第四章
指数函数、对数函数与幂函数
4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．
1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
n次方根
(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__xn＝a__，则x称为a的n次方根．
(2)表示：
n为奇数
n为偶数
a∈R
a＞0
a＝0
a＜0
x＝____
x＝__±__
0
不存在
思考：对于式子中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？
提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．
知识点?
根式
(1)当有意义时，称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．
(2)性质：
①()n＝__a__；②＝
思考：()n与中的字母a的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R．
分数指数幂的意义
知识点?
正分数指数幂
n为正整数，有意义，且a≠0时，规定a＝____
正分数，a＝__()m__＝
负分数指数幂
s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝____
思考：分数指数幂中的有什么规定？
提示：为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．
知识点?
无理数指数幂
当a＞0且t是无理数时，at是一个确定的__实数__．
思考：当a＞0时，式子ax中的x的范围是什么？
提示：x∈R．
知识点?
实数指数幂的运算法则(a＞0，b＞0，r，s∈R)
(1)aras＝__ar＋s__．
(2)(ar)s＝__ars__．
(3)(ab)r＝__arbr__．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
n次方根的概念及相关问题
┃┃典例剖析__■
典例1 (1)求使等式
＝(3－a)成立的实数a的取值范围；
(2)设－3＜x＜3，求－的值．
[分析] (1)利用＝|a|进行讨论化简．
(2)利用限制条件去绝对值号．
[解析] (1)＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围为[－3,3]．
(2)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x＜3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4．
∴原式＝
规律方法：1.对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0时才有意义；(2)只要有意义，必不为负．
2．当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．
┃┃对点训练__■
1．(1)若＋(a－3)0有意义，则a的
取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__；
(2)已知x∈[1,2]，化简()4＋＝__1__．
[解析] (1)由得a≥2，且a≠3．
(2)∵x∈[1,2]，∴x－1≥0，x－2≤0，∴()4＋＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1．
题型?
根式与分数指数幂的互化
┃┃典例剖析__■
典例2 (1)用根式表示下列各式：a；a；a－；
(2)用分数指数幂表示下列各式：；；．
[分析] 利用分数指数幂的定义求解．
[解析] (1)a＝；a＝；a－＝eq
\f(1,a)＝．
(2)＝a；＝a＝a2；＝eq
\f(1,a)＝a－．
规律方法：根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．
┃┃对点训练__■
2．(1)用根式表示下列各式：x；x－；
(2)用分数指数幂表示下列各式：
①(a＞0，b＞0)；
②(a＞0，b＞0)．
[解析] (1)x＝；x－＝．
(2)①＝＝a－．
②＝eq
\r(a－4b2·?ab2?)＝eq
\r(a－4b2ab)＝eq
\r(a－b)＝a－b．
题型?
有理(实数)指数幂的运算法则的应用
┃┃典例剖析__■
典例3 化简：(1)(5x－y)·eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x－1y))·eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)xy
－))(其中x＞0，y＞0)；
(2)0.064－－0＋[(－2)3]
－＋16－0.75；
(3)32＋×27－；
(4)(1＋)[(－－1)－2()]＋()1－×()1＋．
[分析] 利用幂的运算法则计算．
[解析] (1)原式＝·x－＋(－1)＋·y＋－＝x－y．
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3
＝－1＋＋＝．
(3)32＋×27－
eq
\s\up4(\f(,3))
＝32＋×(33)－
eq
\s\up4(\f(,3))
＝32＋×3－＝32＋－＝32＝9．
(4)(1＋)[(－－1)－2()]＋()1－×()1＋
＝(1＋)[(＋1)－2·()]＋()1－＋1＋
＝(1＋)[(＋1)－2×()×]＋()2
＝(1＋)·[(＋1)－1·()]＋2
＝()＋2＝2＋2．
规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
┃┃对点训练__■
3．化简与求值
(1)
－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；
(2)·eq
\r(?a－5?－·?a－?13)．
[解析] (1)原式＝(－1)
－－＋－－＋1＝－＋(500)
－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－．
(2)原式＝(a·a－)·[(a－5)－·(a－)13]
＝(a0)
·(a·a－)
＝(a－4)
＝a－2．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 化简(1－a)[(a－1)－2·(－a)
]
．
[错解] 原式＝(1－a)(a－1)－1·(－a)
＝－(－a)
．
[辨析] 误解中忽略了题中有(－a)
，即－a≥0，a≤0，则[(a－1)－2]
≠(a－1)－1．
[正解] ∵(－a)
存在，∴－a≥0，故a－1＜0，原式＝(1－a)·(1－a)－1(－a)
＝(－a)
．
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1
-4.1.2 指数函数的性质与图像
NNN第1课时 指数函数的性质与图像
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．2．掌握指数函数的性质与图像．3．初步学会运用指数函数来解决问题．
1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．
必备知识·探新知
知识点?
指数函数
函数__y＝ax__称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．
思考：(1)为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1?
(2)指数函数的解析式有什么特征？
提示：(1)①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a＜0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1．
(2)①a＞0，且a≠1，②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．
指数函数的图像和性质
知识点?
0＜a＜1
a＞1
图像
定义域
实数集R
值域
__(0，＋∞)__
性质
过定点__(0,1)__
是__减__函数
是__增__函数
思考：(1)对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝x，y＝x，…，为什么一定过点(0,1)?
(2)对于指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)，在下表中，？处y的范围是什么？
底数
x的范围
y的范围
a＞1
x＞0
？
x＜0
？
0＜a＜1
x＞0
？
x＜0
？
提示：(1)当x＝0时，a0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)．
(2)
底数
x的范围
y的范围
a＞1
x＞0
y＞1
x＜0
0＜y＜1
0＜a＜1
x＞0
0＜y＜1
x＜0
y＞1
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
指数函数的概念
┃┃典例剖析__■
典例1 (1)函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为__2__．
(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f(－π)＝____．
[分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解．
(2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f(－π)．
[解析] (1)由题意得a2－3a＋3＝1，
即(a－2)(a－1)＝0，
解得a＝2或a＝1(舍)．
(2)设指数函数为y＝ax(a＞0且a≠1)，
则e＝aπ，所以f(－π)＝a－π＝(aπ)－1＝e－1＝．
规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法
(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a＞0，且a≠1；
②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．
(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y＝＝x是指数函数．
2．求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式f(x)＝ax(a＞0且a≠1)．
(2)利用已知条件求底数A．
(3)写出指数函数的解析式．
┃┃对点训练__■
1．(1)函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)＝( D )
A．8
B．
C．4
D．2
(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点，那么f(4)·f(2)＝__64__．
[解析] (1)因为f(x)＝(2a－3)ax为指数函数，所以2a－3＝1，解得a＝2，所以f(1)＝21＝2．
(2)设指数函数的解析式为y＝ax(a＞0且a≠1)，
因为函数的图像经过点，所以
＝a－2，所以a＝2，
所以指数函数的解析式为y＝2x，
所以f(4)·f(2)＝24×22＝26＝64．
题型?
