课时分层作业(十二) 从函数观点看一元二次方程
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是( )
A．1
B．2
C．1或2
D．0
C [由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2．]
2．函数y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)的零点为－2和3，那么函数y＝cx2－bx＋a的零点为( )
A．－和
B．和－
C．－3和2
D．无法确定
A [由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，
∴b＝－a，c＝－6a，
由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝，故选A．]
3．关于x的函数y＝
x2－2ax－8a2
(a>0)的两个零点解集为x1,
x2，且x2－x1＝15，则a＝( )
A．
B．
C．
D．
A [由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2．
由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝．故选A．]
4．已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是( )
A．
B．(－4，－3]
C．
D．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)
C [x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象得：方程的判别式Δ>0，当x＝2时函数值y>0，函数对称轴x＝3>2．即解得－4
二、填空题
5．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＋＝ ．
1 [因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得
所以＋＝＝1．]
6．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为 ．
[当a＝0时，由y＝0得x＝－2符合题意，当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－＝－2
即a＝，所以实数a的取值集合为．]
7．函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为 ．
[因为函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以解得0三、解答题
8．求下列函数的零点．
(1)
y＝x－2－3；
(2)
y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)．
[解] (1)由x－2－3＝0得(＋1)(－3)＝0，
又≥0，所以＝3，即x＝9，所以函数y＝x－2－3的零点为9．
(2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2)
＝0得
[x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0，
①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4；
②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1)．
9．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
[证明] 法一：对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0，
所以函数y＝ax2－x－a有两个零点．
法二：因为函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)的图象为开口向上的抛物线，
无论a为任何实数，x＝－1时，y＝(－1)2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M(－1，－1)，
所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
1．对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中错误的是( )
A．函数一定有两个零点
B．a>0时，函数一定有两个零点
C．a<0时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
A [当a＝0时，由y＝0得x＝0，函数有一个零点；当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，所以A选项错误，故选A．]
2．已知实数am3．已知函数y＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有y≤0，则实数a的取值范围是 ．
[－4,0] [若a＝0，则y＝－1≤0恒成立；若a≠0，则由题意，得
解得－4≤a<0，综上，得a∈[－4,0]．
]
4．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是 ．
[由题意知(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0恒成立，即函数y＝(a2－4)x2＋(a＋2)x－1的图象恒在x轴的下方，当a＝－2时，函数y＝－1，符合题意；当a＝2时，函数y＝4x－1的图象恒在x轴的下方，矛盾，当a≠±2时，函数y＝(a2－4)x2＋(a＋2)x－1的图象是抛物线，开口向下，且顶点在x轴下方，即解得－25．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>，求实数a的取值范围．
[解] 函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，
又x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1，
所以解得－即实数a的取值范围是．
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