足P＝Q的是( )
A．P＝{(1,2)}，Q＝{1,2}
B．P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}
C．P＝{1,2,3}，Q＝{3,2,1}
D．P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，
Q＝{y|y＝x－1，x∈R}
C [A中P为坐标，Q为数．
B中P，Q都是坐标，但两坐标不同．
C中P＝Q．
D中P为直线y＝x－1上点的坐标，而Q表示直线y＝x－1上点的纵坐标．]
4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
D [列表如下：
0
1
2
0
0
－1
－2
1
1
0
－1
2
2
1
0
可见B中元素有0,1,2，－1，－2．]
5．已知x，y为非零实数，则集合M＝可简化为( )
A．{0}
B．{－1}
C．{3}
D．{－1,3}
D [当x＞0，y＞0时，m＝3，
当x＜0，y＜0时，m＝－1－1＋1＝－1．
若x，y异号，不妨设x＞0，y＜0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1．
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．]
二、填空题
6．设集合A＝{4x，x－y}，B＝{4,7}，若A＝B，则x＋y＝
．
－5或－ [∵A＝B，∴或解得或∴x＋y＝－5或－．]
7．若集合A＝{－1,2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为
．
－3 [∵A＝B，∴－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的根，
由根与系数的关系得∴a＝－1，b＝－2，
∴a＋b＝－3．]
8．(一题两空)已知集合A＝，B＝{x2，x＋y,0}，若A＝B，则x2
019＋y2
020＝
，A＝B＝
．
－1 {－1,0,1} [由题知x≠0，∴y＝0，则A＝{x,0,1}，B＝{x2，x,0}，∴x2＝1，∴x＝±1，y＝0．
当x＝1时，A中有两个1，与元素的互异性矛盾，
当x＝－1时，符合题意，此时A＝B＝{－1,0,1}，
x2
019＋y2
020＝－1．]
三、解答题
9．试分别用列举法和描述法表示下列集合．
(1)方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
[解] (1)∵x2－9＝0，∴x＝±3，列举法表示为{－3,3}，
描述法表示为{x|x2－9＝0}．
(2)大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19．
列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}，
描述法表示为{x|1010．设A表示集合{a2＋2a－3,2,3}，B表示集合{2，|a＋3|}，已知5∈A且5B，求a的值．
[解] ∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4．当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去．当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意．综上所述，a＝－4．
1．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，则a2
020＋b2
020的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．0或1
B [由题知 (1)或 (2)
解(1)得此时，A中的三个元素均为1，这与互异性矛盾．解(2)得a＝－1或1(舍)，此时b＝0，
∴a2
020＋b2
020＝1．]
2．设是R上的一个运算，A是某些实数组成的集合．若对任意a，b∈A，有ab∈A，则称A对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集
B．整数集
C．有理数集
D．无理数集
C [自然数集中的减法运算的结果可能产生负数，如3－4＝－1N；整数集中的除法运算的结果可能产生小数，如2÷4＝0．5Z；无理数集中乘法运算的结果可以是有理数，如×＝2∈Q．故选C．]
3．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈
(填M，P，Q中的一个)．
Q [依据题意设a＝3k，b＝3t＋1，c＝3m－1(k，t，m∈Z)，则a＋b－c＝3(k＋t－m)＋2＝3(k＋t－m＋1)－1，所以该元素具有集合Q中元素的特征性质，应属于集合Q．]
4．(一题两空)已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，则x＝
，y＝
．
－1 －1 [∵0∈B，A＝B，∴0∈A．
若x＝0，则A＝{0,0，－y}不成立，∴x≠0．
又y∈B，∴y≠0，∴只能x－y＝0．∴x＝y．
从而A＝{0，x，x2}，B＝{0，|x|，x}．
∴x2＝|x|．∴x＝0或x＝1或x＝－1．
经验证x＝0，x＝1均不合题意，
∴x＝－1，即x＝－1，y＝－1适合．]
5．已知集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．
(1)试分别判断x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系；
(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．
[解] (1)x1＝－＝0＋(－1)×，
∵0，－1∈Z，∴x1∈A；
x2＝＝＝1＋×，
∵1∈Z，但Z，∴x2A；
x3＝(1－2)2＝9－4＝9＋(－4)×，
∵9，－4∈Z，∴x3∈A．
(2)证明：∵x1，x2∈A，∴可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，且m1，n1，m2，n2∈Z．
∴x1·x2＝(m1＋n1)(m2＋n2)＝m1m2＋(m2n1＋m1n2)＋2n1n2＝(m1m2＋2n1n2)＋(m2n1＋m1n2)．
又m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，∴x1·x2∈A．
6．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中最多有一个元素，求a的取值范围；
(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围；
(4)若A＝?，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素，或者只有一个元素，由(1)知当a＝0时只有一个元素，当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a<0，即a>1时，A为?；Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的根，A中有一个元素．故当a＝0或a≥1时，A中最多有一个元素．
(3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．当A中有两个元素时，a≠0且Δ>0，得a<1且a≠0，结合(1)可知，a≤1．
(4)A＝?时，由(2)知，a>1．
5