指数函数的图像问题
┃┃典例剖析__■
典例2 (1)函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图像可能是( D )
(2)要得到函数y＝23－x的图像，只需将函数y＝x的图像( A )
A．向右平移3个单位
B．向左平移3个单位
C．向右平移8个单位
D．向左平移8个单位
[分析] (1)要注意对a进行讨论，分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论判断．
(2)先对解析式变形，再进行判断．
[解析] (1)函数y＝x＋a单调递增．
由题意知a＞0且a≠1．
当0＜a＜1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于0且小于1；
当a＞1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D．
(2)因为y＝23－x＝
x－3，
所以y＝x的图像向右平移3个单位得到y
＝x－3
，
即y＝23－x的图像．
规律方法：1.函数图像问题的处理技巧
(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．
(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．
2．指数型函数图像过定点问题的处理策略
求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图像所过的定点．
┃┃对点训练__■
2．(1)图中曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像，则a，b，c，d与1之间的大小关系是( D )
A．a＜b＜1＜c＜d
B．a＜b＜1＜d＜c
C．b＜a＜1＜c＜d
D．b＜a＜1＜d＜c
(2)若函数y＝ax＋m－1(a＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则( B )
A．a＞1
B．a＞1，且m＜0
C．0＜a＜1，且m＞0
D．0＜a＜1
[解析] (1)过点(1,0)作直线x＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d＜c，b＜a＜1，故b＜a＜1＜d＜C．
(2)y＝ax(a＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y＝ax＋m－1的图像经过第一、三、四象限，必须将y＝ax向下移动．当0＜a＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1＜－1，所以m＜0，故选B．
题型?
指数函数的定义域、值域问题
┃┃典例剖析__■
典例3 (1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值域为(1，＋∞)，则实数a的取值范围是( D )
A．(－，－1)∪(1，)
B．(－1,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
(2)函数y＝5的定义域为____．
[分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得．
(2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．
[解析] (1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则底数a2－1＞1，a2＞2，所以|a|＞，所以实数a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
(2)要使函数y＝5有意义，则2x－1≥0，所以x≥.所以函数y＝
5的定义域为．
规律方法：函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
┃┃对点训练__■
3．(1)已知集合A＝{x|y＝2}，B＝{0,2,4}，A∩B＝____________；
(2)求函数y＝3
eq
\s\up4(\f(1,
))
的定义域和值域．
[解析] (1)要使y＝2有意义需x－4≠0，则x≠4，即A＝{x|x≠4，x∈R}，所以A∩B＝{0,2}．
(2)要使函数y＝3
eq
\s\up4(\f(1,
))
有意义，只需2x－4＞0，解得x＞2；令t＝
eq
\s\up4(\f(1,
))
，则t＞0，由于函数y＝3t在t∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y＝3
eq
\s\up4(\f(1,
))
的定义域为{x|x＞2}，值域为{y|y＞1}．
误区警示：此题易忽略2x－4≠0，而误认为2x－4≥0从而造成错误．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
[错解] ∵函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴，∴a＝．
故实数a的值为．
[辨析] 误解中没有对a进行分类讨论．
[正解] 当a＞1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是增函数，
由题意可知，，解得a＝.当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是减函数，
由题意可知，，此时a无解．综上所述，a＝．
第2课时 指数函数的性质与图像的应用
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．
1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养．2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．
必备知识·探新知
知识点?
底数与指数函数图像的关系
(1)由指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．
(2)由指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．
如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1．
知识点?
解指数型不等式
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝bx(b＞0且b≠1)的图像求解．
知识点?
与指数函数复合的函数单调性
一般地，形如y＝af(x)(a＞0且a≠1)函数的性质有：
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有__相同__的定义域．
(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有__相同__的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有__相反__的单调性．
思考：(1)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？
(2)如何判断形如y＝f(ax)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？
提示：(1)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．
(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；
②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
指数函数性质的简单应用
┃┃典例剖析__■
典例1 比较下列各组数的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)0.8－0.1,0.8－0.2；
(3)1.70.3,0.93.1；
(4)，，．
[分析] 底数相同的幂值ab与ac比较大小，一般用y＝ax的单调性；指数相同的幂值ac与bc比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝ax与y＝bx的图像考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．
[解析] (1)考查指数函数y＝1.7x，
由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．
(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，
所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．
∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．
(3)由指数函数的性质得
1．70.3＞1.70＝1，
0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1．
(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．
∵＝2＝(23)
＝8，＝3＝(32)
＝9而8＜9.∴8＜9，即＜，
又＝2＝(25)
＝32，
＝5＝(52)
，而25＜32，∴＜．
总之，＜＜．
规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：
1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．
2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．
┃┃对点训练__■
1．比较下列各题中两个值的大小．
(1)0.3x与0.3x＋1；
(2)－2与2．
[解析] (1)∵y＝0.3x为减函数，
又x＜x＋1，∴0.3x＞0.3x＋1．
(2)化同底为：()－2＝22，与2，
∵函数y＝2x为增函数，2＞．
∴22＞2，即()－2＞2．
题型?
形如y＝af(x)类型函数的单调性与值域
┃┃典例剖析__■
典例2 求函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间、值域．
[分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解
[解析] 令t＝－x2＋x＋2，
则y＝t，
因为t＝－2＋，可得t的减区间为，因为函数y＝t在R上是减函数，
所以函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间；
又t≤，所以t≥，
所以函数y＝－x2＋x＋2值域为．
规律方法：复合函数的单调性、值域
(1)分层：一般分为外层y＝at，内层t＝f(x)．
(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．
(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域．
┃┃对点训练__■
2．函数f(x)＝x2－2x的单调递减区间是__[1，＋∞)__，值域是____．
[解析] 令t
＝x2－2x＝(x－1)2－1，则f(x)＝t，利用二次函数的性质可得函数t的增区间为[1，＋∞)，所以函数f(x)＝x2－2x的减区间是[1，＋∞)；因为t≥－1，
所以f(x)≤，
所以函数f(x)＝x2－2x的值域为．
题型?
