课时分层作业(二十二) 函数的最大值、最小值
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则关于f(x)的最值的说法正确的是( )
A．只有最大值
B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值
D．既无最大值，又无最小值
D [f(x)＝画出图象(略)可知，既无最大值又无最小值．]
2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为( )
A．0
B．±2
C．2
D．－2
B [由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2．综上知a＝±2．]
3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2
B．y＝3x－2
C．y＝x2
D．y＝1－x
A [B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值．]
4．函数f(x)＝|1－x|－|x－3|，x∈R的值域为( )
A．[－2,2]
B．(－2,2]
C．(－2,2)
D．[－2,2)
A [f(x)＝|1－x|－|x－3|＝|x－1|－|x－3|，利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为[－2,2]．]
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a>0
B．a≥0
C．a<0
D．a≤0
C [令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，图象如图：
∴f(x)的最小值为f(0)＝f(2)＝0．
而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0．]
二、填空题
6．(一题两空)函数f(x)＝|x－2|－2在区间[0,3]上的最小值为 ，最大值为 ．
－2 0 [f(x)＝图象如图．
由图可知，x＝2时，f(x)min＝－2；
x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0．]
7．已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为 ．
[∵≤f(x)≤，∴≤≤．
令t＝，
则f(x)＝(1－t2)，
令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，
即y＝－(t－1)2＋1．
∴当t＝时，y有最小值；当t＝时，y有最大值．
∴g(x)的值域为．]
8．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是 ．
2≤m≤4 [f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．
由最小值为1知m≥2．
由最大值为5知f(0)＝5，f(4)＝5．所以2≤m≤4．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2ax＋(a∈R)．
(1)当a＝时，试判断f(x)在(0,1]上的单调性并用定义证明你的结论；
(2)对于任意的x∈(0,1]，使得f(x)≥6恒成立，求实数a的取值范围．
[证明] (1)取任意的x1，x2，且0f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋
＝(x1－x2)．(
)
∵0得(
)式大于0，即f(x1)－f(x2)>0
所以f(x)在(0,1]上的单调递减．
(2)由f(x)≥6在(0,1]上恒成立，得2ax＋≥6
恒成立，
即2a≥6－，∈[1，＋∞)?eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))max＝9?2a≥9，即a≥．
10．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2x＋2．
(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
[解] y＝f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1．
(1)∵对称轴x＝1∈[0,4]，∴当x＝1时，y有最小值，
ymin＝f(1)＝1．
∵f(0)＝2ymax＝f(4)＝10．
(2)∵1[2,3]，且1<2，∴f(x)在[2,3]上是单调增函数，
∴当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝2，
当x＝3时，f(x)max＝f(3)＝5．
(3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，
当t＋1<1，即t<0时，函数在[t，t＋1]上为减函数，
g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t＋1≥1且t<1，即0≤t<1时，g(t)＝f(1)＝1；
当t≥1时，函数在[t，t＋1]上为增函数，
g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2．∴g(t)＝
1．定义新运算“”：当a≥b时，ab＝a；当aA．－2
B．－1
C．0
D．6
D [由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6．]
2．函数f(x)满足f(x＋2)＝3f(x)，且x∈R，若当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－2x＋2，则当x∈[－4，－2]时，f(x)的最小值为( )
A．
B．
C．－
D．－
A [因为f(x＋2)＝3f(x)，所以f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)．
因为当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－2x＋2，所以当x∈[－4，－2]，即x＋4∈[0,2]时，f(x)＝f(x＋4)＝(x＋3)2＋，故当x＝－3时，f(x)取得最小值，故选A．]
3．对任意的两个实数a，b，定义min(a，b)＝若f(x)＝4－x2，g(x)＝3x，则min(f(x)，g(x))的最大值为 ．
3 [f(x)－g(x)＝4－x2－3x，
当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)≥0，即－4≤x≤1时，f(x)≥g(x)．
当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)＜0，即x＞1或x＜－4时，f(x)＜g(x)，
所以min(f(x)，g(x))＝作出大致图象如图所示，由图象可知函数的最大值在点A处取得，最大值为f(1)＝3．]
4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0．
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
[解] (1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0．
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
当x>1时，f(x)<0，∴f<0，
即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由f＝f(x1)－f(x2)，得f＝f(9)－f(3)，
而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2．
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2．
1课时分层作业(二十一) 函数的单调性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(|x|)的图象为( )
B [函数y＝f(|x|)的图象可以由函数y＝f(x)的图象删除y轴左侧图象，保留y轴右侧图象并将保留的图象沿y轴对翻到左侧即可．故选B．]
2．下列函数中，在[1，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝(x－2)2
B．y＝|x－1|
C．y＝
D．y＝－(x＋1)2
B [A中，y＝(x－2)2在[2，＋∞)上为增函数，在(－∞，2]上为减函数，故错误；B中，y＝|x－1|＝在[1，＋∞)上为增函数，故正确；选项C，D中，函数在[1，＋∞)上为减函数，故错误．故选B．]
3．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0，则必有( )
A．函数f(x)先增后减
B．函数f(x)先减后增
C．函数f(x)是R上的增函数
D．函数f(x)是R上的减函数
C [由＞0知，当a＞b时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．]
4．已知f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，那么f(a2－a＋1)与f的大小关系是( )
A．f(a2－a＋1)>f
B．f(a2－a＋1)≤f
C．f(a2－a＋1)≥f
D．f(a2－a＋1)B [由题意知a2－a＋1＝2＋≥．
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f．故选B．]
5．已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是( )
B [因为函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，所以：
①当a＝0，y＝2ax＋b的图象可能是A；②当a＞0时，－≥0?b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C；③当a＜0时，－≥0?b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D．故y＝2ax＋b的图象不可能是B．]
二、填空题
6．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是 ．
[0,1) [由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．]
7．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－3)＜f(2－x)，则x的取值范围是 ．
[由题意，得
解得2≤x＜，故满足条件的x的取值范围是2≤x＜．]
8．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是 ．
[f(x)＝＝＝a＋在区间(－2，＋∞)上是增函数，结合反比例函数性质可知1－2a<0，
∴a>，则a的取值范围是．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝．
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)＝在[1，＋∞)上是单调增函数．
[解] (1)由题意知x＋1≠0，
即x≠－1．
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f(x)＝＝2－，
∴f(x2)－f(x1)＝－＝．
∵x10．
又∵x1，x2∈[1，＋∞)，
∴x2＋1>0，x1＋1>0．
∴f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x2)>f(x1)．
∴函数f(x)＝在[1，＋∞)上是单调增函数．
10．作出函数f(x)＝＋的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
[解] 原函数可化为
f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝
图象如图所示．
由图象知，函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．
其中单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋∞)．
1．已知f(x)为R上的减函数，则满足fA．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C [由函数f(x)是减函数且f1．解得－12．若函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f(x)－3x]＝4，则f(2)的值是( )
A．4
B．6
C．8
D．10
D [∵对任意x∈R，都有f[f(x)－3x]＝4，且函数f(x)在R上是单调函数，
故f(x)－3x＝k，即f(x)＝3x＋k，∴f(k)＝3k＋k＝4，解得k＝1，
故f(x)＝3x＋1，∴f(2)＝10，故选D．]
3．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是 ．
[由题意知，解得所以a∈．]
4．讨论函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．
[解] f(x)＝＝a＋，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝(1－2a)，
∵－20，
又(x2＋2)(x1＋2)>0．
(1)若a<，则1－2a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．
(2)若a>，则1－2a<0．
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．
综上，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；
当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．
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