苏教版（2019） 高中数学 必修第一册 3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 （课件+课时练共4份打包）

课时分层作业(十四)　一元二次不等式的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x<1}
C．{x|－1≤x≤1}
D．{x|－1B　[原不等式?
∴－1≤x<1．]
2．不等式<0的解集为(　　)
A．{x|－1B．{x|1C．{x|2D．{x|－1A　[原不等式?
∴－13．不等式组有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
A　[由题意得，a2＋1∴只须4＋2a>a2＋1，即a2－2a－3<0，
∴－14．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要．]
5．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．－1B．0C．－D．－C　[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
又不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－二、填空题
6．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是　　　　．
(－∞，－5]　[设y＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有x＝1和x＝2时，函数的值均为非正数，即解得m≤－5．]
7．某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2
400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是　　　　．
[3,5]　[设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2
400××t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5．]
三、解答题
8．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?
[解]　(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴解得a＝3．
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，
∴所求不等式的解集为．
(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6．
9．某地区上年度电价为0．8元/kw·h，年用电量为a
kw·h．本年度计划将电价降低到0．55元/kw·h至0．75元/kw·h之间，而用户期望电价为0．4元/kw·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0．3元/kw·h．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0．2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
[解]　(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为
y＝(x－0．3)(0．55≤x≤0．75)．
(2)依题意，有
整理，得
解此不等式，得0．60≤x≤0．75．
∴当电价最低定为0．60元/kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%．
1．下列选项中，使不等式x<A．(－∞，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
A　[法一：取x＝－2，知符合x<法二：由题知，不等式等价于·<0，即<0，从而<0，解得x<－1，选A．]
2．函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为(　　)
A．(0,1)
B．[1，＋∞)
C．[0,1]
D．(－∞，0]
C　[kx2－6kx＋(k＋8)≥0恒成立，
当k＝0时，满足．
当k≠0时，?0综上，0≤k≤1．]
3．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝　　　　．
4　[∵(x－a)(x＋1)>0与>0同解，∴(x－a)(x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，
∴4，－1是(x－a)(x＋1)＝0的根，∴a＝4．]
4．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是　　　　．
(－∞，－3]　[设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，
∴该函数在
[0,1]上y随着x的增大而减小，
∴当x＝1时，函数取得最小值－3，
∴要使x2－4x≥m对于任意x∈[0,1]恒成立，则需m≤－3．]
5．设不等式mx2－2x－m＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
[解]　原不等式可化为(x2－1)m－(2x－1)＜0．
令y＝(x2－1)m－(2x－1)，其中m∈[－2,2],
则原命题等价于关于m的一次函数(x2－1≠0时)或常数函数(x2－1＝0时)在m∈[－2,2]上的函数值恒小于零．
(1)当x2－1＝0时，由y＝－(2x－1)＜0得x＝1．
(2)当x2－1＞0时，y在[－2,2]上随m的增大而增大，要使y＜0在[－2,2]上恒成立，
只需
解得1＜x＜．
(3)当x2－1＜0时，y在[－2,2]上是随m的增大而减小，要使y＜0在[－2,2]上恒成立，
只需
解得＜x＜1．
综合(1)(2)(3)，得＜x＜．
6课时分层作业(十三)　一元二次不等式及其解法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A．　
B．
C．?
D．
D　[(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－．]
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N
，x≤5}，则A∩B等于(　　)
A．{1,2,3}
B．{1,2}
C．{4,5}
D．{1,2,3,4,5}
B　[∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－又x∈N
且x≤5，则x＝1,2．]
3．若0A．
B．
C．
D．
D　[04．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　　)
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－3C　[由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，
∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a>0，
∵a<0，∴x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，∴－25．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．0＜x＜2
B．－2＜x＜1
C．x＜－2或x＞1
D．－1＜x＜2
B　[根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是－2＜x＜1．]
二、填空题
6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为　　　　　　　　．
{x|－4＜x＜1}　[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－47．若关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是　　　　　　　　．
1　[将原不等式化为x2＋(m－2)x＜0，即x(x＋2m－4)＜0，故0,2是对应方程x(x＋2m－4)＝0的两个根，代入得m＝1．]
8．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B?A，则a的取值范围为　　　　　　　　．
{a|a≤1}　[A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x若B?A，如图，则a≤1．
]
三、解答题
9．求下列不等式的解集：
(1)x2－5x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0．
[解]　(1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为?．
10．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0．
[解]　原不等式可化为
[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小，
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)．
(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4．
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或x综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，
当a＝3时，解集为{x|x≠4}，
当a>3时，解集为{x|x>2(a－1)或x1．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A．
B．R
C．
D．?
A　[因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A．]
2．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为(　　)
A．{x|－2B．{x|x>2或x<－1}
C．{x|x>1或x<－2}
D．{x|x<－1或x>1}
C　[∵ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1∴解得
∴bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，
解得x>1或x<－2．]
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是　　　　　　　　．
{x|2＜x＜3}　[由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，且a＜0，由根与系数的关系，得
＋＝，×＝－，解得a＝－6，b＝5，∴不等式x2－bx－a＜0，即为x2－5x＋6＜0的解集为{x|2＜x＜3}．]
4．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A?{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为　　　　　　　　．
－1＜a≤　[设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A?{x|1≤x≤3}，
所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0．
若A＝?，则Δ＝4a2－4(a＋2)＜0，
即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2．
若A≠?，
则
即所以2≤a≤．
综上，a的取值范围为－1＜a≤．]
5．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
[解]　原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>．
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是．
综上，当a<－1时，原不等式的解集为，当a>时，原不等式的解集为．
6