指数函数性质的综合应用
┃┃典例剖析__■
典例3 (1)已知函数f(x)＝对任意x1≠x2
，都有＞0成立，则实数a的取值范围是( B )
A．(4,8)
B．[4,8)
C．(1，＋∞)
D．(1,
8)
(2)已知函数f(x)＝是R上的奇函数．
①判断并证明f(x)的单调性；
②若对任意实数，不等式f[f(x)]＋f(3－m)＞0恒成立，求m的取值范围．
[解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足
解得4≤a＜8．
(2)①因为f(x)为R
上的奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0，由此得a＝1，
所以f(x)＝＝1－，所以f(x)为R上的增函数．
证明：设x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝1－－＝－，
因为x1＜x2，所以－＜0，
所以f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)为R上的增函数．
②因为f(x)为R上的奇函数．
所以原不等式可化为f[f(x)]＞－f(3－m)，
即f[f(x)]＞f(m－3)，
又因为f(x)为R上的增函数，所以f(x)＞m－3，
由此可得不等式m＜f(x)＋3＝4－
对任意实数x恒成立，由2x＞0?2x＋1＞1?0＜＜2?－2＜－＜0?2＜4－＜4，所以m≤2．
规律方法：1.关于分段函数y＝的单调性
(1)增函数：f(x)，g(x)均为增函数，且f(x0)≤g(x0)．
(2)减函数：f(x)，g(x)均为减函数，且f(x0)≥g(x0)．
2．含参数恒成立问题的一种处理方法
将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．
特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小．
┃┃对点训练__■
3．(1)若将本例(1)中的函数改为f(x)＝其他条件不变，试求a的范围；
(2)已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于任意的x1∈[－2,2]，总存在
x2∈[－2,2]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数m的取值范围是__m≥－5__．
[解析] (1)因为函数f(x)满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，
所以函数f(x)在定义域上是增函数，
则满足
即得≤a＜2．
(2)因为f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，
所以f(0)＝0，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1∈(0,3]，
则当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－3,3]，
若对于?x1∈[－2,2]，?x2∈[－2,2]，
使得g(x2)≥f(x1)，
则等价为g(x)max≥3，
因为g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，
x∈[－2,2]，所以g(x)max＝g(－2)＝8＋m，
则满足8＋m≥3解得m≥－5．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 求函数y＝x＋x＋1的值域．
[错解] 令t＝x，则y＝t2＋t＋1＝2＋，所以t＝－时，ymin＝，
所以函数的值域为．
[辨析] 在换元时，令t＝x，所以x＞0，在误解中忽略了这一点．
[正解] 令t＝x，则y＝t2＋t＋1＝2＋．
因为t＞0，y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，
所以y＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．
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7
-4.2 对数与对数函数
4.2.1 对数运算
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解对数的概念．2．知道自然对数和常用对数．3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．
1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
对数的概念
(1)定义：在代数式ab＝N(a＞0且a≠1)，N∈(0，＋∞)中，幂指数b称为以a为底N的对数．
(2)记法：b＝__logaN__，a称为对数的__底数__，N称为对数的__真数__．
(3)范围：N＞0，即__负数和零没有对数__．
思考：(1)为什么负数和零没有对数？
(2)对数式logaN是不是loga与N的乘积？
提示：(1)因为b＝logaN的充要条件是ab＝N，当a＞0且a≠1时，由指数函数的值域可知N＞0，故负数和零没有对数．
(2)不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
知识点?
对数恒等式
(1)alogaN＝N．
(2)logaab＝B．
知识点?
常用对数与自然对数
(1)常用对数：log10N，简写为lg
N．
(2)自然对数：logeN，简写为ln
N，e＝2.718
28…．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
对数的概念
┃┃典例剖析__■
典例1 若a2
020＝b(a＞0，且a≠1)，则( A )
A．logab＝2
020
B．logba＝2
020
C．log2
020a＝b
D．log2
020b＝a
(2)对数式log(a－2)(5－a)中实数a的取值范围是( C )
A．(－∞，5)
B．(2,5)
C．(2,3)∪(3,5)
D．(2，＋∞)
(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B )
A．e0＝1与ln
1＝0
B．log39＝2与9＝3
C．8－＝与log8＝－
D．log77＝1与71＝7
[分析] (1)根据对数的定义转化．
(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0．
(3)根据对数式的定义判断．
[解析] (1)若a2020＝b(a＞0，且a≠1)则logab＝2
020．
(2)由题意得解得2＜a＜3或3＜a＜5．
(3)由指、对数式的互化可知，A、C、D正确；对于B选项log39＝2可化为32＝9，所以B选项错误．
规律方法：指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
┃┃对点训练__■
1．(1)如果a5＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则( A )
A．logab＝5
B．loga5＝b
C．log5a＝b
D．log5b＝a
(2)若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是( B )
A．[2，＋∞)
B．(2,3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
[解析] (1)如果a5＝b(a＞0，且a≠1，b＞0)则化为对数式为logab＝5．
(2)由题意得
，解得t＞2且t≠3．
所以t的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)
题型?
利用指数式与对数式关系求值
角度1 利用指数式与对数式的互化求值
┃┃典例剖析__■
典例2 求下列各式的值：
(1)log381；
(2)log4；
(3)log8；
(4)lg
0.1．
[解析] (1)因为34＝81，所以log381＝4．
(2)因为4－2＝，所以log4＝－2．
(3)因为－3＝8，所以log8＝－3．
(4)因为10－1＝0.1，所以lg
0.1＝－1．
角度2 两个特殊对数值的应用
典例3 已知log2[log3(log4x)]＝
log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．
[解析] 因为log2[log3(log4x)]＝0，
所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3，
所以x＝43＝64，同理求得y＝16，所以x＋y＝80．
规律方法：对数性质在求值中的应用
1．对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0．
2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
┃┃对点训练__■
2．(1)log5[log3(log2x)]＝0，则x－等于( C )
A．
B．
C．
D．
(2)log3＝__－3__；log5
625＝__4__．
[解析] (1)因为log5[log3(log2x)]＝0，
所以log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝23＝8，所以x－＝8－＝＝．
(2)因为3－3＝，所以log3＝－3；
因为54＝625，
所以log5
625＝4．
题型?
对数恒等式的应用
┃┃典例剖析__■
典例4 计算：
(1)71－log75；
(2)4
(log29－log25)；
(3)alogab·logbc
(a、b均为不等于1的正数，c＞0)．
[解析] (1)原式＝＝．
(2)原式＝2(log29－log25)＝＝．
(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝C．
规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．
┃┃对点训练__■
3．求31＋log36－24＋log23＋103lg
3＋()log34的值．
[解析] 原式＝3·3log36－24·2log23＋(10lg3)3＋(3log34)－2
＝3×6－16×3＋33＋4－2
＝18－48＋27＋＝－．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例5 求满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1中x的值．
[错解] ∵log(x＋3)(x2＋3x)＝1，∴x2＋3x＝x＋3，
即x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3或x＝1.故满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1中x的值为－3和1．
[辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．
[正解] 由对数性质，得，解得x＝1．
故满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1的x的值为1．
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5
-4.2.2 对数运算法则
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算．2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．
通过本节课的学习，掌握对数的运算法则及换底公式，会用对数的运算法则进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
积、商、幂的对数
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则有
(1)积的对数：__loga(MN)＝logaM＋logaN__．
(2)商的对数：__loga＝logaM－logaN__．
(3)幂的对数：__logaMn＝nlogaM__．
思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？
提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到n项的乘积．
知识点?
