课时分层作业(二十七) 对数函数的概念、图象与性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )
A．[－3,1]
B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D [要使f(x)＝log2(x2＋2x－3)有意义，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1．
∴函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]
2．函数f(x)＝logeq
\s\do7()
(2x＋1)的单调减区间是( )
A．(－∞，＋∞)
B．
C．
D．
C [∵y＝logeq
\s\do7()u单调递减，u＝2x＋1单调递增，
∴在定义域上，
f(x)单调递减，
故2x＋1>0，∴x>－．]
3．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b的值是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
C [由题意，知f(x)＝loga(x＋b)的图象过(2,1)和(8,2)，
∴
∴解得
∴a＋b＝4．]
4．函数y＝x＋a与y＝loga
x的示意图在同一坐标系中正确的是下列图象中的( )
A B C D
B [由y＝x＋a的斜率为1，排除C，A、B中直线在y轴上截距大于1，但A中y＝loga
x的图象反映0
1，但截距a<1矛盾．]
5．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝( )
A．3 B．－3 C．－ D．
C [设f(x)＝loga
x，则loga
8＝－3，∴a－3＝8，
∴a3＝，∴a＝＝，∴f(x)＝logeq
\s\do7()
x，∴f(2)＝logeq
\s\do7()
(2)＝－log2
2eq
\s\up12()＝－．]
二、填空题
6．函数f(x)＝loga(2x＋1)＋2(a>0且a≠1)必过定点 ．
(0,2) [令得
即f(x)必过定点(0,2)．]
7．设a＝log3
6，b＝log5
10，c＝log7
14，则a，b，c的大小关系是 ．
a>b>c [a＝log3
6＝log3
2＋1，b＝log5
10＝log5
2＋1，c＝log7
14＝log7
2＋1，
∵log3
2>log5
2>log7
2，
∴a>b>c．]
8．函数f(x)＝log2＋eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1)的定义域是 ．
(－1,0] [由对数的真数大于
0
，及二次根式内非负，得>0且－1≥0，
解得－1，所以定义域为
(－1,0]．]
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg
(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
[解] (1)由题知?x>2且x≠3，
故f(x)的定义域为{x|x>2且x≠3}．
(2)由题知?－1故f(x)的定义域为{x|－110．比较下列各组数的大小：
(1)log0.1
3与log0.1
π；
(2)3log4
5与2log2
3．
[解] (1)∵函数y＝log0．1
x是减函数，π>3，
∴log0．1
3>log0．1
π．
(2)∵3log4
5＝log4
53＝log4
125＝＝
log2
125＝log2
，2log2
3＝log2
32＝log2
9，
函数y＝log2
x是增函数，>9，
∴log2
>log2
9，即3log4
5>2log2
3．
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝( )
A．2 B．
C．
D．
B [易知f(x)＝loga
x，则loga
＝，∴aeq
\s\up12()＝，
∴a2＝2，∴a＝．]
2．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
D [当01时，函数y＝ax过定点(0,1)且单调递增，则函数y＝过定点(0,1)且单调递减，函数y＝loga过定点且单调递增，各选项均不符合．综上，选D．]
3．函数f(x)＝log3
(2x2－8x＋m)的定义域为R，则m的取值范围是 ．
(8，＋∞) [由题知2x2－8x＋m>0恒成立，即m>－2x2＋8x恒成立，
∴m>－2(x2－4x)＝－2(x－2)2＋8，
∴m>8．]
4．若不等式x2－logm
x<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 由x2－logm
x<0，得x2x，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logm
x的图象，如图所示，
要使x2x在内恒成立，
只要y＝logm
x在内的图象在y＝x2的上方，于是0∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm
≥＝logm
meq
\s\up12()，
∴≤meq
\s\up12()，即m≥．
又0∴≤m<1，即实数m的取值范围是．
2课时分层作业(二十八) 对数函数的图象与性质的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若函数f(x)＝loga
x(0A．
B．
C．
D．
B [∵a∈(0,1)，∴f(x)max＝loga
a＝1，f(x)min＝loga
3a，
由题知loga
3a＝，∴a＝＝．]
2．函数f(x)＝loga
|x|＋1(0A [将g(x)＝loga
x的图象不动，并将之关于y轴对称到y轴左侧，再上移1个单位，即得f(x)的图象．]
3．函数f(x)＝的值域为( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，2)
C．(－∞，2]
D．(2，＋∞)
