课时分层作业(二十三) 函数的奇偶性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3
B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1
D．y＝－
B [对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－不是偶函数．]
2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．偶函数
B．奇函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．非奇非偶函数
A [F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．]
3．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调增区间为( )
A．[1，＋∞)
B．[－1,0]
C．[－1，＋∞)
D．[－1,0]和[1，＋∞)
D [偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1,0]和[1，＋∞)．]
4．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A．－
B．－1
C．
D．1
C [函数f(x)的定义域为．
又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝．]
5．已知偶函数f(x)在区间
[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(－1,1)
B [首先函数定义域是R，再者根据f(2x－1)二、填空题
6．函数f(x)在R上为奇函数，且f(x)＝＋1，x>0，则当x<0时，f(x)＝ ．
－－1 [当x<0，即－x>0时，f(－x)＝＋1．
∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即
－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1，(x<0)．]
7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝ ．
1 [∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1．
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1．
∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1．]
8．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln
x，则f的值为 ．
ln
2 [由已知可得f＝ln
＝－2，
所以f＝f(－2)．
又因为f(x)是偶函数，
所以f＝f(－2)＝f(2)＝ln
2．]
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
(5)f(x)＝ln(－x)．
[解] (1)∵f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)∵f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0．
综上，对任意x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数．
(5)因为对于任意x∈R，－x>|x|－x≥0，所以函数f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝lg(＋x)＝ln
＝－lg(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
10．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)[解] 由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝2＋>0，
2a2－2a＋3＝2＋>0，
且f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，
即3a－2>0，解得a>．
1．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a为( )
A．－1
B．2
C．－1或2
D．不存在
A [假设a≥0，则f(a)＝a(a＋1)＝－2，即a2＋a＋2＝0，方程无解，所以a≥0不成立，因此a<0，则－a>0，所以f(－a)＝－a(－a＋1)，由奇函数f(－a)＝－f(a)，即f(－a)＝a2－a＝2，解得a＝－1或a＝2(舍)．]
2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(1)＝0，则不等式≥0的解集为( )
A．(－∞，－1]∪(0,1]
B．[－1,0]∪[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,0)∪(0,1]
C [由奇函数的定义可知不等式≥0即≥0，则≤0，
结合奇函数的性质绘制函数f(x)的大致图象如图所示，原不等式等价于：
或
，
结合函数图象可得不等式的解集分别为(－∞，－1]和[1，＋∞)，
综上可得，不等式≥0的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．选C．]
3．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是 ．
0 [由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0．]
4．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2，则奇函数f(x)的值域是 ．
{－2,0,2
} [奇函数的图象关于原点对称，所以当x<0时，f(x)＝－2，又定义域为R，所以f(0)＝0，因此函数的值域为{－2,0,2
}．]
5．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2．若当x∈[1,3]时，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值．
[解] 当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2＝－，
∴当x∈[－3，－1]时，f(x)min＝f＝－，f(x)max＝f(－3)＝2．
又∵函数为奇函数，∴函数在x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是－2，，∴m的最小值为，n的最大值为－2，∴(m－n)min＝－(－2)＝，即m－n的最小值为．
1