换底公式
若a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，则有__logab＝__．
思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
(2)你能用换底公式推导出结论logNnMm＝logNM吗？
提示：(1)logab＝，logab＝．
(2)logNnMm＝＝＝·＝logNM．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
利用对数的运算法则求值
┃┃典例剖析__■
典例1 计算：
(1)loga2＋loga(a＞0且a≠1)；
(2)log318－log32；
(3)2log510＋log50.25；
(4)2log525＋3log264；
(5)log2(log216)；
(6)62log63－20log71＋log4．
[解析] (1)loga2＋loga＝loga(2×)＝loga1＝0．
(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2．
(3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25
＝log5(100×0.25)＝log525＝2．
(4)2log525＋3log264＝2log552＋3log226＝4＋18＝22．
(5)log2(log216)＝log24＝2．
(6)原式＝6log69－20×0＋log44－2＝9－2＝7．
规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
┃┃对点训练__■
1．计算log535＋2log2－log5－log514的值．
[解析] log535＋2log2－log5－log514
＝log535＋2×＋log550－log514
＝log5＋1＝3＋1＝4．
题型?
利用对数的运算法则化简
┃┃典例剖析__■
典例2 用lg
x，lg
y，lg
z表示下列各式：
(1)lg
(xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg．
[解析] (1)lg
(xyz)＝lg
x＋lg
y＋lg
z．
(2)lg＝lg
(xy2)－lg
z＝lg
x＋2lg
y－lg
z．
(3)lg＝lg
(xy3)－lg＝lg
x＋3lg
y－lg
z．
(4)lg＝lg－lg
(y2z)＝lg
x－2lg
y－lg
z．
规律方法：关于对数式的化简
首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．
┃┃对点训练__■
2．lg
2＝a，lg
3＝b，试用a、b表示lg
108，lg．
[解析] lg
108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg
33＋lg
22＝3lg
3＋2lg
2＝2a＋3B．
lg＝lg
18－lg
25＝lg
(2×32)－lg＝lg
2＋lg
32－lg
102＋lg
22＝lg
2＋2lg
3－2＋2lg
2＝3a＋2b－2．
题型?
换底公式及其应用
┃┃典例剖析__■
典例3 (1)已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645的值；
(2)设3x＝4y＝6z＞1，求证：－＝．
[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x，y，z，并结合换底公式与对数的运算性质证明．
[解析] (1)由18b＝5，得log185＝b，
∴log3645＝＝
＝＝．
(2)设3x＝4y＝6z＝t，∵3x＝4y＝6z＞1，
∴t＞1，∴x＝，y＝，z＝，
∴－＝－＝＝＝．
∴－＝．
规律方法：换底公式的应用
(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值．
(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．
(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式＝logbA．
┃┃对点训练__■
3．(1)若3a＝7b＝，求＋的值；
(2)设4a＝5b＝m，且＋＝1，求m的值．
[解析] (1)∵3a＝7b＝，
∴a＝log3，b＝log7，
∴＋＝＋
＝＋＝＝＝2．
(2)∵4a＝5b＝m，∴a＝log4m，b＝log5m，
又＋＝1，∴＋＝1，
即logm4＋2logm5＝1，
∴logm100＝1，∴m＝100．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 已知lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，求log的值．
[错解] ∵lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0．
∴(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y．
∵＝1或4，
∴log＝log1＝0或log＝log4＝4．
[辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．
[正解] ∵lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0．
∴(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y．
∵x＞0，y＞0，x－2y＞0，∴x＝y应舍去．
∴＝4，∴log＝log4＝4．
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-
5
-4.2.3 对数函数的性质与图像
NNN第1课时 对数函数的性质与图像
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解对数函数的概念．2．初步掌握对数函数的性质与图像．
理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
对数函数
函数y＝__logax__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．
思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？
(2)对数函数的解析式有何特征？
提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．
(2)①a＞0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1．
对数函数的性质与图像
知识点?
0＜a＜1
a＞1
图像
定义域
__(0，＋∞)__
值域
__R__
性质
过__定点(1,0)__
__是减函数__
__是增函数__
思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx，…，为什么一定过点(1,0)?
(2)对于对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？
底数
x的范围
y的范围
a＞1
x＞1
？
0＜x＜1
？
0＜a＜1
x＞1
？
0＜x＜1
？
提示：(1)当x＝1时，loga1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．
(2)
底数
x的范围
y的范围
a＞1
x＞1
y＞0
0＜x＜1
y＜0
0＜a＜1
x＞1
y＜0
0＜x＜1
y＞0
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
对数函数的概念
┃┃典例剖析__■
典例1 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；
(3)y＝logx2；(4)y＝log2x＋1．
[解析] (1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．
(2)是对数函数．
(3)自变量在底数位置，不是对数函数．
(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．
规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1．
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x．
┃┃对点训练__■
1．(1)下列函数是对数函数的是( D )
A．y＝loga(2x)
B．y＝lg
10x
C．y＝loga(x2＋x)
D．y＝ln
x
(2)若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( A )
A．y＝log2x
B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x
D．不确定
[解析] (1)由对数函数的定义，知D正确．
(2)设所求对数函数的解析式为y＝logax(a＞0，a≠1)，由题意，得2＝loga4，∴a＝2，∴所求对数函数的解析式为y＝log2x．
题型?
求函数的定义域
┃┃典例剖析__■
典例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝log(2x－1)(3－4x)．
[分析] 函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围．求定义域时，要结合使根式、分式等有意义的条件和对数式的定义求解．
[解析] (1)由题意得lg
(2－x)≥0，
即2－x≥1，∴x≤1，
则y＝的定义域为{x|x≤1}．
(2)欲使y＝有意义，
应有log3(3x－2)≠0，∴.解得x＞，且x≠1．
∴y＝的定义域为．
(3)使y＝log(2x－1)(3－4x)有意义时，
，∴，∴＜x＜．
∴此函数的定义域为eq
\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＜x＜\f(3,4)))．
规律方法：求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0．
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
┃┃对点训练__■
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝log(5x－1)(7x－2)．
[解析] (1)由，
得，∴，即＜x≤1，
∴所求函数的定义域为{x|＜x≤1}．
(2)由，得，
∴，即0≤x＜1，
∴所求函数的定义域为{x|0≤x＜1}．
(3)由，得，即x＞，且x≠，
∴所求函数的定义域为{x|x＞，且x≠}．
题型?