B [x≥1时，f(x)≤0，
x<1时，04．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(2,3]
D．(2，＋∞)
C [由题意得
解得25．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是单调递增，设a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(0．20．6)，则a，b，c的大小关系是( )
A．cB．bC．bD．aC [偶函数f(x)在(－∞，0]上是单调递增，则在(0，＋∞)上是单调递减．又∵log47＝log2，0<0．20．6<1二、填空题
6．函数f(x)＝lg
(4x－2x＋1＋11)的最小值是 ．
1 [4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，
∴f(x)≥lg
10＝1．]
7．已知函数f(x)＝ln
x，g(x)＝lg
x，h(x)＝log3
x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是 ．
x2法二：由题知f(x1)＝a＝ln
x1，∴x1＝ea，同理x2＝10a，x3＝3a，结合指数函数y＝ex，y＝10x，y＝3x的图象可知，x28．已知f(x)是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f(x)的最大值为1，则满足f(log2
x)<1的解集为 ．
[由题知－2≤log2
x<2，∴log2
2－2≤log2
x22，故≤x<4．]
三、解答题
9．(1)若loga
<1(a>0，a≠1)，求实数a的取值范围；
(2)已知f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(logeq
\s\do7()
(3－x))的定义域．
[解] (1)loga
<1，即loga
a．
当a>1时，函数y＝loga
x在(0，＋∞)上是单调增函数，
由loga
a，得a>，故a>1．
当0x在(0，＋∞)上是单调减函数，由loga
a，得a<，故0综上，实数a的取值范围为．
(2)由0≤logeq
\s\do7()
(3－x)≤1得，
logeq
\s\do7()1≤logeq
\s\do7()
(3－x)≤logeq
\s\do7()
，
所以≤3－x≤1，
解得2≤x≤．
所以函数y＝f(logeq
\s\do12()
(3－x))的定义域为．
10．设函数y＝f(x)满足lg
y＝lg(3x)＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的值域；
(3)讨论f(x)的单调性．(不用证明)
[解] (1)∵lg
y＝lg(3x)＋lg(3－x)，
∴即
又∵lg
y＝lg[3x(3－x)]，
∴y＝3x(3－x)＝－3x2＋9x，
即f(x)＝－3x2＋9x(0＜x＜3)．
(2)∵－3x2＋9x＝－3＋且0＜x＜3，
∴0＜－3x2＋9x≤，即函数f(x)的值域为．
(3)∵f(x)＝－3＋，且0＜x＜3，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
1．若函数f(x)＝loga
(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是下列中的( )
D [由f(x)的图象可知02．(多选题)下列函数中既是定义域上的偶函数，又是
(0，＋∞)上的增函数的是( )
A．y＝
B．y＝xeq
\s\up12()
C．y＝|ln
x|
D．y＝e
BD [函数y＝定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是定义域上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，
y＝为减函数，故不合题意；函数y＝xeq
\s\up12()＝，定义域为R，是定义域上的偶函数，
当x∈(0，＋∞)时，
y＝xeq
\s\up12()为增函数；函数y＝定义域为(0，＋∞)不关于原点对称，不是定义域上的偶函数，不合题意；函数y＝e定义域为R，是定义域上的偶函数，
当x∈(0，＋∞)时，
y＝ex为增函数．
应选BD．]
3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2
a)＋f(logeq
\s\do7()
a)≤2f(1)，则a的取值范围是 ．
[∵f(log2a)＋f(logeq
\s\do7()
a)＝f(log2
a)＋f(－log2a)＝2f(log2
a)≤2f(1)，
∴f(log2
a)≤f(1)，由f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
∴－1≤log2
a≤1，即log2
≤log2
a≤log2
2，
∴≤a≤2．]
4．已知函数f(x)＝logeq
\s\do7()的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋logeq
\s\do7()
(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即logeq
\s\do7()＝－logeq
\s\do7()＝logeq
\s\do7()，
解得a＝－1或a＝1(舍)．
所以a＝－1．
(2)f(x)＋logeq
\s\do7()
(x－1)＝logeq
\s\do7()＋logeq
\s\do7()
(x－1)
＝logeq
\s\do7()
(1＋x)，当x＞1时，logeq
\s\do7()
(1＋x)＜－1．
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋logeq
\s\do7()
(x－1)＜m恒成立，
∴m≥－1．
即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．
5