课时分层作业(二十五) 指数函数的概念、图象与性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x
B．y＝22x＋1
C．y＝ax
D．y＝3x
D [A中y＝(－3)x的底数－3<0，故A不是指数函数；B中y＝22x＋1的指数是2x＋1，故B不是指数函数，C中y＝ax的底数a可以为负数，故C不是指数函数，D为指数函数．]
2．方程4x＋2x－2＝0的解是( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
B [设2x＝t，则原方程可化为t2＋t－2＝0，
解得t＝－2或t＝1，
由t>0，得t＝1．
故2x＝1，即x＝0．]
3.已知a＝20.2，b＝20.3，c＝0.20.3，则( )
A.b>a>c
B.a>b>c
C．b>c>a
D．a>c>b
[答案] A
4．已知集合M＝{－1,1}，N＝．则M∩N＝( )
A．－1
B．0或－1
C．{－1}
D．{0，－1}
C [∵<2x＋1<4，
∴2－1<2x＋1<22，
∴－1
又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，
即N＝{0，－1}，
∴M∩N＝{－1}．]
5．下列图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象只可能为( )
A [由指数函数y＝的图象知0<<1，
∴a，b同号，二次函数y＝ax2＋bx的对称轴是直线
x＝－，而0>－>－，
∴B、C、D都不正确．]
二、填空题
6．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
y1>y3>y2 [y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝＝21.5．
∵y＝2x在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44，
∴y1>y3>y2．]
7．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是 ．
b由图知c1>d1>a1>b1，
∴b8．已知函数f(x)＝
，则f(log212)的值为 ．
[因为函数f(x)＝
，
所以f(log212)＝f(log212－2)＋2＝f(log23)＋2＝f(log23－2)＋4＝2－2＋4＝＋4＝．]
三、解答题
9．如果a2x＋1≤ax－5(a＞0，a≠1)，求x的取值范围．
[解] ①当0＜a＜1时，由a2x＋1≤ax－5知2x＋1≥x－5，解得x≥－6．
②当a＞1时，由a2x＋1≤ax－5，
知2x＋1≤x－5，解得x≤－6．
综上所述，当0＜a＜1时，x的取值范围为{x|x≥－6}；
当a＞1时，x的取值范围为{x|x≤－6}．
10．作出下列函数的简图．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2－|x－1|；(3)y＝|2x－1－1|．
[解] (1)y＝2x－1的图象经过点，(1,1)和(2,2)且是增函数，它是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到的，如图(1)．
(2)y＝2－|x－1|＝的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时是减函数，且与y＝的图象相同，如图(2)．
(3)y＝|2x－1－1|的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，将x轴下方的图象沿x轴对折得到的．图象经过(1,0)及(2,1)点，如图(3)．
1．函数y＝|2x－2|的图象是( )
B [y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方的部分对折到x轴的上方得到的．]
2．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．[4,8]
B．(4,8]
C．(4,8)
D．[4,8)
D [因为f(x)在R上是增函数，
所以结合图象(图略)知
解得4≤a<8．]
3．(一题两空)为了得到函数y＝3×的图象，可以把函数y＝的图象向 平移 个单位长度．
右 1 [y＝3×＝，将y＝的图象右移1个单位即得y＝的图象．]
4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为 ．
m＜n [∵0＜＜1，∴f(x)＝ax＝，
且f(x)在R上单调递减．
又∵f(m)＞f(n)，∴m＜n．]
5．若函数y＝|ax－1|＋1－2a
(a>0且a≠1)的图象有两个实根，求a的取值范围．
[解] 由y＝0得|ax－1|＋1＝2a．
因为函数y＝|ax－1|＋1－2a
(a>0且a≠1)的图象有两个实根，
所以直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1的图象有两个交点．
当a>1时，函数y＝|ax－1|＋1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图象(实线)，
由图可知1<2a<2，
即1矛盾．
当0∴函数y＝|ax－1|＋1－2a
(a>0且a≠1)的图象有两个实根时，a的取值范围是．
5课时分层作业(二十六) 指数函数的图象与性质的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝的值域是( )
A．(0,2)
B．(0,2]
C．[0,2)
D．[0,2]
B [∵x2－1≥－1，∴y≤＝2，又y>0，
∴y∈(0,2]．]
2．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)
B．(－1,0]
C．[－1,0)
D．[－1,0]
D [依题意，2－1≥0对任意x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，
∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0．]
3．已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝2x，则f(x)的值域为( )
A．[1，＋∞)
B．(0,1)
C．(0,1]
D．(－∞，1]
C [因为当x≤0时，f(x)＝2x∈(0,1]，且f(x)为定义在R上的偶函数，所以f(x)的值域为(0,1]，故选C．]
4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2]
B．(－∞，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．?
C [由f(1)＝，得a2＝，
所以a＝，
即f(x)＝|．
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．]
5．函数f(x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]的图象大致为( )
A B C D
A [根据题意，由于函数f(x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]＝＝根据解析式，结合分段函数的图象可知，
在y轴右侧是常函数，
所以排除B，D，而在y轴的左侧，是递增的指数函数，故排除C，因此选A．]
二、填空题
6．已知函数y＝在[－2，－1]上的最小值是m，最大值为n，则m＋n的值为 ．
12 [∵y＝在R上为减函数，
∴m＝＝3，
n＝＝9，
∴m＋n＝12．]
7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗 次．
4 [设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的；经过第三次漂洗，存留量为原来的；经过第四次漂洗，存留量为原来的，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的．由题意得，≤，4x≥100,2x≥10，
∴x≥4，即至少漂洗4次．]
8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是 ．
(－∞，－1) [当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1－2x＝－f(x)，
则f(x)＝2x－1．当x＝0时，f(0)＝0，
由f(x)<－，解得x<－1．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在[－2，＋∞)上递减，
y＝在R上是减函数，
∴f(x)在[－2，＋∞)上是增函数，
即f(x)的单调增区间是[－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1．
因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1．
10．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0．3
mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0．08
mg/mL，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时)
[解] 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0．3(1－50%)mg/mL，…，x小时后其酒精含量为0．3(1－50%)x
mg/mL，由题意知0．3(1－50%)x≤0．08，≤．采用估算法，x＝1时，＝>，x＝2时，＝＝<．由于是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2．故至少要过2小时驾驶员才能驾驶．
1．定义运算a?b＝则函数f(x)＝3－x?3x的值域为( )
A．(1，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(0,1)
D．(0,1]
D [由题设可得f(x)＝＝其图象如图实线所示，由图知函数f(x)的值域为(0,1]．]
2．已知f(x)＝|2x－1|，当af(c)>f(b)，则必有( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．2－a<2c
D．1<2a＋2c<2
D [作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示，
因为af(c)>f(b)，
所以必有a<0,0|2c－1|，
所以1－2a>2c－1，则2a＋2c<2，且2a＋2c>1，故选D．]
3．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a的值．
[解] 设t＝ax，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，
(1)若a>1，∵x∈[－1,1]，∴－1<≤t≤a．
∵t＝ax在[－1,1]上递增，y＝(t＋1)2－2在上也递增，
∴原函数在[－1,1]上递增．
故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1．
由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．
(2)若0ymax＝a－2＋2a－1－1＝14，
解得a＝或a＝－(舍去)．
综上，a＝或3．
4．设函数f(x)＝(a>0且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围．
[解] (1)函数f(x)＝(a>0且a≠1)，定义域为R，
所以f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)≥，即≥，ax>0,2－2ax≥1＋ax，解得ax≤，
当a>1时，x＝logaax≤loga＝－loga3，
当0综上所述：当a>1时，x≤－loga3，当06