应用对数函数的单调性比较数的大小
┃┃典例剖析__■
典例3 比较下列各组中两个数的大小：
(1)log23.4和log28.5； (2)log0.53.8和log0.52；
(3)log0.53和1;
(4)log20.5和0；
(5)log0.30.7和0;
(6)log34和0．
[分析] (1)(2)中两数同底数，不同真数，可直接利用对数函数的单调性比较大小；(3)中将1化为log0.50.5，(4)中将0化为log21，(5)中将0化为log0.31，(6)中将0化为log31，然后再利用对数函数的单调性比较大小．
[解析] (1)∵y＝log2x在x∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4＜8.5，
∴log23.4＜log28.5．
(2)∵y＝log0.5x在x∈(0，＋∞)上为减函数，且3.8＞2，
∴log0.53.8＜log0.52．
(3)∵1＝log0.50.5，∴log0.53＜log0.50.5，∴log0.53＜1．
(4)∵0＝log21，∴log20.5＜log21，∴log20.5＜0．
(5)∵0＝log0.31，∴log0.30.7＞log0.31，
∴log0.30.7＞0．
(6)∵0＝log31，∴log34＞log31，∴log34＞0．
规律方法：比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助1、0等中间量进行比较．
┃┃对点训练__■
3．(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( D )
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
(2)设a＝log，b＝log，c＝log3，则a、b、c的大小关系是( B )
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
[解析] (1)a＝log32＜log33＝1，c＝log23＞log22＝1，
由对数函数的性质可知，
log52＜log32，∴b＜a＜c，故选D．
(2)c＝log3＝log，又＜＜，
且函数y＝logx在其定义域上为减函数，
∴log＞log＞log，即a＞b＞C．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 解不等式loga(2x－5)＞loga(x－1)．
[错解] 原不等式可化为，解得x＞4．
故原不等式的解集为{x|x＞4}．
[辨析] 误解中默认为底数为a＞1，没有对底数a分类讨论．
[正解] 当a＞1时，原不等式可化为，
解得x＞4；
当0＜a＜1时，原不等式可化为，
解得＜x＜4．
综上可知，当a＞1时，原不等的解集为{x|x＞4}，
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|＜x＜4}．
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6
-第2课时 对数函数的性质与图像的应用
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.进一步理解对数函数的图像和性质．2．能运用对数函数的图像和性质解决相关问题．
通过本节课的学习，理解对数函数的性质，并能利用对数函数的性质解决比较对数式大小、求最值、解不等式等综合问题，提升数学抽象及数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点?
y＝loga
f(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)＞0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
(2)值域：在函数y＝loga
f(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据__同增异减__法则判定(或运用单调性定义判定)．
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
(5)最值：在f(x)＞0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
知识点?
loga
f(x)＜logag(x)型不等式的解法
(1)讨论a与1的关系，确定单调性．
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
对数函数的图像
┃┃典例剖析__■
典例1
如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取，，，，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次为( A )
A．、、、
B．、、、
C．、、、
D．、、、
[解析] 解法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排C1、C2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图像靠近x轴的底大，C1、C2对应的a分别为、.然后考虑C3、C4底的顺序，底都小于1，当x＜1时图像靠近x轴的底小，C3、C4对应的a分别为、.综合以上分析，可得C1、C2、C3、C4的a值依次为、、、.故选A．
解法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1、C2、C3、C4对应的a值分别为、、、，故选A．
规律方法：函数y＝logax(a＞0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响．
观察图像，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴．
(2)左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
┃┃对点训练__■
1．
(1)如图，若C1、C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图像，则( B )
A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1
[解析] 如图，作直线y＝1，则直线与C1、C2的交点的横坐标分别为a、b，易知0＜b＜a＜1．
(2)函数f(x)＝loga(3x－2)＋2的图像恒过点__(1,2)__．
[解析] 根据题意，令3x－2＝1，解得x＝1，此时y＝0＋2＝2，
所以函数f(x)的图像过定点(1,2)．
题型?
形如y＝logaf(x)的函数的单调性
┃┃典例剖析__■
典例2 求函数y＝log
(1－x2)的单调区间．
[分析] 求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
[解析] 要使函数有意义，应满足1－x2＞0，
∴－1＜x＜1.∴函数的定义域为(－1,1)．
令u＝1－x2，对称轴为x＝0．
∴函数u＝1－x2在(－1,0]上为增函数，在[0,1)上为减函数，又∵y＝logu为减函数．
∴函数y＝log
(1－x2)的单调递增区间为[0,1)，递减区间为(－1,0]．
规律方法：1.求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．
2．求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求解；(2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性．
┃┃对点训练__■
2．(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( D )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
[解析] 由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4．
令g(x)＝x2－2x－8，函数g(x)在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
(2)若函数f(x)＝ln(x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( C )
A．(－∞，4]
B．
C．
D．
[解析] 设g(x)＝x2－ax＋1．
要使f(x)＝ln(x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上为单调递增，
则由复合函数的单调性得
即，解得a≤，
即实数a的取值范围是(－∞，]．
题型?
形如y＝loga
f(x)的函数的奇偶性
┃┃典例剖析__■
典例3 判断函数y＝lg
(－x)的奇偶性．
[分析] 判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称．
[解析] ∵＞x，∴－x＞0恒成立，∴函数的定义域为R．
f(－x)＝lg
(＋x)
＝lg＝lg
＝－lg
(－x)＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)，∴函数y＝lg
(－x)是奇函数．
规律方法：判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，因为定义域关于原点对称是函数具有奇偶性所需具备的条件．若定义域关于原点对称，再利用奇偶性定义判断f(x)与f(－x)的关系．
┃┃对点训练__■
3．已知f(x)＝loga(a＞0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
[解析] (1)由题意得＞0，
∴(x＋1)(x－1)＜0，∴－1＜x＜1．
∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝loga＝loga－1
＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
题型?
形如y＝loga
f(x)的函数的值域
┃┃典例剖析__■
典例4 求函数f(x)＝log
(x2－6x＋17)的值域．
[分析] 利用对数函数的真数大于0及内函数的值域求解．
[解析] ∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8＞0，
∴函数f(x)的定义域为R，
令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
又0＜＜1，∴y＝logt在[8，＋∞)上是减函数，
∴f(x)≤log8＝－3，
故所求函数的值域是(－∞，－3]．
规律方法：对于形如y＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的复合函数，求值域的步骤：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；(2)求logaf(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝logau的单调性求解．
┃┃对点训练__■
4．求函数y＝log的值域．
[解析] ∵3－2x－x2＞0，
∴－3＜x＜1，
∴函数的定义域为(－3,1)．
令t＝3－2x－x2＝－(x＋1)2＋4，
∵－3＜x＜1，∴0＜t≤4．
又0＜＜1，∴y≥log＝－1，
∴所求函数的值域为[－1，＋∞)．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例5 已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数(x是自变量)，则a的取值范围是( B )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．[2，＋∞)
[错解] 选A．令u＝2－ax，因为u＝2－ax是减函数，所以a＞0．
在对数函数中底数a∈(0,1)，所以0＜a＜1.故选A．
[辨析] 本题解答时犯了两个错误：(1)忽略真数为正这一条件；(2)对数函数的底数含有字母a，忘记了对字母分类讨论．
[正解] 设u＝2－ax，由y＝logau，得a＞0，因此u＝2－ax单调递减．
要使函数y＝loga(2－ax)是减函数，则y＝logau必须是增函数，
所以a＞1，排除A，C．又因为a＝2时，y＝loga(2－2x)在x＝1时没有意义，
但原函数x的取值范围是[0,1]，所以a≠2，因此排除D．故选B．
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1
-4.3 指数函数与对数函数的关系
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1．理解反函数的概念，了解存在反函数的条件，会求简单函数的反函数．2．理解互为反函数图像间的关系．3．知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0且a≠1)．
1．通过学习反函数的概念，提升数学抽象素养．2．通过求反函数，提升数学运算素养．3．通过互为反函数图像间关系的应用，提升直观想象素养．
必备知识·探新知
知识点?
