课时分层作业(七) 充分条件、必要条件、充要条件
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．]
2．“a≥4”是“关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)有实数解”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [因为关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)有实数解，所以Δ＝a2－4a≥0，即a≥4或a≤0．所以“a≥4”是“关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)有实数解”的充分不必要条件，故选A．]
3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是( )
A．－2≤x≤2
B．－2C．0D．1A [由x2<4得－24．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A．a＋b<0
B．a－b>0
C．>1
D．<－1
A [a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0?a＋b<0．故选A．]
5．(多选题)使不等式1＋>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>2
B．x≥0
C．x<－1或x>1
D．－1AC [不等式1＋>0等价于>0，也就是(x＋1)x>0，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
A、B、C、D四个选项中，只有A、C中的不等式(不等组)对应的集合为(－∞，－1)∪(0，＋∞)的真子集．故选AC．]
二、填空题
6．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的
条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
必要不充分 [由两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1?∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．]
7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是
．
{a|a≤1} [p：x>1，若p是q的充分条件，则p?q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1．]
8．已知非空数集A，B，R为实数集，则“A∩(?RB)＝?”是“AB”的
条件．
必要不充分 [因为A∩(?RB)＝??A?BAB，但AB?A?B，所以“A∩(?RB)＝?”是“AB”的必要不充分条件．]
三、解答题
9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a[解] 在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p是q的充要条件；
在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在(3)中，若a10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
[解] (1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要?{x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2．
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}?，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(
)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
A [因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙丙，如图．综上，有丙?甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．]
2．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(
)
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
B [由A∪B＝C且B不是A的子集，知，x∈A?x∈C，x∈Cx∈A，所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]
3．若p：x－3<0是q：2x－3．
{m|m>3} [由x－3<0得x<3，由2x－3由p是q的充分不必要条件知{x|x<3}，
所以(m＋3)>3，解得m>3．]
4．设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是
．
[因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件，
所以解得0≤a≤．]
5．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[解] ①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足即0＜a≤．
综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤．
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤．
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