课时分层作业(十一) 基本不等式的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2
B．a
C．
D．3
D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥
2＋1＝3．]
2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
A．最大值为0
B．最小值为0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
C [∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．]
3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
B [由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．]
4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．3
B．6
C．9
D．12
C [x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋4
＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9．
当且仅当即时等号成立，故x＋y的最小值为9．]
5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16
B．25
C．9
D．36
B [(1＋x)(1＋y)≤
＝＝＝25，
因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．]
二、填空题
6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为___________．
[答案] 1
7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72
dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2
dm，左右空白各宽1
dm，则四周空白部分面积的最小值是____________dm2．
56 [设阴影部分的高为x
dm，则宽为
dm，四周空白部分的面积是y
dm2．
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，即x＝12
dm时等号成立．]
8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是____________．
[6，＋∞) [∵a，b∈(0，＋∞)，a＋b＋3＝ab≤，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解之得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．]
三、解答题
9．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
[解] ∵a>b>0，
所以b(a－b)≤＝，
∴a2＋≥a2＋≥16．
当且仅当即时取等号．
故a2＋的最小值为16．
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2
000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5
000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解] 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．
1．若－4A．有最小值1
B．有最大值1
C．有最小值－1
D．有最大值－1
D [f(x)＝＝，
又∵－40．
故f(x)＝－≤－1．
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．]
2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4)
D．(－4,2)
D [∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－43．已知实数x，y，z满足则xyz的最小值为_____________．
9－32 [由xy＋2z＝1，得z＝，
所以5＝x2＋y2＋≥2|xy|＋，
即或
解得0≤xy≤－3＋2或5－2≤xy＜0，
所以xyz＝xy·＝－＋．
综上，知当xy＝5－2时，xyz取得最小值9－32．]
4．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，则这两个数的和_______________．
16 [设＋＝1，a，b∈N
，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋＋
≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．
又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12．
这两个数的和是16．]
5．如图，设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，
设AB＝x．
(1)用x表示DP；
(2)用x表示△ADP的面积；
(3)求△ADP面积的最大值及此时x的值．
[解] (1)∵AB＝x，∴AD＝12－x，
又DP＝PB′，∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，
∴由勾股定理有(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，
∴DP＝12－(6＜x＜12)．
(2)S△ADP＝AD·DP＝(12－x)＝108－(6＜x＜12)．
(3)∵6＜x＜12，∴6x＋≥2
＝72，
∴S△ADP＝108－≤108－72，
当且仅当6x＝，即x＝6时取等号．
∴当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72．
1