反函数的概念
(1)一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中__任意一个y__的值，只有__唯一__的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数，可以记作x＝f－1(y)．
(2)一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．
思考：函数f(x)＝x2有反函数吗？为什么？
提示：没有．若令y＝f(x)＝1，则x＝±1，即x值不唯一，不符合反函数的定义．
知识点?
求反函数的两种方法
(1)可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到反函数y＝f－1(x)．
(2)从y＝f(x)反解得到x＝f－1(y)，然后把x＝f－1(y)中的x，y对调得到y＝f－1(x)．
知识点?
互为反函数的图像与性质
(1)图像
y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线__y＝x__对称．
(2)性质
①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的__值域__相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的__定义域__相同．
②如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是__增函数__；如果y＝f(x)是__减函数__，则y＝f－1(x)也是减函数．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
判断函数是否有反函数
┃┃典例剖析__■
典例1 (1)下列函数中，存在反函数的是( D )
A．
x
x＞0
x＝0
x＜0
f(x)
1
0
－1
B．
x
x是有理数
x是无理数
g(x)
1
0
C．
x
1
2
3
4
5
h(x)
－1
2
0
4
2
D．
x
1
2
3
4
5
l(x)
－2
－1
0
3
4
(2)判断下列函数是否有反函数．
①f(x)＝；
②g(x)＝x2－2x．
[分析] 根据反函数的定义进行判断．
[解析] (1)因为f(x)＝1时，x为任意的正实数，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；
因为g(x)＝1时，x为任意的有理数，即对应的x不唯一，
因此g(x)的反函数不存在；
因为h(x)＝2时，x＝2或x＝5，即对应的x不唯一，
因此h(x)的反函数不存在；
因为l(x)的值域{－2，－1,0,3,4}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在．
(2)①令y＝f(x)，因为y＝＝1＋，是由反比例函数y＝向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数．
②令g(x)＝3，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，
即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在．
规律方法：判定函数存在反函数的方法
(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在．
(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在．
(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在．
┃┃对点训练__■
1．判断下列函数是否存在反函数．
(1)y＝－2；
(2)y＝－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．
[解析] (1)y＝－2是由函数y＝向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．
(2)y＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2，对称轴为x＝1，在(1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．
题型?
求反函数
┃┃典例剖析__■
典例2 求下列函数的反函数．
(1)y＝2x＋1(x∈R)；
(2)y＝1＋ln(x－1)(x＞1)；
(3)y＝(x∈R且x≠－1)．
[分析] 按照求反函数的步骤求反函数．
[解析] (1)函数y＝2x＋1，当x∈R时，y＞0．
方法一：∵x＋1＝log2y，∴x＝－1＋log2y，x，y互换得反函数为y＝－1＋log2x(x＞0)．
方法二：对y＝2x＋1中的x，y互换得x＝2y＋1，∴y＋1＝log2x，即反函数为y＝－1＋log2
x(x＞0)．
(2)由y＝1＋ln(x－1)，得x＝ey－1＋1，又由x＞1，
知y∈R，
∴反函数为y＝ex－1＋1(x∈R)．
(3)y＝＝1＋(x∈R且x≠－1)，
∴y∈R且y≠1．
对y＝，x，y互换得x＝，
∴反函数为y＝(x∈R且x≠1)．
规律方法：1.求反函数时，要先确定原函数的值域．
2．两种方法：x，y先互换，再求y与先求x，再x，y互换．
3．最后要注明反函数的定义域．
┃┃对点训练__■
2．求下列函数的反函数．
(1)y＝(1≤x≤2)；
(2)y＝x2－1(x≤0)；
(3)y＝log2(x＞0)．
[解析] (1)∵1≤x≤2，∴0≤2x－x2≤1，∴y∈[0,1]．
∵y＝，∴y2＝2x－x2，－(x－1)2＝y2－1，(x－1)2＝1－y2，
∵x∈[1,2]，∴x－1＝，
∴反函数为y＝1＋(0≤x≤1)．
(2)∵y＝x2－1(x≤0)，∴y≥－1．
∴x＝－，x，y互换得反函数为
y＝－(x≥－1)．
(3)∵x＞0，∴1＋＞1，y＝log2＞0，∴1＋＝2y，即x＝，x，y互换得反函数为y＝(x＞0)．
题型?
互为反函数的图像间的关系
┃┃典例剖析__■
典例3 已知函数y＝ax＋b(a＞0，a≠1)的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a、b的值．
[解析] ∵函数y＝ax＋b(a＞0，a≠1)的反函数的图像过点(2,0)，
∴函数y＝ax＋b的图像过点(0,2)，
∴2＝a0＋b，∴b＝1．
∴y＝ax＋1．
又∵函数y＝ax＋1(a＞0，a≠1)的图像过点(1,4)，
∴4＝a＋1，∴a＝3．
∴a＝3，b＝1．
规律方法：1.定义域、值域关系的应用
原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数的求值，不必求出反函数或原函数．
2．图像的应用
原函数的图像与反函数的图像关于直线y＝x对称，点P(x，y)关于y＝x的对称点是P1(y，x)，利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上，直接求点或求值．
┃┃对点训练__■
3．(1)设函数f(x)＝2lg
(2x－1)，则f－1(0)的值为( B )
A．0
B．1
C．10
D．不存在
(2)设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于( C )
A．6
B．5
C．4
D．3
[解析] (1)令f(x)＝0得：
2lg
(2x－1)＝0?x＝1，所以f－1(0)＝1．
(2)函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)．
则
所以a＝3或a＝－2(舍)，b＝1，所以a＋b＝4．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 函数y＝log2x(x≥1)的反函数的定义域为__[0，＋∞)__．
[错解] R ∵函数y＝log2x的反函数为y＝2x，
∴x∈R．
[辨析] 误解中忽视了反函数的定义域是原函数的值域．
[正解] ∵函数y＝log2x的反函数的定义域为原函数y＝log2x的值域．
又∵x≥1，∴log2x≥0，
∴反函数的定义域为[0，＋∞)．
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6
-4.4 幂函数
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．2．通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数．
以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图像与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养．
必备知识·探新知
知识点?
幂函数的概念
形如__y＝xα__的函数称为幂函数，其中α是常数．
思考：(1)幂函数的解析式有什么特征？
(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么？
提示：(1)①系数为1；②底数为x自变量；③指数为常数．
(2)①自变量不同，幂函数的自变量为底数，指数函数的自变量为指数．②底数不同，幂函数的底数是自变量，指数函数的底数是常数．
知识点?
