课时分层作业(二十四) 幂函数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能是一条直线；③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限．其中正确的有( )
A．①③
B．②④
C．⑤⑥
D．③⑥
C [幂函数y＝xn，只有当n>0时，其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故①错误；幂函数y＝xn，当n＝1时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数y＝xn，当n＝0时，则其图象是y＝1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故③错误；幂函数y＝x2，当x∈(0，＋∞)时，是增函数，当x∈(－∞，0)时，是减函数，故④错误；根据幂函数的性质可知，只有⑤⑥是正确的．]
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [使函数y＝xα的定义域为R的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3．]
3．已知幂函数f(x)＝(m2－3)x－m在(0，＋∞)为单调增函数，则实数m的值为( )
A．
B．±2
C．2
D．－2
D [因为函数f(x)＝(m2－3)x－m为幂函数，所以m2－3＝1，所以m＝±2，因为函数f(x)在(0，＋∞)为单调增函数，所以－m>0，因此m＝－2，选D．]
4．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f＝( )
A．16
B．4
C．
D．
D [因为函数f(x)是幂函数，设f(x)＝xα，由题设＝2?3α＝2，
所以f＝＝＝．]
5．不论α取何值，函数y＝(x－1)α＋2的图象恒过点A，则点A的坐标为( )
A．(1,3)
B．(2,3)
C．(2,1)
D．(0,3)
B [∵幂函数y＝xα的图象恒过点(1,1)，
∴y＝(x－1)α的图象恒过点(2,1)，
∴y＝(x－1)α＋2的图象恒过点(2,3)．]
二、填空题
6．若幂函数y＝xeq
\s\up12()
(m，n∈N
且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是 ．
①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1．
③ [由题图知，函数y＝xeq
\s\up12()为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以<1，选③．]
7．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x
(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为 ．
1 [由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．]
8．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 ．
2，，－，－2 [函数y＝x－2，y＝x2，y＝xeq
\s\up12(－)，y＝xeq
\s\up12()中令x＝4得到的函数值依次为，16，，2，函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝xeq
\s\up12()，y＝xeq
\s\up12(－)，y＝x－2，因此相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为2，，－，－2．]
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)3eq
\s\up12()和3．1eq
\s\up12()；
(2)8eq
\s\up12(－)和(－9)
eq
\s\up12(－)；
(3)eq
\s\up12()，eq
\s\up12()和eq
\s\up12()．
[解] (1)构造函数f(x)＝xeq
\s\up12()，此函数在[0，＋∞)上是增函数．∵3<3.1，
∴3eq
\s\up12()<3.1eq
\s\up12()．
(2)构造f(x)＝xeq
\s\up12(－)，函数是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，
所以(－9)
eq
\s\up12(－)＝9eq
\s\up12(－)．
∵8<9，∴8eq
\s\up12(－)>9eq
\s\up12(－)，∴
8eq
\s\up12(－)>(－9)
eq
\s\up12(－)．
(3)构造函数y＝xeq
\s\up12()，此函数为偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，则eq
\s\up12()＝eq
\s\up12()>eq
\s\up12()＝eq
\s\up12()>0．
函数y＝xeq
\s\up12()，此函数在R上是增函数，
则eq
\s\up12()<0eq
\s\up12()<0，
故eq
\s\up12()
\s\up12()\s\up12()．
10．已知幂函数y＝xm－2(m∈N)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称．求m的值，并画出它的图象．
[解] ∵图象与x，y轴都无交点，
∴m－2≤0，即m≤2．
又m∈N，∴m＝0,1,2．
∵幂函数图象关于y轴对称，∴m＝0，或m＝2．
当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图(1)；
当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图(2)．
1．函数y＝xeq
\s\up12()的图象是( )
A B C D
C [∵函数y＝xeq
\s\up12()是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C．]
2．函数y＝xeq
\s\up12()在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数
B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数
D．减函数且是偶函数
A [由幂函数的性质可知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝xeq
\s\up12()在(0,1]上是增函数．令y＝f(x)＝xeq
\s\up12()，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)
eq
\s\up12()＝－xeq
\s\up12()＝－f(x)，所以f(x)＝xeq
\s\up12()是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0)时，y＝xeq
\s\up12()也是增函数．当x＝0时，y＝0，又当x<0时，y＝xeq
\s\up12()<0，当x>0时，y＝xeq
\s\up12()>0，所以y＝xeq
\s\up12()在[－1,1]上是增函数．故y＝xeq
\s\up12()在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]
3．若(a＋1)eq
\s\up12(－)
<(3－2a)
eq
\s\up12(－)，则a的取值范围是 ．
[(a＋1)－<(3－2a)
eq
\s\up12(－)?eq
\s\up12()\s\up12()，函数y＝xeq
\s\up12()在[0，＋∞)上是增函数，
所以解得4．已知幂函数y＝f(x)经过点，
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；
(3)试解关于x的不等式f(3x＋2)＋f(2x－4)>0．
[解] (1)设f(x)＝xα，由题意，
得f(2)＝2α＝?α＝－3，
故函数解析式为f(x)＝x－3．
(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．
其单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
(3)由(2)得f(3x＋2)>－f(2x－4)＝f(4－2x)．
即
或
或
解得－2，
故原不等式的解集为
6