幂函数共同的性质
(1)所有幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，在第一象限内都有图像，并且图像都通过(1,1)．
(2)如果α＞0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x趋向于＋∞时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴．
思考：当α＜0时，幂函数的图像是否过原点？
提示：α＜0时，y＝xα在x＝0时无意义，图像不过原点．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
幂函数的概念
┃┃典例剖析__■
典例1 (1)下列函数中不是幂函数的是( C )
A．y＝
B．y＝x
C．y＝22x
D．y＝x－1
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝__5或－1__．
[分析] (1)根据幂函数的定义去判断，只有形如y＝xα的函数才是幂函数．
(2)根据幂函数的特征，系数等于1求解．
[解析] (1)由幂函数的定义知y＝＝x，y＝x，y＝x－1均为幂函数，而y＝22x＝4x是指数函数．
(2)因为f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，所以m2－4m－4＝1，解得m＝5或m＝－1．
规律方法：判断一个函数是否为幂函数的方法
(1)幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备y＝xα(α∈R)结构特征的函数才是幂函数．
(2)如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
┃┃对点训练__■
1．(1)函数y＝(m2＋2m－2)x是幂函数，则m＝( B )
A．1
B．－3
C．－3或1
D．2
(2)以下四个函数：y＝x0；y＝x－2；y＝(x＋1)2；y＝2·x中是幂函数的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] (1)由题意，得解得m＝－3．
(2)形如y＝xα(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y＝x0；y＝x－2为幂函数．
题型?
幂函数的图像及应用
┃┃典例剖析__■
典例2
(1)如图的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图像，已知n分别取±1，，2四个值，相应的曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( B )
A．－1，，1,2
B．2,1，，－1
C．，－1,2,1
D．2，，－1,1
(2)已知函数f(x)＝xk(k为常数)，在下列函数图像中，不是函数y＝f(x)的图像的是( C )
[分析] (1)根据各个函数的图像特征选取．
(2)根据幂函数图像所在的象限判断．
[解析] (1)函数y＝x－1在第一象限内单调递减，对应的图像为C4；y＝x对应的图像为一条过原点的直线，对应的图像为C2；y＝x2对应的图像为抛物线，对应的图像应为C1；y＝x在第一象限内的图像是C3，所以曲线C1，C2，C3，C4的n依次为2,1，，－1．
(2)函数f(x)＝xk(k为常数)为幂函数，图像不过第四象限，所以C中函数图像不是函数y＝f(x)的图像．
规律方法：解决幂函数图像问题应把握的两个原则
(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
┃┃对点训练__■
2．在同一坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图像可能是( D )
[解析] 对A，没有幂函数的图像；对B，f(x)＝xa(x＞0)中a＞1，g(x)＝logax中0＜a＜1，不符合题意；对C，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中a＞1，不符合题意；对D，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中0＜a＜1，符合题意．
题型?
幂函数性质的应用
┃┃典例剖析__■
角度1 利用幂函数的单调性比较大小
典例3 已知a＝2，b＝4，c＝25，则( A )
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
[解析] 因为a＝2＝16，c＝25，
由幂函数y＝x的单调性，所以a＜c，
由a＝2＝16，b＝4＝16，
根据指数函数y＝16x的单调性，所以a＞b，可得b＜a＜C．
母题探究：将本例中的b改为2，试比较三个数的大小？
[解析] 因为a＝2＝16，b＝2＝128，c＝25，
由幂函数y＝x的单调性，知a＜c＜B．
角度2 探究幂函数的图像及性质
┃┃典例剖析__■
典例4 讨论函数y＝x－2的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性．
[解析] 因为y＝x－2＝，
所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，记f(x)＝x－2，
则f(－x)＝(－x)－2＝＝＝x－2＝f(x)，
因此函数y＝x－2是偶函数，因此函数图像关于y轴对称．通过列表描点，可以先画出y＝x－2在x∈(0，＋∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(－∞，0)时的图像，如图所示．
由图像可以看出，函数y＝x－2在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，在(－∞，0)上是单调递增函数．
规律方法：1.关于指数式比较大小
(1)变为同指数：利用幂函数的单调性比较大小．
(2)变为同底数：利用指数函数的单调性比较大小．
2．关于函数图像、性质的探究
(1)探究顺序：一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究．
(2)几点说明：
①奇偶性决定了图像是否具有对称性，具有奇遇性的函数可先描点作出y轴右侧的图像，再根据对称性作左侧的图像；
②作图时尽可能多地选取点，而且选取的点要具有代表性，这样作出的图像才更加准确；
③此种方法是对函数图像和性质的粗略探究，适用的函数有限，更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习．
┃┃对点训练__■
3．(1)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图像上，设a＝f，b＝f(ln
π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为( A )
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
(2)讨论函数y＝x－3的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性．
[解析] (1)点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图像上，
可得m－1＝1，即m＝2,2n＝8，可得n＝3，
则f(x)＝x3，且f(x)在R上单调递增，
由a＝f，b＝f(ln
π)，c＝f，
且0＜＜＜1，ln
π＞1，可得a＜c＜B．
(2)因为y＝x－3＝，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，记f(x)＝x－3，则f(－x)＝(－x)－3＝＝＝－x－3＝－f(x)，因此函数y＝x－3是奇函数，因此函数图像关于原点对称．通过列表描点，可以先画出y＝x－3在x∈(0，＋∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(－∞，0)时的图像，如图所示．
由图像可以看出，函数y＝x－3在区间(0，＋∞)，(－∞，0)上都是单调递减函数．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例5 若(a＋1)
－＜(3－2a)
－，试求a的取值范围．
[错解] ∵函数y＝x－是减函数，∴a＋1＞3－2A．
∴a＞，
即a的取值范围是．
[辨析] 误认为y＝x－是R上的减函数，实质是y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)内均是减函数，而在整个定义域上不是减函数．
[正解] 对于(a＋1)
－＜(3－2a)
－，可分三种情况讨论．
①a＋1和3－2a都在(－∞，0)内，，此时方程组无解；
②a＋1和3－2a都在(0，＋∞)内，，解得＜a＜；
③若a＋1和3－2a不在同一单调区间内，
则有，解得a＜－1．
综上可知，a的取值范围为∪(－∞，－1)．
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1
-4.5 增长速度的比较
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.能利用函数的平均变化率，说明函数的增长速度．2．比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
通过本节课的学习，使学生体会常见函数的增长速度，提升学生数学抽象、逻辑推理等素养．
必备知识·探新知
知识点?
函数的平均变化率
(1)定义：函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝____．
(2)实质：___函数值__的改变量与自变量的改变量之比．
(3)理解：自变量每增加1个单位，函数值将增加____个单位．
(4)应用：比较函数值变化的快慢．
思考：对于函数f(x)＝x＋1，g(x)＝4x－3，当Δx足够大时，对于x∈R，f(x0＋Δx)，g(x0＋Δx)的大小关系能确定吗？
提示：当Δx足够大时，f(x0＋Δx)＜g(x0＋Δx)．
知识点?
三种常见函数模型的增长差异
函数性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝kx(k＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
__增函数__
增函数
__增函数__
图像的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随x的增大匀速上升
增长速度
y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长
增长后果
会存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞kx＞logax
思考：指数增长和线性增长中增长速度哪一个大？
提示：指数增长．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
比较函数值增加的快慢
┃┃典例剖析__■
典例1 已知函数y＝4x，分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值的变化规律．
[分析] 按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化规律．
[解析] 因为＝＝，所以y＝4x在区间[1,2]上的平均变化率为＝12，在区间[3,4]上的平均变化率为＝192，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点越大，函数值增加越快．
规律方法：平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用
(1)计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢．
(2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响．
┃┃对点训练__■
1．已知函数y＝x2－2x－3．
(1)分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，分析当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律；
(2)设f(x)＝x2－2x－3.记A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，比较直线AB的斜率与直线CD的斜率的大小关系．
[解析] (1)＝＝x2＋x1－2，所以在区间[1,2]上的平均变化率为1，在区间[3,4]上的平均变化率为5，所以自变量每增加1个单位，区间长不变的条件下，端点之和越大，函数值增加越快．
(2)直线AB的斜率为1，直线CD的斜率为5，直线AB的斜率小于直线CD的斜率．
题型?
比较函数的平均变化率大小
┃┃典例剖析__■
典例2 已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小．
[分析] 计算出平均变化率，再利用指数函数、对数函数的性质比较大小．
[解析] 因为＝＝2×3a，
＝＝2，
＝＝log3，
又因为a＞1，所以2×3a＞2×31＝6，
log3＜log3＝log32＜log33＝1＜6，
因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．
规律方法：不同函数平均变化率大小的比较
计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小．
┃┃对点训练__■
2．已知函数f(x)＝4x，g(x)＝5x，分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率，并比较它们的大小．
[解析] ＝＝48，＝＝100，
所以在区间[2,3]上f(x)的平均变化率比g(x)的小．
题型?
函数增长速度的应用
┃┃典例剖析__■
角度1 增长曲线的选择
典例3 高为H，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图像是( B )
[解析] 当h＝H时，体积是V，排除A，C，h由0变到H的变化过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图像，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数模型，综合分析知选B．
角度2 函数变化率大小的应用
典例4 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
(1)请指出示意图中曲线
C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图像示意图，判断f(6)，g(6)，f(2
020)，g(2
020)的大小．
[分析] (1)根据两类函数图形的特征判断．
(2)由图像的交点坐标分界，利用图像高低判断大小．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x．
(2)因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，
f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
所以1＜x1＜2,9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2,2
020＞x2，
从图像上可以看出，
当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，
所以f(6)＜g(6)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，
所以f(2
020)＞g(2
020)；
又因为g(2
020)＞g(6)，
所以f(2
020)＞g(2
020)＞g(6)＞f(6)．
┃┃对点训练__■
3．函数f(x)＝lg
x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示：
(1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数；
(2)比较函数增长差异(以两图像
交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg
x．
(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例5 下列四种说法中，正确的是( D )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．?x＞0，xn＞logax
C．?x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
[辨析] 四类增长函数模型是有前提的：一次函数模型中要求k＞0，指数、对数函数模型要求底数a＞1，幂函数模型要求指数n＞0.当一次函数模型中k＜0，指数、对数函数模型中底数0＜a＜1，幂函数模型中n＜0时，四类函数模型都是衰减的．
[正解] 对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．
对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．
对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．
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-4.6 函数的应用(二)
4.7 数学建模活动：生长规律的描述(略)
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.会利用已知函数模型解决实际问题．2．能建立函数模型解决实际问题．
通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养．
必备知识·探新知
知识点?
指数函数型模型
(1)表达形式：f(x)＝abx＋C．
(2)条件：a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1．
知识点?
对数函数型模型
(1)表达形式：f(x)＝mlogax＋n．
(2)条件：m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1．
知识点?
幂函数型模型
(1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)
(2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．
思考：指数型、对数型函数模型都是递增的吗？
提示：不一定，也可能是递减的，根据底数的大小判断．
关键能力·攻重难
题型探究
题型?
指数函数模型
┃┃典例剖析__■
典例1 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(取1.01210＝1.127，log1.0121.20＝15)．
[分析] 具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数，利用归纳的方法，确定函数关系．
[解析] (1)1年后该城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×1.2%(1＋1.2%)
＝100(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2%
＝100(1＋1.2%)3；
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x．
(2)10年后该城市人口数为：100×(1＋1.2%)10
＝112.7(万)．
(3)设x年后该城市人口将达到120万，即
100×(1＋1.2%)x＝120，
∴1.012x＝1.20.∴x＝log1.0121.20＝15(年)．
答：人口总数y与年份x间的函数关系是
y＝100×(1＋1.2%)x，
10年后的城市人口总数约为112.7万，大约15年后该城市人口将达到120万人．
规律方法：有关增长(衰减)率问题
在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示．解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．当增长率为负数即为降低率，此公式仍然适用，这里P＜0(或y＝N(1－P)x，P＞0)．
┃┃对点训练__■
1．某公司预投资100万元，有两种投资方案可供选择：方案一：年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
[解析] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是
100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，方案二更有利，5年后多得利息约3.86万元．
题型?
对数函数模型
┃┃典例剖析__■
典例2 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1
m/s．
(1)求出a、b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
[分析] (1)根据已知列出方程组，解方程组求a、b的值；(2)由(1)列出不等式，解不等式求Q的最小值．
[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0
m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0 ①；当耗氧量为90个单位时，速度为1
m/s，故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1 ②．
解方程组，得．
(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2
m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，
即log3≥3，解得≥27，即Q≥270．
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
规律方法：对数函数y＝logax(x＞0，a＞1)经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢．
直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际上是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算．
┃┃对点训练__■
2．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( C )
(参考数据：lg
1.12＝0.05，lg
1.3＝0.11，lg
2＝0.30)
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
[解析] 设经过n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意，得130(1＋12%)n＞200，
∴1.12n＞＝，
两边取对数，得n＞log1.12＝＝
＝＝3.8，∵n∈N＋，∴n的最小值为4．
故2020年开始该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
题型?
函数模型的选择问题
┃┃典例剖析__■
典例3 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100
t,
120
t,130
t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N
)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N
)．现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137
t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
[解析] 根据题意可列方程组
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70. ①
同理y＝g(x)＝－180×0.5x＋140. ②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
规律方法：建立拟合函数与预测的基本步骤
┃┃对点训练__■
3．某企业常年生产一种出口产品，近年来，该产品的产量平稳增长．记2019年为第1年，且前4年中，第x年与年产量
f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋A．
找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2019年和2021年的数据求出相应的解析式．
[解析] 最适合的函数模型是f(x)＝ax＋b，理由如下．
若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，
得a＝2，即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f(x)＝logx＋a，
则f(x)是减函数，与已知不符合．
故最适合的函数模型是f(x)＝ax＋B．
由已知得
解得
所以f(x)＝x＋，x∈N．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 某工厂在两年内生产产值的月增长率都是a，则第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了第一年相应月的__(1＋a)12－1__．
[错解] b(1＋a)11
[辨析] 若某月的生产产值为b，月增长率为a，则x个月后的生产产值为b(1＋a)x，在解题过程中，易错认为是b(1＋a)x－1，从而导致错误．
[正解] 不妨设第一年1月份的生产产值为b，则2月份的生产产值是b(1＋a)，3月份的生产产值是b(1＋a)2，依此类推，到第二年1月份就是第一年1月份后的第12个月，故第二年1月份的生产产值是b(1＋a)12．
故第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了第一年相应月的＝(1＋a)12－1．
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